Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 5]

СЛУЧАЙ

ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

303

§ 5. Случай гауссовских процессов

g =

1. В этом

параграфе

будут

рассмотрены

процессы

Ито

(g„ £F,), 0 ^

t ^

Т,

с дифференциалом

d & ^ h W d t + dW',

g0==0,

(7.85)

в

предположении,

что

процесс

ß =

(ß, (со), 3Tt),

0 < П < 7 \

является гауссовским.

ß = (ß, (со), TFt),

— непре­

Т е о р е м а

7.15.

Пусть

0 ^ . t ^ T ,

рывный в среднем квадратическом гауссовский процесс.

Тогда

\iw и

Р ( I а]{1) dt <

ооj

=

Р I j

aj(W) dt < oo'j =

1,

(7.86)

W) — exp^J as(W )d W s -

j

j

a](W)ds

(7.87)

/

t

t

\

d\xt

(t, l) =

exp I— J as (I) d ls +

у J a] (s) ds

I

(7.88)

\

о

0

J

где

функционал

a =

(at (x), tMt+)

таков,

что

Р-п. н. 0,(1) =

(со) I £F|j

для

почти

всех 0 ^ t ^

Т.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По предположению процесс ß, == ß,(со),

0 < / < 7 \ непрерывен в

среднем квадратическом,

поэтому Mß,

и Mß2 непрерывны по t

и

т

[ Mß2 dt <

оо.

(7.89)

о

Следовательно,

P^J ß2c//<ooj =

l,

и

по

теореме

7.2

Рі *С \i-w-

2

гл. 6 показано (см. пример 3,

а)), что

Далее, в §

,

т

т

\

м exp

I ßs d W s -

У J ßs2 rfsj =

1.

Поэтому в силу теоремы 7.1 щ ~

p w .

Поскольку

г

г

т

J' M a?® d/= j

M [M (ß .|^!)fö?/< J Mß2c//< оо,

0

0

о

304

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 7

то

выполнено

условие

(7.86)

и,

следовательно,

плотности

(t, W) и

dj

W (t , I) задаются формулами (7.87),

(7.88)

со-

гласно теореме 7.7.

Теорема 7.15

доказана.

непрерывности

2.

Откажемся

теперь

от предположения

в среднем квадратическом

гауссовского

процесса

ß,(co),

t ^ . T .

Те о р е ма

7.16.

Пусть ß =

(ß, (со),

t),

0

^

Г ,— гаус­

совский процесс

с

P

( j

ß? («>)<« <

° o j =

1.

(7.90)

1°.

Тогда

щ <С

и (Р-п. н.)

W) =

e xp( [ r t ( a l ( W

) ) - ^

j a l ( W ) d

s S]j ,

(7.91)

(*. i) =

exp

as (l) d l s - 1

а* (І) ds .

(7.92)

2°. Если к

тому же система

(ß, W) =

(ß„ Wt), 0 <

/ ^

Г,

яв­

ляется

гауссовской,

то для^Jвсех

t,

0 ^ t ^JТ,

j

где

W = (Wt,

— (обновляющий) процесс

с

t

Wt = h ~ S %

&) ds,

as й) = M (ßs (со) I ^ l).

о

При этом всякий мартингал X = (xt,

0 ^

t ^

Т,

образую­

щий вместе с (ß,

W) гауссовскую систему, представляется в виде

t

Хі =

х й +

о

f ( s ) d w „

(7.93)

где

детерминированная

J

f (s), 0 < s <

Г,

такова,

что

функция

§ 5]

СЛУЧАЙ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

305

Л е м м а 7.2.

Пусть ßt = ß, (со),

0 ^ 1

Т,

измеримый гаус-

совский

процесс.

Тогда

/ г

\

т

I ß]ds <

оо I = 1

I Mß2ds <

оо.

(7.94)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Импликация «<=» очевидна. При до­

казательстве прямого утверждения

«Ф »

можно считать,

что

Mß, = 0.

Действительно,

допустим,

что

уже установлено,

что

ГТ

\

1

т

О

р ( | ß2ds <

ооj =

J Mßj ds <

'0

/

0

для гауссовских

процессов ßt =

ßt (w),

0

с

Mß, ==0.

щий от него

гауссовский

процесс ß„

имеющий те же распре­

деления, что и процесс ß,.

Процесс ß, = ß, — ßt, 0 ^

t ^

Т, имеет нулевое среднее, и, сле­

довательно, из условия Р ^J ß)dt

< ооj =

Р ^ J ß]dt < ооj = 1

вытекает, что

т

J М (ß/ — ßt)2dt <

оо.

Но

о

г

г

г

j M(ß, — ß,)2^ = 2 J [Mß? — (Mßt)2]df =

2 J M (ß, — [Aßßfdt.

0

0

0

Следовательно,

P ^ J (ß(— M ß t f d i <

ooj = 1.

Поскольку Mß, — ßt — (ß<— Mß,), TO

г

T

T

J (Mß,)2tf/< 2 J ß]dt +

2 j

(ßt — Mß,)2^ .

О

0

0