Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

получаем для формулы Байеса (7.168) следующее удобное пред­

ставление:

J

м [g (I, Ѳ)I V %\ H = \ g

(g (со), Ѳ(со)) p (со, Ö) P (d&).

(7.169)

§ 9]

АБСТРАКТНЫЙ ВАРИАНТ ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

333

Будем предполагать заданным вероятностное пространство

(Q,

Р) с выделенным на

нем семейством сг-подалгебр

t ^ T .

Пусть W = (Wt (со),

t) — винеровский процесс и а ==

тории

которого

a =

(at), O ^ t ^ T ,

принадлежат

измеримому

пространству (Ar, &ат).

l —

Рассмотрим

непрерывный

случайный

процесс

имеющий дифференциал

dlt =

A{t, а, \)dt + B{t, l)dWt,

|о =

0.

(7.170)

Будем считать выполненными следующие условия:

A. Случайный процесс l —

(со)),

является силь­

ным (т. е.

^-измеримым)

решением

уравнения

(7.170).

B.

Функционалы

A(t, а, х),

B ( t,x ) являются неупреждаю­

щими,

и для

каждых

a e A f

и і е С г ((Сг, 3!т) — измеримое

пространство непрерывных на [0, Г]

функций x =

(xt), O ^ t ^ T )

т

т

1 1 А (t, а,

х) [dt

<

оо,

J

В2 (t,

х) dt <

оо.

(7.171)

о

и X из Сг

о

C. Для любых X

t

\ B ( t , x ) ~ B ( t , x ) \ 2^ L

i j \ x s - x

s ?dK(s) + L2\xt - x

t \\

(7.172)

о

t

B2(t, x X L ,

j ( \ + x $dK(s) + L2( \ + x 2),

(7.173)

о

B2(t, x ) > C > 0 ,

(7.174)

где

K(t) — неубывающая

непрерывная

справа

функция,

O ^

а C, Lx,

L2— константы.

D.

Р И

A2 (f, a,

l ) d t <

= P ^ J A2(if, a, ti) dt <

oo j

= 1,

где

Ц = (%,

— сильное

решение

уравнения

(7.175)

d4t = B(t,4)dWt,

% =

0,

(7.176)

существующее в силу теоремы 4.6 и предположения С.

т

T

Е.

J Ml A (t, а, I) Idt <

оо,

P

Ä2(t, l ) d t <

oo

= 1

где

A(t,оD =

M[A(*,a,

1)1 ^| J .

(7.177)

334 Обозначим

АБСОЛЮТНАЯ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

МЕР

(ГЛ. 7

р^,

и ра

меры,

отвечающие введенным про­

цессам

т] и а. Пусть

также

ра ? — распределение вероятно­

стей в пространстве (АтX Сг,

$ \ тX &т),

индуцированное па­

рой процессов (а, |),

и ра X

— декартово произведение мер ра

и ц6.

Пусть

gT(a,£)—

^-измеримый

функ­

Т е о р е м а

7.23.

ционал

с МI gT (а, I) I <

оо.

Тогда, если процессы а и W независимы и выполнены

условия

А — Е,

то Р-п. н.

М [gT{а, |)| ЗГS] — J gT (а, £)рг (а, і) ^ М а)>

(7-178)

где

dV-a, \

рг (а, х)

■

(7.179)

при этом (Р-п. н.)

а 1»а><Ы {а’ Х)! dZ (Х)'

Рг (а. £) ==

=

е х р { / Л (/, а, I )

—Л (t, I)

dWf

1 Г

[А И а, I) - л а і ) ] »

dt

В И I)

в 2 (t, I)

(7.180)

где

функционал А — (А (t,

х), &t+),

0

t ^

Т, такое, что Р-п. н.

для

почти всех

0 ^

t ^

Т

Л (/,|) =

М [ Л (* ,а ,|)|^ |],

(7.181)

и W — iyPt, @~\) — винеровский

процесс

с

t