Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 311

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

298	АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР	\|ГЛ. ?

Отсюда по формуле Ито при	находим
t
еіг ^ r ^ s ) = 1 + і г \ e iz (-) d W u +

+ iz	<»> - «„ (I)] du - 4 J
Ho	s
Ho

e1’ С » - « ' . ) (7.75)

M J ег'2 ^w“~w^dWu \F \ = 0

M J e‘M ^ -^ )(ß B(co)-au(i))rf«

	M	J егг		M (ßB(со) -			«Uß) I <T*) du		gr\ = 0.
Поэтому,	беря	в	(7.75)	условное		математическое			ожидание
М (• I #1)	от левой		и правой		частей,		находим
			I<r\|) =	1 -	t	M(е іг			d u . \|
М ( е іг (¥ ‘- Ws)					-\|1 J			r %
Отсюда получаем					S

М (е'М 55-*Ѵ \|<г\|) = е-ТГ>'-»						(р.п. н.)		0 < s< r .

Следовательно, процесс W = {Wt, ЗП\) является винеровским.

Для завершения доказательства теоремы осталось лишь заме тить, что представление (7.74) следует непосредственно из (7.73)

и теорем 5.20, 7.2 и 7.5.

Сле дс тв ие .			Пусть		ті == г)(оа) — 5Г\-измеримая случайная
величина с М		\| г \| \|	< о о	и	выполнено условие 2 °			теоремы 7 . 1 2 .
Тогда	найдется	такой		процесс		/	т	\
	( / » , Г)),
/ =			0 < / < 7 \			с Р Ц	/f(«>)d/ <	o o J = 1,

ЧТО

Т) = МТ|+ { f t { p ) d W t.

Е с л и к тому ж е Мг)2<оо, то | М/,(со) d t < со.

§	4]		ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОВ		ИТО		299
	Для		доказательства достаточно	лишь	заметить,		что xt =
=	М (л \ 5Г\) является мартингалом			и х0= М г \|,		х т=	ч] (Р-п. н.).
	2.	Возможность представления процессов				Ито \|	= (\|/;
О^ t		^	Т, с дифференциалом (7.69) в виде процессов диффузион

ного типа (см. (7.73)) с винеровским процессом W = {Wt, ЗГ})

играет существенную роль при выводе как общих уравнений оптимальной нелинейной фильтрации, интерполяции и экстра поляции (гл. 8), так и отдельных частных результатов (см., на

пример, гл. 10). Согласно определению процесса W = (Wt,

		P f = Ѳ~\
для всех 0 t	Т.
Во многих случаях справедливо обратное включение
и, следовательно,
	д ~ У = д І ,		0 < t < 7 \
Совпадение	сг-алгебр @"7		и Ѳ~\,		0	^ 7\	говорит о том,
что процесс W «несет		в себе ту же			самую информацию», что
и процесс		_
Это свойство процесса W оправдывает следующее
Оп р е д е л е н и е . Винеровский				процесс W — {Wt,				ЗГ\)	назы
вается обновляющим		(innovation)		процессом			(по	отношению
к процессу I =	(g„ 3Ft), 0		Г),	если для каждого 0 ^					t ^ Т

Исследование вопроса о том, когда винеровский процесс, входящий в (7.73), является обновляющим, является важной и трудной задачей. Если уравнение (7.73) имеет единственное

сильное решение, то, конечно, процесс W будет обновляющим.

Однако, как правило, решение вопроса о том, когда это уравне ние имеет сильное решение, довольно трудно. Один достаточно

общий случай совпадения а-алгебр и ЗГ) будет рассмотрен в следующем параграфе (теорема 7.16). По поводу совпадения этих а-алгебр в других случаях см. теоремы 12.5 и 13.5.

Пример 2. Пусть £ = (£„ 3Ft),	имеет дифферен
циал	£о = 0,
dl, = Bdt + dW t!	£о = 0,

где Ѳ— ^-измеримая нормальная случайная величина, N (m , у), не зависящая от винеровского процесса W = (Wt,3 T t). Тогда

300 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР [ГЛ. 7

М (Ѳ 1	(см.,	например, гл. 12, теорема 12.2)	и, сле
довательно, процесс I является процессом диффузионного типа
с дифференциалом		т + \ h dt -f d W t.
	dl,-	т + \ h dt -f d W t.	(7.76)
		l + y t

Непосредственно можно убедиться, что в этом примере —

=^ Г , 0 < / < 7 \

3.Итак, условия (7.70) гарантируют, что всякий процесс Ито

является в то же время процессом диффузионного типа (по отношению к винеровскому процессу W).

Используем этот факт для вывода формул для плотностей

мер dH

dßt,

Т е о р е м а

7.13.

Пусть l =

(l(,

t ^ T

, — процесс Ито

с дифференциалом

d%i — ß/ (со) dt -j- dW t,

(7.77)

где

JT M I ß, (со) I dt <

oo,

(7.78)

P (J

ß2 (со) dt <

oo I

(7.79)

Если к тому оке

(

(7.80)

М ехр ( — J $t dW t - ±

J ß?dH == 1,

' о

Ѵѵ ,

P ^ J a s2( i) ^ < o o j = P ^ f

аl(W)

i s < оо^| =

1 «

(

(t,

W) =

exp

J as (W) dWs -

J а ;(ir)dsj ,

(7.81)

d\i w

____ f

Г*

L i,,

;)ds J,

(7.82)

где функционал а =

(аДх),

&t+),

t ^ T , таков, что Р-п. н. a t (Q =

M[ß, (со) I

для

почти

всех

t ^

Т.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из условий (7.79), (7.80) и теоремы 7.1 вытекает, что щ ~ p w . В силу (7.77), (7.78) и теоремы 7.12

§ fl	ПРЕДСТАВЛЕНИЕ	ПРОЦЕССОВ ИТО	301

процесс £	является в то же время процессом диффузионного
типа с дифференциалом			(7.74), где		W — винеровский			процесс.
Но меры	и	совпадают,		поэтому		~	и по теореме 7.7
							(W) ds<oo 1=1,
где функционал a = (at (x), $ t+) t ^ T ,					таков, что Р-п. н. аД£) =
= M[ß, (со)I		t ^ T ,	для	почти всех		t ^ . T .	(Во избежание
недоразумений,		отметим, что, вообще говоря,					Р-п. н.	at (W) ф
Ф Ы ( ^ (со) I		Действительно,			так	как	s	SF\, то
М (ß, (©) I		[M (ß; (со) I		I	= M [at (l) I @~f], что может

быть не равно at (W).)

Представления (7.81), (7.82) следуют из формул (7.37), (7.38)

и того замечания, что Аі - (t, g) =	.	(t , \|) (Р-п. н.), і ^ Т .
-W	ац~--
-W	~‘~w

Замечание 1. Сравнивая формулы (7.5) и (7.82), видим, что

М ехр{ - J ßsdh + T / ßS2rfs} п

■exp	M(ßs \| ^ I ) ^ + i J	(M(ßs\|^ \|))2rfS . (7.83)
о	о	-

Иначе говоря, в предположениях (7.76)—(7.80) условное мате матическое ожидание, входящее в левую часть формулы (7.83), может быть «перенесено» под знак экспоненты.

		(		Т				\
З а м е ч а н и е 2. Если М ехр \|			у	J ßs ds <			°°	\| <	оо, то спра
ведливы формулы (7.81), (7.82).				сослаться				на	теорему 6.1
Для доказательства		достаточно
и заметить,	что из условия Jг М \| ß, (со) \dt					<	оо	вытекает,			что
		о		[0,		Однако без ограни
МI ß, (ю) I <	оо для почти всех t		е		Т ].
чения общности можно		считать,	что		М \| ß*(co) \| <				оо	для всех
t е [0, Г], поскольку в		противном		случае			можно			было,	не

изменяя процесса |, перейти к новой функции ІМ«), которая для почти всех / е [ 0, Т] совпадает с ß,(co), а в остальных точках і равна, например, нулю.

302 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР (ГЛ. 7

З а м е ч а н и е 3. Если процессы ß — (ß/ (и), £Г,) и W — {W„ SF,),

t ^ T ,	независимы,	Р ^ J ß^((o) dt <		<х>j = 1	и М \|	ß, (ш) \| < оо,
т		0
J М I ß,(со) \dt < о о ,		то меры	и рг	эквивалентны		и справед-
о
ливы формулы (7.81), (7.82).				заметить,	что,	в соответ
Для	доказательства достаточно			заметить,	что,	в соответ

ствии с примером 4 § 2 гл. 6, выполнено условие (7.80).

Пример		3.	Продолжим рассмотрение примера из преды
дущего пункта.			Условия (7.77) — (7.80)				выполнены, и поэтому
(ср. также с (7.12)) Р-п. н.
				t		1	t
dH	(t , i) =		exp	Г m + yI		1		m + vs,
d^xp	(t , i) =		exp	J - T + ^		2	0	1+ -ys
d^xp				о			0
dH	(t , U7) =		exp	m + yWg		dW s -	Ti	nt + yW
dH	(t , U7) =		exp	1 + ys				1+ ys
d^w				1 + ys				1+ ys
4.	Теорема 7.14. Пусть £=(£,, @~t), t ^ T , —процесс Ито с диф
ференциалом (7.76), и пусть выполнены							условия (7.77) — (7.79).
Тогда Р ^J d]{Qdt < ооj =					1, р. <		и
	^ Н _	(t,	ИД =	exp	Гt {W)		a]{W) ds
	dvw							(7.84)
								(7.84)
	dH	(t, I) =		exp				(£) ds
	dVw