Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 322

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

326 2.

 

АБСОЛЮТНАЯ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

 

[ГЛ. 7

Будем

предполагать,

что

Ѳ есть

неизвестный

параметр,

— о о

< 0 < о о ,

и / =

/ (Ѳ) — функция, оцениваемая по результа­

там

наблюдений за

случайным

процессом

£ =

(£*),

t ^ O , име­

ющим дифференциал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dlt =

at (Ѳ, і) dt +

dWt,

Іо =

0.

 

(7.148)

Измеримый функционал {а*(Ѳ,

х), t ^

0 , —

о о

< Ѳ<

о о , хеС }

предполагается (при каждом фиксированном Ѳ) неупрежда­

ющим, т. е. ^-измеримым при каждом / ^

0 , где ^ = ст{х: xs,

s<H }— cr-подалгебры

в измеримом пространстве (С, Щ непре­

рывных функций X =

(xt),

0 с х0= 0.

относительно систе­

Пусть т = т(х) — марковский момент

мы (Èt), t ^ 0 , и б = (б (t,

х)) — прогрессивно измеримый (и, сле­

довательно, неупреждающий) действительный процесс, опреде­ ленный на (С, &).

В дальнейшем величина б (t, х) будет рассматриваться как оценка функции /(Ѳ) на основании наблюдений за траекторией X на интервале времени [0, /]. Если т = т(х)— марковский мо­ мент, то величина б(т(х),х) будет задавать оценку функции /(Ѳ) по результатам наблюдений за траекторией х на временном интервале [0 , т(х)].

Пара функций Д = (т, б) задает, как принято говорить, по­ следовательный план оценивания. При ряде предположений регулярности, сформулированных ниже (теорема 7.22), для по­ следовательных планов А = (т, б) будет получено (при каждом Ѳ,

— о о < Ѳ< о о ) неравенство, аналогичное неравенству Рао — Крамера — Волфовитца, которое дает оценку снизу для вели­

чины М[/(Ѳ) — б(т,

£)]2.

 

3.

Остановимся

вначале на используемых далее обозначе­

ниях и предположениях.

 

Пусть

nw и

обозначают меры в пространстве (С, Jf),

отвечающие соответственно винеровскому процессу W и про­

цессу I с дифференциалом

(7.148) для данного —• о о < Ѳ< о о .

Пусть

 

 

 

 

оо

 

 

 

а)

J 1at (Ѳ, х)\ dt < оо

(ІѴ и в|-п. н.), — ОО < ѳ < оо;

 

0

 

 

 

 

T(X)

 

 

 

б)

("

a2t (Ѳ, х) dt

< оо

О ѵ и |і|-п. н.), — оо < 0 < оо.

 

о

 

 

 

Из условий а), б) и теоремы 7.10 вытекает, что при ка­ ждом Ѳ меры р| и nw эквивалентны и плотность <р (Ѳ, W) —

§ 8]

 

НЕРАВЕНСТВО

РАО - КРАМЕРА - ВОЛФОВИТЦА

 

 

 

327

= -ѵ——(t (1F), W)

 

задается формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X(Wmw))

 

 

 

 

 

т(ІК)

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

{

 

at (Q, W)dWt — j

j

a]{Q,W )dt\.

(7.149)

Это представлениеJ будет

играть центральную роль при полу­

чении нижней границы для

М[/(Ѳ) — б(т,

g)]2.

 

 

 

 

 

Предположим

также,

что

 

функция а*(Ѳ, х)

 

 

 

в)

при

каждых

0

и т б С

дифферен­

цируема по Ѳ и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тW)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— О О < Ѳ < 00,

 

[ ж а<(Ѳ* w ) \ dt < оо (Р-П. Н . ) ,

 

 

t(i)

 

 

д

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о <

м

 

 

 

 

dt

oo,

"

оо

Ѳ

 

оо;

 

 

 

 

^0

 

 

 

 

 

 

u m

 

 

 

 

x(W)

, (Ѳ,

 

 

(P-п. h . )

,

 

г)

 

at (Ѳ,

 

W) dWt =

 

а

Г) dlF,

 

o <

0 < JO O ,

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—а o u m

 

 

-um

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<зѳ

■(Ѳ, W) dt =

 

2 J

at (Ѳ, W)

 

аДѲ,

W) dt

(P-п.

h

. )

,

 

— оо <

Ѳ <

oo;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д)

функции

f (Ѳ) и b (Ѳ) =

Мб (T (IF), Г)ф(Ѳ,

W) — f(Q) диф­

ференцируемы по Ѳ и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 г

(Ѳ) + / (Ѳ)] = М б (т (W), W) --ф (ѳ’

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дѲ

 

 

 

 

 

4.

 

Т е о р е м а

7.22.

Пусть

Д =

(т,

б) — последовательный

план оценивания с Мб2 (т,

|)

<

оо для каждого Ѳ, — оо <

Ѳ< оо.

Тогда, если выполнены условия регулярности

а) — д),

то для

каждого Ѳ,

оо <

Ѳ <

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [f (Ѳ) — б (т,

Ю12>

( ж [ИѲ) + 6(Ѳ)]

 

+ й2 (Ѳ).

(7.150)

 

■иі)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м I

t w

“-'9' 1’]

dt

 

 

 

 

 

 

328

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предположениям г), д) и

представлению (7.149) для

каждого

Ѳ, — оо < Ѳ<

оо,

-25- [Ь (Ѳ) +

/ (Ѳ)] = Мб (т (W),

W) dq>(°ѳ

=

 

 

 

 

/ -C(W)

 

 

 

= Мб (т (W), W) { J -Q [at (Ѳ, W)] dWt -

 

 

T(W)

 

 

 

 

 

МѲ, W)^-[at{Q, W)]dt\q>(Q, W)

 

 

== Мб (т (I),

g)

T(l)

 

 

 

дѲ М Ѳ , g)] d\t —

 

Kl)

a

j

1 (l)

- J

(Ѳ,, g) -fL [at (Ѳ, g)] dt

= Mö ( T (g), g) J

0

 

*

0

Далее,

в силу в)

 

 

 

x(l)

 

 

Mö(T(g), I) • M J

- ^ K ( 0, g)]d^( =

о

[at (Ѳ, g)l dWt.

(7.151)

0, (7.152)

что вместе с (7.151) приводит к соотношению

 

 

 

 

 

 

*<б>

 

 

-^[Ц Ѳ ) +

/(Ѳ)]=М[0 (т(|), g) — Мб (т (g), g)] J

-щ- [а, (Ѳ, l)}dWt.

 

 

 

 

о

 

 

 

Отсюда

согласно неравенству

Коши — Буняковского,

пред­

положению в) и свойству стохастических интегралов

получаем

( ж [ М 0 ) - И ( 0)])2<

 

Kl)*is;

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

M[6 (T(g), g ) - M 6 (x(g), g)]2M J [ - ^ a

t ( Q , t ) ] 2

d t

 

 

 

T(6)

 

о

 

 

 

 

=

M J [ ~ a t (0, g)J dt ■{M [Ö (T (g),

g) - f (Ѳ)]2 -

б2 (0)},

 

 

о

Ul)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что в

силу предположения

М J

at (Ѳ, g)j2 d t > 0

приводит

к требуемому неравенству

о

 

 

 

 

(7.150).

 

 

 

 

§ 91 АБСТРАКТНЫЙ ВАРИАНТ ФОРМУЛЫ БАЙЕСА 329

г.

С л е д с т в и е .

Если

план Д =

(т,

б) является несмещенным,

е.

Ь(Ѳ) =

М0(т, g ) —

/(Ѳ ) =

0

(Зля

есел: Ѳ, —

оо

< Ѳ <

оо, го

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г rf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [б (т,

I) -

f (Ѳ)Р >

 

 

 

Ж

 

 

 

 

(7.153)

 

 

 

 

— 771)-----------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nlj

[ ^ M M ) 12

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности,

если /(Ѳ) = Ѳ, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [б (т,

 

 

 

 

 

 

 

1---------

 

(7.154)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М J

[-я -М А У ]2««

 

 

 

П р и м е р .

Пусть

наблюдается

случайный

процесс

 

 

 

 

 

£,t — Q t - \ - W t,

 

0 ,

 

—

о о < Ѳ <

о о .

 

 

Тогда

для

несмещенных

последовательных планов оценивания

 

 

 

 

 

 

М[б(т,

D - e P ^ - g j ^ i j - .

 

 

 

(7.155)

В частности,

план

Д° =

(т°, б°)

с t ° ( x ) s 7 и 6°(Т,

х) — у -

яв­

ляется несмещенным. Для него выполнены

все условия

тео­

ремы

7.22,

и поэтому для

него

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [б° (Т, |) - Ѳ Р > у - .

 

 

 

 

 

На самом деле левая часть равна

 

 

поскольку М

IL- — Ѳ12

= м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

т•

Это означает, что среди

всех

несмещенных

последовательных

планов

А =

(т,

б)

с

М т (|)^ Г

(для

всех

—

о о <

0

<

о о ) и

удовлетворяющих

условиям

теоремы

7 . 2 2

план

Д°

является оптимальным:

 

для

всех

Ѳ,

— о о < Ѳ <

о о ,

 

 

 

 

 

М [б (т,

у — ѲР> М [б° (Т,

у -

Ѳ]2.

 

 

 

 

Другие

примеры использования

неравенства

(7.150) в зада­

чах последовательного оценивания будут рассмотрены в гл. 17.

§ 9. Абстрактный вариант формулы Байеса

1. Пусть (Q, £Г, Р) — некоторое вероятностное пространство, Ѳ = Ѳ(ю) и g = g(a>)— случайные элементы со значениями в из­

меримых пространствах (Ѳ, ^ ѳ), (X, ^ ) .

Пусть

— а (со: Ѳ(со)},

S^| =

cr{(o:

|(©)}

и Q — сужение

меры

Р на (Q,

SF|). Обозна­

чим

Q (Л;

ю) =

М [%А(со)I $~о\ (со)

условную вероятность события

Смотрите также файлы