Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 315
Скачиваний: 0
312 |
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
[ГЛ. 7 |
||
Если |
к тому же В){со) > 0 Р-п. н. при почти всех O |
^ t ^ T , |
||
то винеровский процесс |
W согласован |
с семейством F * = |
||
О< t < |
Т. |
В силу (7.103) |
М| Лг(со) | < оо при почти |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||
всех t (без потери общности можно считать, что М | ЛДсо) | < оо при всех t, заменив, если это необходимо, ЛДсо) соответствую
щей модификацией). Тогда существование требуемого функ
ционала Л следует из леммы 4.9. |
второго |
равенства |
(7.105), |
||||||||
Чтобы доказать справедлизость |
|||||||||||
достаточно |
убедиться в том, что |
величины В](аі) при почти |
|||||||||
всех |
|
|
являются ^-измеримыми. |
|
|
|
|
||||
Для этого разобьем отрезок [0, |
на п |
частей, |
0 = i{Q] < ... |
||||||||
... < |
tn |
= |
t, таким образом, чтобы шах [$ и — t\ |
J ■ 0, |
п —» оо. |
||||||
Рассмотрим сумму |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Л — I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S i * , |
Лп) |
|
|
|
ЛДю) ds |
+ |
|
|
|
|
|
/=0 |
4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п - 1 |
|
|
|
|
|
|
Л—1 |
Лп) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘і+1 |
|
||||
+ 2 ^ |
и |
B * l P ) d W s И |
Л Д с о ) ^ + Ѵ |
J |
ß s ( c o ) r f r J . |
||||||
1=0 |
\ t(n) |
|
J \Д») |
|
J |
/=0 \У4(n)An) |
|
j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
li |
|
(7.107) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первые два слагаемых в правой части (7.107) |
стремятся к нулю |
||||||||||
при П—+00 |
с вероятностью 1, |
поскольку |
|
|
|
|
|||||
|
/ |
И"! |
|
|
Лп) |
|
|
|
|
|
|
1—1/ |
*1+1 |
|
|
*1+1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
J |
ЛДй))^ j < |
шах J |
I ЛД©) \d s • J | ЛД©) |ds-»0, |
||||||
7 = 0 |
\ Ап) |
|
|
Лп) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П- |
оо. |
|
|
|
|
|
и аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
п -1 I |
Ап) |
|
Am |
|
|
|
|
|
|
||
* ! + і |
\ / ‘1+1 |
|
|
|
|
|
|
||||
S |
J |
Bs {®)dWs |
J |
As {®)ds |
|
|
|
|
|
||
1—0 \ Ап) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘1 |
|
|
(гаі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ч+І |
|
j IЛДсо) |
|
|
|
||
|
|
|
^ шах |
j |
Bs (®)dWs |
\ds-*Q, |
n -> 0. |
||||
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ б] |
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ |
МЕР ПРОЦЕССОВ ИТО |
313 |
|
|
Последнее слагаемое в правой части (7.107) может быть пере писано с помощью формулы Ито в следующем виде:
,М)
п- 1 / Ч + 1
B s (<o)dWs
1 = 0 \ А п )
'4
п-1 |
А п ) |
|
|
|
А п ) |
|
|
|
|
|
|
Ч+\ |
|
|
п — 1 '/ + 1 |
|
|
|
|
|
|||
= = \] |
{ |
ß°H(o)is + |
2 ^ |
{ |
|
I Bu (<o)dWa \ B s (<o)dWs = |
|||||
1 = 0 |
А п ) |
|
|
1=0 |
((п) |
\ t(n) |
|
J |
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
J |
(со) ds + |
2 J fn (s) Bs (со)dW s, |
|||
где |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f n ( s ) = J |
B u (<ö)dWu, |
|
|
|
|
|
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f fn{s) B2s ((o)ds |
(max |
sup |
fn{sj) • |
f |
Bl((o)ds- |
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то P-lim Гfn {s) Bs (<£>)dWs = 0 |
и |
последнее слагаемое |
в правой |
||||||||
“ oJ |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
части (7.107) |
стремится по вероятности к J B2s ((i>)ds при п - > о о. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
является |
Левая часть равенства (7.107) при каждом п — 1,2, . . . |
|||||||||||
^-измеримой. Значит, |
| B2s {(d)ds |
являются |
^-измеримыми |
||||||||
при каждом 0 < / ^ Г . |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отсюда (см. доказательство леммы 5.2) |
||||||||||
следует |
существование |
процесса |
В2 ~ ( È s2(<o), 3?)), |
O ^ s ^ i t , |
|||||||
такого, что при почти |
всех |
O ^ s ^ ^ Bs (со) = Bs (®) |
(Р-п. и.). |
||||||||
Тогда существование |
искомого |
функционала |
В |
вытекает из |
|||||||
леммы 4.9. |
(7.103), (7.104) |
и |
равенства (7.105) |
гарантируют |
|||||||
Условия |
|||||||||||
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
существование интегралов J ß*(g)ö?gs и J ß^(|)H s(|)(7s.
оо
314 |
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
[ГЛ. ? |
Рассмотрим теперь случайный процесс W = {Wt, 3r t ' v), опре
деленный равенствами
t |
t |
J B f {l)dls - |
{ B f (g) Äs (Qds + |
оо
t
|
|
|
+ J f1 - B f (g) Bs (g)] dvs, |
t ^ T , |
(7.108) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
и покажем, что процесс W является винеровским. |
|
|||||
В силу (7.100) и (7.108) |
|
|
|
|||
t |
|
|
t |
|
|
|
Wt — I B f (g) Bs (со)dWs + J B f (g) [ A s (со) - |
Äs (I)] ds + |
|
||||
0 |
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ { l - B f (l) ВA d ] dvs. |
||
По формуле Ито для s < t |
0 |
|
|
|||
|
|
|
||||
eiz ( V t - v s) e l |
+ / |
z J |
e l* {Wa- W s) ß + ф ß u (co) d W u |
+ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
+ |
iz \ |
eiZ |
11 - B f (g) Bu (g)] dva + |
|
||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
t |
__ |
|
|
|
+ |
iz j |
eiz |
(у [Au (со) - |
Âu (g)] du - |
|
|
S
t
(7.109)
S
Поскольку винеровский процесс v не зависит от процессов W,
А а В, то Р-п. н.
М {At И I Г \ ѵ) = М { A t (©)I И ) = At (g).
Как и при доказательстве теоремы 7.12, вычисляя условное
математическое ожидание М( -| &~s'v) от левой и правой частей
(7.109), получаем
t
М (еіг |
I д ~ \'ѵ) = 1 — -у- j* bA{eiz^ ^ s ) \ ^ ) d u . |
8
§ 61 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР ПРОЦЕССОВ НТО 315
Отсюда |
М [eiz (wt^ws) j |
|
v) _ |
e |
2 (< s)^ что доказывает винеро- |
||||||||||
вость процесса W. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
доказательства |
представления |
(7.106) |
заметим, |
что |
||||||||||
в силу |
(7.108) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
J Bs (i) dW s = \ B |
S(i) B f (l) d ls ~ |
\ b s (£) B t (g) 4 |
(£) ds =* |
|
|||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
l , ~ h - |
j |
Ä A W d s + U |
(7.110) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S/ = |
J |
f1 - B |
s(g) B t |
(i)J [db - |
4(I) rfs]. |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем теперь, что процесс £ = (^, |
|
O ^ t ^ T , |
является |
||||||||||||
мартингалом. Действительно, |
в |
силу (7.100) |
|
|
|
|
|||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
It = J 11 - |
Bs (g) B f (I)] Bs ( со) dW s + |
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j [1 — 4 |
(I) B f (1)1[ 4 (со) - |
4 |
(I)] ds = |
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
Jt |
|
|
|
|
(g)] [ |
4N - |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
11 - |
|
4 Ш B t |
4 (l)} ds, |
(7.111) |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
{[1 - |
Bs (I) B t (|)1 Bs (co)f = |
[l - |
ßs (|) B f (D| Bs (£) - |
0 |
||||||||||
и M ^ J [ l - 4(g)ßJ(g)]4(ü>)rfrsj = 0 . |
Значит, |
при s < t |
со |
||||||||||||
гласно (7.111) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М (£,|0І) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
üs + M ^ J f 1 - |
4 |
(£) B t (1)1( 4 |
(ca) - |
4 (ЮЗ du 1s r \j = |
Cs- |
|||||||||
Пусть xN = |
inf {t < |
T: I £, |>Л/), |
причем %N — T, если sup I £ /|< 4 . |
||||||||||||
Ясно, что процесс |
{t,t Ах |
, |
является |
|
|
f<Г |
|
||||||||
квадратично интегри |
|||||||||||||||
руемым мартингалом с
316 |
|
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР |
[ГЛ. 7 |
|
Поэтому по лемме 7.1 |
т = 0 (Р-п. н.). На множестве (тд, = Т) |
|||
Ъ = |
= |
Значит, |
|
|
|
P{sup U, |= |
0 } < Р { т д , < П ->0, N — > о о , |
(7.112) |
|
г<г
всилу непрерывности процесса |.
Из (7.112) и (7.110) следует требуемое представление (7.106)
для процесса |
|. |
Если |
же ß?(co)>0 Р-п._н. |
для |
почти всех |
|||||
0 < t ^ T , |
то |
из |
определения процесса W |
следует, |
что Wt |
|||||
^-измеримы |
при каждом O ^fs^T . |
|
|
|
|
является |
||||
2. Непосредственным обобщением теоремы 7.1 |
||||||||||
следующее предложение. |
|
|
|
|
|
|||||
Те о р е ма |
7.18. Пусть | = (|/, З2",)— процесс Ито |
с диффе |
||||||||
ренциалом |
|
|
|
dl, = |
А, (со) dt + bt (|) dW t, |
|
|
|
(7.113) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г] = (rp, 3Tt) — процесс диффузионного типа |
с |
|
|
|
||||||
|
|
dy]i = |
at {r\)dt + bt {T\)dWt, |
ть= |
| 0, |
|
(7.114) |
|||
а |о — SF^-измеримая случайная величина |
с |
Р ( ||01< °°) = 1. |
||||||||
Пусть выполнены следующие предположения: |
|
|
||||||||
(I) неупреждающие |
функционалы |
at (x) |
и |
bt (x) удовлетво |
||||||
ряют условиям |
(4.110), |
(4.111), обеспечивающим |
существова |
|||||||
ние и единственность сильного решения уравнения (7.114); |
||||||||||
(II) для |
любого |
t, 0 < Д ^ Г , уравнение |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
M D |
Н = Л М — at (t) |
|
|
|
(7.115) |
|
имеет (относительно аг(со)) Р-п. н. ограниченное решение-, |
||||||||||
(III) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.116) |
(IV) |
М ехр |
щ (со) dWt — у J |
а, (со) d t \ == |
|
(7.117) |
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
J |
|
|
Тогда |
|
|
и |
Р-п. н. |
|
|
|
|
|
|
С^М"П(і) = мI exp |
|
|
|
|
|
|
|
(7.118) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим прежде всего, что решение уравнения (7.115) может быть представлено в виде
Ш(со) = bt ( |) [At (со) — at (!)], |
(7 .1 1 9 ) |
