Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 314
Скачиваний: 0
§ 51 |
СЛУЧАЙ ГАУССОВСКИХ |
ПРОЦЕССОВ |
307 |
Сравнивая правые части в (7.96) и |
(7.97), приходим |
к требуе |
|
мому неравенству (7.95). |
— произвольный гауссов |
||
Пусть теперь |
ß( = ß((ca), |
||
ский процесс (не обязательно непрерывный в среднем |
квадра |
||||
тическом) с |
Mßj = 0, |
0 < / < 7 \ |
и Р ^ [ |
ß ? ^ < ° ° j = |
l. Обо |
значим f = |
і = |
1, 2, ... , 0 |
t ^ 7") |
некоторую |
полную |
ортонормирозанную (в L2[0, Г]) систему непрерывных функций |
|||||
и положим для п — 1, |
2, ... |
|
|
|
|
І= I
где *)
т
Щ= J ß//i (t)dt.
о
Легко проверить, что для каждого п — 1,2, ... процессы ß ^
непрерывны в среднем квадратическом и
т т т
lim |
f [ßt — ß”*>|2<ft = 0, |
f ß2df = lim |
f {®yydt |
(P-n.H.). (7.98) |
|
" |
0 |
0 |
" |
0 |
|
Тогда из доказанного |
неравенства, |
|
|
||
|
т |
|
|
т |
2^ |
|
М J (ß<m)2d/< |
М ехр |
J ( Г ) |
||
|
0 |
|
|
о |
|
и леммы Фату получаем, |
что неравенство (7.95) справедливо |
||||
и без предположения непрерывности в среднем квадратическом процесса ß(,
Из этого неравенства следует, что
Лемма доказана.
*) По поводу гауссовости величин аг и ранее рассмотренных величин см. далее замечание к этой лемме.
308 |
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
[ГЛ. 7 |
З а м е ч а н и е . При доказательстве леммы 7.2 использовался
т
тот факт, что случайные величины а = J $tq>(t)dt являются
о
гауссовскими *).
Доказать гауссовость величины а можно следующим обра
зом. Обозначим
т
4 ( 0 = |
ß/<P(*), |
Л е ( * ) = |
1 + е /8 %> 0 ’ Д |
рi |
Тогда Р-п. н.
сг = |
[il(0 — f\Ät)]dt |
|
|
|
|
|
|
1 |
e У Mr]2 (t) |
|
|
|
|
л(*) |
■dt—>0, e I 0, |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
-f 8 Y Mr)2 U) |
||
поскольку при каждом t |
|
|
|
|
|
|
8 У Mr)2 (t) |
|
e [ 0, |
|
|
|
1 > 1 + 8 у |
-> 0, |
|
||
|
Мг|2 (t) |
|
|
|
|
т |
т |
, т |
T |
\ |
1/2 |
J I т){t) I dt |
— 1 1ß,cp (0 I сД < |
I J $\dt • |
I cp2 (t) d t \ |
< oo (P -п. H.) |
|
и можно применить теорему о мажорируемой сходимости (тео рему 1.4).
Чтобы доказать теперь гауссовость величины а, достаточно проверить, что распределение величин аЕ для е > 0 является
гауссовским. |
|
гауссовости процесса т)8 (/), |
Легко подсчитать, что в силу |
||
для каждого п = 1,2, |
... |
при е > 0 |
I М 11+ (0 |
I" dt < оо. |
|
Хорошо известно**), что при выполнении условия
Jт МI % (t) Iй dt < оо
о
*) Заметим, что это нетривиальный факт, поскольку интеграл J ß^qp (t) dt
о
является интегралом Лебега (при фиксированном со), а не интегралом Римана. **) См. [103J, [164].
§ 5] |
СЛУЧАИ |
т |
309 |
ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ |
|
||
k-YL |
семиинвариант Sj^ |
случайной величины аЕ= J r\&(t)dt |
вы- |
|
|
0 |
|
ражается через семиинварианты S ^{ ( i u ... , tk) вектора ("Пе(^і)>
.... r\Ah)) формулой
гт
j ... J S<J(f„ ... , tk) d t[ . . . d t k.
оо
Но случайный вектор (гіД/,), •••, 4n(h)) является гауссовским,
и, следовательно, S ^ ( t b ... , |
tk) = 0, |
k ~ ^ 3 . Значит, только |
первые два семиинварианта |
5^, 5^ |
величины а* могут быть |
отличны от нуля, и, следовательно, случайная величина ае имеет гауссовское распределение.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е оре мы 7.16. Из условия (7.90) и леммы 7.2 следует, что
т
J Mß* dt < оо.
о
Поэтому представления (7.91), (7.92) непосредственно вытекают из теоремы 7.14.
Перейдем к доказательству утверждений 2°. |
Пусть функцио |
||||||
нал |
а = |
(аДх), $ t+), |
0 |
7\ |
х е С г, таков, что аД|) = |
||
= М (ßf(ш)| £Г|) (Р-п. н.). |
Тогда в силу (7.73) |
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
О |
+ |
|
(7.99) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ясно, |
что |
э §~Т. Покажем справедливость обратных вклю |
|||||
чений ST\ s S T f _ Для |
этого заметим, |
что для |
каждого t, 0 ^ |
||||
|
|
случайная величина ц = |
аД|) |
£Г|-измерима и по тео |
|||
реме о нормальной корреляции (теорема 13.1) |
система (тр W, |) |
||||||
является гауссовской. |
Тогда по следствию 2 теоремы 5.21 |
||||||
|
|
М і) = |
Ма, ( |) + |
Jt Git, |
s) dW s, |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
где детерминированная функция G(t, s) такова, что JtG2(t, s)ds<.оо.
_ о
Следовательно *), функция щ {%) |
Т -измерима. Отсюда вытекает, |
*) Все рассматриваемые 0-алгебры |
считаются пополненными множе |
ствами из нулевой вероятности.
310 |
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
[ГЛ. ? |
і |
_ |
|
что интеграл Г |
as (É,)ds также 2Ft -измерим, и в |
силу (7.99) |
<= v T .
Итак, для всех /, 0 < t < Т, ст-алгебры $г\ и &~7 совпадают.
Возможность представления (7.93) следует из теоремы 5.21.
|
Следствие . |
Если |
р = і'|(оз) — SFf-измеримая |
гауссовская |
||||
случайная величина |
и |
система |
(г), ß, W) является |
гауссовской, |
||||
то |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г)= Мт]+ |
I fT (s)dWs, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
где |
функция |
fT (s), 0 |
|
такова, что | f2T(s)ds < оо. |
||||
|
3. За ме ча ни е . |
|
|
о |
|
|
||
|
Если совместное распределение процес |
|||||||
сов ß и W является гауссовским, то из условия |
(7.90) следует, |
|||||||
что |
меры |
и |
\iw |
эквивалентны (р£~р^). |
Действительно, |
|||
в этом случае процесс £ является гауссовским. А для гауссов
ских процессов их |
меры или эквивалентны, |
или сингулярны |
|||
(см. [57]). Но р£ <С |
поэтому |
|
Этот результат можно |
||
было бы получить и непосредственно, поскольку |
в рассматри- |
||||
ваемом случае нетрудно проверить, что не только |
т |
|
|||
|
M a < ( | ) d / < o o , |
||||
но и J Ma?t (W)dt < |
оо. Поэтому |
эквивалентность |
мер щ и р^ |
||
следует из теоремы 7.7 и плотности мер |
U\iw |
W) и -.— {t, I) |
|||
|
|
|
|
арЕ |
|
задаются формулами (7.87), (7.88).
§6. Абсолютная непрерывность мер процессов Ито относительно мер, соответствующих процессам диффузионного типа
1.Результаты предшествующих параграфов допускают обоб щение на более широкие классы процессов Ито и процессов диффузионного типа.
Всоответствии с определением 6, данным в § 2 гл. 4, про
цесс £ = (£*, t), |
0 |
t |
^ Г, есть процесс Ито, если для любого |
||
Г Р-п. и. |
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
||
I t |
= |
Іо + |
J A S(V>)ds + |
J В , (©) dWs, |
(7.100) |
|
|
|
о |
0 |
|
§ 6] АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР ПРОЦЕССОВ ИТО 311
где процессы |
A — (As {(ä),Ts) |
и |
В = (ВДсо), |
£FS) |
таковы что |
|||
Р-п. н. |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
(7.101) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
(7.102) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
том же |
случае, когда |
для |
почти |
всех |
s ^ |
Т |
величины |
As {со) |
и Bs (со) |
являются ^-измеримыми, |
процесс |
Ито назы- |
||||
вается процессом диффузионного типа (определение 7, § 2 гл. 4).
Для случая ßs (cü) = l в теореме 7.12 были даны условия, при которых процесс Ито являлся в то же самое время и процес
сом диффузионного типа (по отношению |
к винеровскому про |
|||||||||
цессу W = {Wt, |
|
Для процессов (7.100) этот результат можно |
||||||||
обобщить следующим образом. |
|
|
|
|
||||||
Т е о р е м а |
7.17. |
Пусть |
£ = (£*, |
t) является процессом |
Ито |
|||||
(7.100) и |
ѵ.= (ѵ„ 9~t), 0 ^ / ^ Г , — некоторый винеровский |
про |
||||||||
цесс, не зависящий от винеровского процесса W и процессов А и В. |
||||||||||
Пусть |
выполнены следующие условия: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
(7.103) |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
(7.104) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
[VВ]{(й) ) \ |
в ) (со) > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
о, |
|
В? (со) = 0. |
|
|
Тогда |
найдутся: |
1) измеримые функционалы A = |
(At (x), !%t+) |
|||||||
и B = (Bt (x), |
3&і+), 0 < / < 7 \ |
удовлетворяющие Р-п. н. при почти |
||||||||
всех |
0 ^ |
t ^ |
Т |
равенствам |
|
|
|
|
|
|
|
|
A t (l) = |
М (Ai ( со) |
I ЗГ\), |
B H D ^ V b U со) , |
(7.105) |
||||
и 2) |
винеровский процесс W = (Wt, |
ѵ), |
О ^ Д ^ Г , |
такие, |
что |
|||||
процесс |
£ допускает представление |
|
|
|
|
|||||
(7.106)
