Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 307
Скачиваний: 0
294 |
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
(ГЛ. 7 |
|
многомерный аналог утверждения (7.19) теоремы 7.5 формули руется следующим образом:
p ( j at {l)at {l)dt < ooj = 14фц£ < nw. |
(7.62) |
§ 3. Структура процессов, мера которых абсолютно непрерывна относительно винеровской меры
Если l — dt, |
3~і), |
есть процесс |
диффузионного |
|
типа с дифференциалом |
|
|
|
|
|
d l t = at (l)dt + |
dW t, |
|о = °. |
(7.63) |
то согласно теореме 7.5 условие Р ^J аJ(£) dt < |
oo^J = 1 является |
|||
необходимым и |
достаточным для того, |
чтобы ц* <С p w. В на |
||
стоящем параграфе будет установлено, что если некоторый случайный процесс £ = (£*, &~t), 0<Д г^7\ таков, что его мера щ
абсолютно непрерывна относительно винеровской меры ц^, то
этот процесс |
есть |
процесс диффузионного типа. |
Более точно, |
||||||
имеет место следующее утверждение. |
|
|
|
||||||
Т е о р е ма |
7.11. |
Пусть на полном вероятностном простран |
|||||||
стве (Q, Н~, Р) заданы неубывающее семейство а-подалгебр |
|||||||||
|
случайный процесс i = (g<, |
t) |
м винеровский процесс |
||||||
W = (Wt,@~t), |
|
|
|
такие, что щ -С ц^. |
|
||||
Тогда |
найдутся |
винеровский процесс W = {Wt, |
и неупре |
||||||
ждающий |
процесс |
а — (at (x), |
3ât+), |
|
такие, что |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ öi(i)rfs+ Wt |
(P-п. H .), |
(7.64) |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
^ |
aJ] { \ ) d s < o o j= |
1. |
(7.65) |
||
Если, кроме |
того, щ ~ |
ц^, |
то и |
|
|
|
|||
|
|
|
' |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
J |
(W) ds < оо |
= |
1. |
(7.66) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По предположению Ц| < |
n w. Обозна- |
|||||||
/ ■ |
s (t , |
х). |
Процесс $ = (it (W), |
@~f') является неотри |
|||||
чим ^ (х) |
= |
||||||||
цательным мартингалом |
с |
(И?') = 1, |
и согласно теореме 5.7 |
||||||
§ 3] СТРУКТУРА ПРОЦЕССОВ 295
существует процесс у — (yt (со), |
с |
|
такой, что Р-п. н. |
|
|
t |
|
|
о |
О< t < Т. |
(7.67) |
|
|
|
Рассмотрим новое вероятностное |
пространство (ü, |
, Р) |
с dP (со) = $т(W (со))dP (со) и определим на нем случайный про
цесс W = { W u |
F T ) |
с |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wt = W t - |
J aAW) ds , |
|
||
|
|
|
о |
|
|
|
где функционал a = |
(as(x), <%s+) таков*), что Р-п. н. для почти |
|||||
всех |
cxs(U7) == ^(1^)ys(co). |
Согласно теореме |
6.2 |
|||
процесс W = |
{Wt, & ~ Y ) , O ^ t ^ T , |
является винеровским, |
при |
|||
чем Р ^ J as ($0 d s < |
°°^ = 1 |
(см. |
п. 3 |
§ 3 гл. 6). |
|
|
Заметим теперь, |
что щ (Л) == Р (W е Л), поскольку |
|
||||
Р (W е Л) = |
J |
iT (W (со)) dP (со) = |
J іт (х) d\xw (х) = щ (А). |
|||
|
{со: WezA) |
|
|
А |
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
Г
= Р j CXJ (W) ds < оо = 1, (7.68)
о
что позволяет определить |
процесс |
О |
|
і |
|
Wt = lt ~ |
I as{l)ds, |
О
Процесс W = (Wt, рассматриваемый на (Q, Т , Р), является
винеровским, что показывается так же, как и в теореме 7.5. Итак, утверждения (7.64), (7.65) теоремы доказаны. Утвер ждение (7.66) следует из эквивалентности мер и n w и ра
венства (7.65).
*) Существование такого функционала следует из леммы 4.9.
296 |
|
|
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
[ГЛ. 7 |
||||
З а м е ч а н и е |
1. Из доказанной теоремы вытекает, что если |
|||||||
процесс |
! = (£<)‘F <) таков, |
что |
его мера щ абсолютно непре |
|||||
рывна относительно винеровской, |
то этот процесс необходимо |
|||||||
является слабым решением уравнения типа (7.63). |
|
|||||||
З а м е ч а н и е |
2. Если |
щ ~ |
ц^, то из теорем 7.7 и 7.11 |
|||||
следует, |
что |
существует |
неупреждающий функционал |
а = |
||||
==(а,(х), &t+), |
O |
^ t ^ T , |
такой, |
что плотности |
|
|||
|
|
|
dH |
(t, |
W) |
и |
dH (t, l) |
|
|
|
|
dllw |
|
|
|
d\xw |
|
могут быть найдены по формулам (7.37) и (7.38).
§ 4. Представление процессов Ито в виде процессов диффузионного типа. Обновляющие (innovation) процессы. Структура функционалов от процессов Ито
1. Как |
показано в § 1 (теорема 7.2), |
для |
процессов |
Ито |
||||||
£— (!*, STt), |
OsS^s^r, |
с дифференциалом |
|
|
|
|||||
|
|
|
dlt = |
h(a>)dt + dWt, |
b = 0, |
(7.69) |
||||
условие P^J Р?(ю) dt < |
ooj = |
I обеспечивает абсолютную непре |
||||||||
рывность |
меры |
р| по |
винеровской мере \iw. Однако явную |
|||||||
формулу |
для плотности |
d\iс |
получить, |
вообще говоря, |
не |
|||||
|
||||||||||
удается. |
|
|
|
если процесс | |
является |
процессом диф |
||||
С другой стороны, |
||||||||||
фузионного |
типа (ß,(co) = |
аД£ (со))), то согласно теореме 7.6 |
для |
|||||||
плотностей |
d(it |
можно |
дать |
простые выражения (см. (7.29) и |
||||||
, |
||||||||||
|
|
йРѵр, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.30)). Точно так же структура функционалов от процессов диффузионного типа исследована достаточно подробно (§ 6 гл. 5). Непосредственное же изучение функционалов от процессов Ито является весьма трудной задачей.
В связи с этим возникает вопрос: а нельзя ли представить процесс Ито в виде процесса диффузионного типа (правда, быть может, по отношению к другому винеровскому процессу)?
Положительный ответ на этот вопрос содержится в ниже следующей теореме, в которой описывается также структура функционалов от процессов Ито.
Т е о р е м а 7.12. |
Пусть |
= |
@~t), t< ^T, |
— процесс Ито |
с дифференциалом |
(7.69), где |
|
|
|
|
т |
|
|
(7.70) |
|
j М ] |
ßf(cd) I |
< oo. |
|
|
о |
|
|
|
§4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ИТО 297
Пусть а — (at (х), $ (+), 0 |
t ^ Т, |
— функционал такой *), что |
|||
Р-п. н. |
для почти |
всех, t, |
|
|
|
|
|
a t t è ) = M ( ß t | < F ? ) . |
( 7 . 7 1 ) |
||
Г. |
Случайный |
процесс |
W = iWt, |
8~\), |
с |
|
|
|
t |
|
|
|
|
= |
j a |
s(S)rfs |
(7.72) |
|
|
|
о |
|
|
является винеровским, а процесс \ является процессом диффу зионного типа по отношению к процессу W:
2°. Если |
dlt = |
ot {l)dt + dWt. |
(7.73) |
||
|
|
|
|
|
|
то всякий мартингал |
X — (xt, |
0 ^ t ^ Т, |
допускает непре |
||
рывную модификацию, |
для |
которой справедливо представление |
|||
|
|
|
|
t |
|
|
*< = *о + / |
fs (со) dWs, |
(7.74) |
||
|
|
|
о |
|
|
где процесс f = |
(fs (а), |
|
0 ^ |
s ^ Т, таков, |
что |
|
Р ^ J ҢN ds < o o j = 1. |
|
|||
Если к тому же мартингал |
X — [xt, 2Г\) является квадратично |
||||
интегрируемым, |
то |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I Mf2s (со) ds < оо. |
|
||
|
|
о |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу (7.69) и (7.72) |
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
Wt = |
W t + \ [ßs (co)-as(i)]rfs. |
|
||
|
|
|
о |
|
|
) Существование такого функционала следует из леммы 4.9.
