Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 6]

АБСОЛЮТНАЯ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

ПРОЦЕССОВ ИТО

321

и согласно теореме

6 .1

М e x p

- J

bt (І(п0 [AT (g w

-) at ( | <я))] dWt -

l

о

-

1 1

(bt (tw)M!“>(i") - a ,( inW d t

j = 1 .

С учетом теоремы

7.18

отсюда заключаем, что р5(П)~ р

и

äfi

(^+ (Л))2 U '/11 (т|) — а, (л)] dx\t -

(Л) =

ехР I J

( о

I

Т

(Ь? (л))2 Ы я) (л))2 - (at (л))2] dt =

о

I ГЛТ„(П)

j

— exp j

О

(^+ (л))2 [Л(л) — а і Ш Л ц , -

*

глѵп)

— J

J*J

(&+(л))2 U 2 (л) — 0?(л)1 dt j = ЗгЛ Тя(го М-

Пусть теперь

Г

е І г, Тогда в силу (7.131)

р5 (Г) =

lim р|(„, (Г П (т„ (х) =

Т)) =

= lim

j

=

lim

J

ът(x) d\i4{x) =

J

%т(x) d|i4(x).

ГП(т„<*)=Г)

Значит, pi <

и

ф —(х) =

іт(х).

Поскольку же

рл(х: ^ ( x ) ^

*= 0) =

0,

то по лемме 6.8 рл <

щ

и

~ ^ ( х ) = Ь^(х).

Теорема доказана.

Т е о р е м а

7.20.

Пусть выполнены предположения теоремы

7.19,

за

исключением

условия

(7.131),

которое

заменяется

условием

р 1 { (fc+ (i))*Us2 tè) +

fl2(i)]rfs <

оо } =

1.

(7.134)

322

АБСОЛЮТНАЯ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

МЕР

[ГЛ. 7

Тогда

jxg <С |х„,

плотность it (т^) =

d \i^

(t, т]) является един­

ственным

(непрерывным) решением уравнения

t

it (л) = 1 +

J

is (л) (bt (ц)У [Д. (ті) — as (л)] diu,

(7.135)

О

а зД!) определяется формулой

it (I) = exp I Г (Ь? (i))2 [As (І) -

as (g)J dh -

о

t

j

- i

(bs+

(Ю)2 [A2s m

-

a t (I)] ds j .

(7.136)

Доказательство

этой теоремы

аналогично

доказательствам

теорем 7.19, 7.2 и 7.6.

наконец, на многомерных аналогах теорем

4.

Остановимся,

J

7.19 и 7.20, ограничившись лишь их формулировками.

Пусть

I =

(І,) и

ц = (тр), 0 ^

t ^

Т,

— векторные процессы,

£< =

(£і(0»

•••>

Init)),

Л/ = (Лі(0,

•••.

Л«(0).

имеющие

диффе­

ренциалы

dlt =

At (i)dt + bt (i)dWt,

Іо =

тіо,

dr\t =

at (ri) dt +

bt (t|) dWt,

где

Wt = (W\ ( / ) , . . . ,

Wk {t)) — ^-мерный

винеровский

процесс

относительно

системы

(5Г,),

ап(t,

At (x) = (Al (t,

х), ...

. . . ,

Ап (t,

х)), at (х) =

(а, {і,

х),

. ..,

х)), bt (х) = || Ьч (t, х) ||—

матрица порядка n

\ k

и гід =

(rj! (0),

. .. ,

т\п(0))—вектор

началь­

ных значений

с Р

I

Л< I < ° ° j =

!•

Будем предполагать, что система алгебраических уравнений

bt (х) at (х) =

[At (X) — а, (*)]

Имеет (относительно at {x)) ограниченное решение при каждых t,

х е С .

Функционалы

at (х)

и

bt (х) удовлетворяют

(покомпонентно) условиям (4.110), (4.111).

Тогда*), если щ-п. н.

т

J [At (х) (bt (х) bt (х))+ At (х) +

a*t (х) (bt (х) bt (х))+ at (л:)] dt < ай,

о

(7.137)

ФОРМУЛА

КАМЕРОНА -

МАРТИНА

323

то m <С fV

Если

к

тому же

(7.137)

выполнено

и р^-п. н., то

— М-п w

t

(t, л) = exp

(Л,

— as (л))’ (bs (л) bl

d i^ —

4 | (IЛ , (л) —

Ia sJ(л))* {bs(л)(л) b l

(л))+ { A s (л) +(лa))+s (л)) ds

(7Л38)

(t,

g) =

exp

( A s

t ë

) -

a , (

S )

)

* (

M

S )

« ( S

) )

+

d k +

~*Н

+ ±

(As(I) -

as (!))* ( b s

(І)Ы (I))+ ( A s

(I) +

as (£)) ds \ .

(7Л39)

o'

I

§ 7.

Формула Камерона — Мартина

1.

Пусть

W — (Wt,

() — и-мерный

винеровский

процесс,

Wt — (W \(t),...,

Wn(tj),

и

Q(t) — симметрическая

неотрица­

тельно

определенная

матрица,

элементы

которой

qtj (t),

i, / — 1 , . . . ,

п,

удовлетворяют условию

Т

п

j

2

I Qi](t) Idt <

оо.

(7.140)

О і, і=I

Используя результаты § 2 (п. 7), установим следующий

результат,

известный

как

«формула

Камерона — Мартина».

Т е о р е м а

7.21.

Пусть

выполнено

условие

(7.140).

Тогда

г

Т

1

T

М exp -

я

я

J

( W t, Q

(t)

W t) d t

=

exp

-

y J S p r (t)dt

,

(7.141)

0

0

где ( W Q ( t ) W t) — скалярное

произведение,

равное

W*tQ(t)Wt,

а Г(0 —симметрическая неположительно определенная матрица,

являющаяся единственным решением матричного уравнения

Риккати

d r

(і) — 2 Q W

- r 2( 4

(7.142)

dt

= 2Q(T — s) — r 2(s)

(7.143)