Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

318

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 7

С л е д с т в и е . Пусть t~(h<

t),

— процесс диф-

фузионного типа с

dh =

A,(l)dt + bt (l)dWt,

t0=

тіо

(7.122)

(т. е. пусть в (7.113) At (со) =

At (t (со))).

Тогда,

если

выполнены

предположения (I),

(II), (IV)

теоремы 7.18 и

(

т

I

f

7

I

Р

J Ibt (t) As © ] 2 ds <

оо [ =

Р 11 I \ьі (I) as (g)f ds <

oo = i,

I

о

)

[ о

)

то (cp. со следствием

теоремы

7.1) Р-п.

н.

(7.123)

-

I (k+(S))2Ktè)-M£)]dL +

^ ® = ехР L

О

+ Т (&*+ (І))ги » Ш - о » ( і ) ] ^

(7.124)

dH (л) = ехр

{b t (л))2 [As (л) — as (л)] dy\s —

Г

— j j i b t (л))2 [ АІ (л) — as (л)] ds

(7.125)

т

т

/ {bt (I))4(As (t) -

as (t)f bt (t) ds <

I a* (t) ds < oo.

о

0

П р и м е р .

Пусть g =

(gf) и л — (Лг) — два

процесса диффу­

зионного типа

с дифференциалами

dtt = h d t + h d W t,

g0 =

%.

dy\t~T]tdWt,

где P (лэ = 0) > 0.

Ито

убеждаемся,

что решения этих

С помощью формулы

уравнений задаются формулами

£/ =

Лоехр [Wt +

-j),

Л^ =

По exp

— у ) .

§6]

АБСОЛЮТНАЯ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

МЕР

ПРОЦЕССОВ ИТО

31S

Условия теоремы 7.18, как легко

проверить,

выполнены. По­

этому

и Р-п.

н.

(ті) =

exp

\ № У

ds

— ехр

г

т

т

и

—

K d% - - 9

W t ds

<ч-т j (w)5

г т

Lo

Г

0

-

/

XI

ехр

/*

1

— ехр

J

(п,п,+) ^

. -

.

( W t ) ds

ч л + \ ѵ т - Т \

" 2

-0

0

\

/ _

Но Р-п. H.

(7.126)

exp [ v t f

[ w T-

Щ

~

W o ) + W o

exp [ w it (WT - Щ =

= (l — % < ) +

W o exp ( r r -

T j = (I — T!0ri+) +

T]+T)r .

Итак,

Р-п.

и.

dßt

('П) = (1 — V t f ) +

< т іг

(7.127)

d ^

и,

аналогично,

1

(7.128)

( і- Іо ^ +) + ^ +іг *

Из

(7.127)

видно,

что

на

множестве {со: g0 == rj0= 0}

dH

(п) =

1,

а

на

{со: | 0= гіо^ 0}

du,

р - ы - % -

dun у

w

Ho

3.

Для

рассматриваемых

процессов

диффузионного типа

Приведем

аналоги

некоторых

утверждений теорем 7.5 — 7.7.

Т е о р е м а

7.19.

Пусть |

= (£,)

и г\ — (г),),

ok^t <^Т, — два

процесса диффузионного типа с

dlt =

At(l)dt +

bt(l)dWt,

|о = Ло.

(7 Л 29)

dr\t ~

at (t])dt +

b,(r\)dWt.

(7.130)

Пусть

выполнены

предположения (I),

(II)

теоремы

7.18

(с

А, (со) =

At (I (со))).