Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

§ 9]

АБСТРАКТНЫЙ ВАРИАНТ ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

335

Рассмотрим

для

а е А г

процессы

|° =

(|“ (а>)),

0 < / < 7 \

определяемые уравнениями

<Щ — A(t, а, la) d

t

В (t, la)dWt,

g«=

0.

(7.184)

Покажем

теперь,

что при фиксированном

t

цаХР-п. н.

It (®) =

Qt (а>W (со)).

(7.185)

Будем считать, что исходное вероятностное

пространство

(Q, Т , Р) таково,

что Q = A r X Ст, & = %\тX @т, Р = ца X IV-

(Это

предположение

не ограничивает общности,

но упрощает

рассмотрение.) Тогда, считая

со = (а, W),

а(сй) =

а,

W{u>) = W,

видим, что равенство

(7.185)

справедливо

ца X pw-n. н. в силу

(7.170).

наряду с исходным

пространством

идентичное ему

Введем

пространство

(Q,

Р). Пусть g(5), W (б),

а (б)— процессы,

рассматриваемые

на (Q, З Г ,

Р )

и имеющие те же

самые

(сов­

местные) распределения, что

и у процессов £(©),

W (ш),

а((о).

Рассмотрим

на (Q X Й,

X

Р X Р) процесс

Iя <ü>) (б) =

= (І?(а)(®)),

с

м (а) =

А (t, а (со), Iя<®>(б)) dt + В it, Iя<“>(б)) dWt (б),

Iя to) (б) = 0.

Тогда

в силу

(7.185) Р X Р-п. н.

i“(®)(ö) =

Qt(a(co)> Щ б)).

(7.186)

Л е м м а

7.5.

Пусть

процессы

а (со)

и

W (со)

независимы.

Тогда для

любого

(Р-п. н.)

Р {£ (со) е= А I іГ?} = Р {|аМ (б) е

А).

(7.187)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

теоремы

Фубини

следует,

что

вероятность

Р {!« (б) <

Ь) =

Р {Q, (а, Г (б)) <

Ь) =

{х: Qt (а, х) <

Ь), (7.188)

рассматриваемая

как

функция

а е

Аг,

является Лд -измери-

мой.

Следовательно,

Р(£“(б )^ й }

является

.^-измеримой

функцией

от а.

н.

Покажем,

что Р-п.

§ 91

АБСТРАКТНЫЙ ВАРИАНТ ФОРМУЛЫ

БАЙЕСА

337

Пусть

множество

Г — Гі X Гг,

Г) е

Г

Т о г

д а

в силу предыдущей леммы

На, 6(Г) — Р {®: а О») s

Г„ І (о) г

Г2} =

=

J

Р

(СО)^

Г21F f )

dp (со) =

J

Р {¥ (й) е

Г2} dpa (а) =

{со*а(со) s Гі]

: j

м-е« (Г2) rf|*a (а).

(7.194)

г,

Согласно (7.185),

сделанным предположениям

А — Е й тео­

реме 7.18 для

ра-почти

всех

а

т

причем (р^-п. н.)

dp a

г

Л (/,

я, и)

2

Л2 (/, я, и)

\

dtp

dt

(7.195)

- 3 iчr - w

= “

p \п0

о

В2 (/, и)

2

Ö2 (<, ч)

J

Поэтому

из (7.194) вытекает,

что

И«, 6(П = J

Н^(Г2)Фа(а)

dp а

Ф а(й )!

— (*)

W

г,

(

Г,

I

dp,а

-

Г, IX г2

dpT' d [ра X Нг)1 (^> х).

Следовательно,

И„ 5

X рп

и

имеет место

(ра X Ич_п. н.)

равенство (7.193).

Наконец,

согласно (7.195)

dp а

W = o = 0,

На X Нг| I d-, X. dp

поэтому

по лемме 6.8 ра X Нт, < На, !•

Л е м м а

7.7. Пусть

процессы

а

и

W

независимы.

Тогда

в предположениях А — Е Hs ~ Ип и

d^ . ( x ) = J

d^aA

-

^

r1"

lnX

Нп‘П- H.,

(7.196)

dp,

" [^а X H^]

dpt

Л (t,

ip

dr\r

4) d\ ’

(7.197)

ж

:

в 2 (t,

n)

( , , ) = е х р

J

где

A(t, x)= M [A {t, a, £)|

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначая

ф(а. -Ф

dHa,S

(a, x),

d [Pa X

H|]