Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 327

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

I 9]

АБСТРАКТНЫЙ ВАРИАНТ ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

339

 

 

 

Обозначим <7(со, ©)

 

(fö)

 

 

 

согласно (7.168)

 

 

(£(со)). Тогда

 

 

 

Г

^т- (a ( й ), I

( й ))

 

(ö)

 

 

 

 

 

j

 

— (I (cd)) dP (й )

 

M f ^ K

 

о_________________ *____________

(7.199)

і ) | П ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

£

11 W) dP (S)

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Но

~

fi,, И

(Р-п. Н.)

Ц 5а(б)

~

 

Поэтому

 

 

 

 

dp ga (Ö)

dptp. (ö)

 

dpг

 

 

 

 

dp* ( Ш )

dp.

( S H )

dp* ■(SH),

 

 

 

 

4

 

-»-Ti

 

 

 

 

 

что после подстановки

в (7.199)

дает

 

 

 

 

 

 

 

ÉTr (« («)> І И )

^ sa (ш)

 

 

 

 

 

—

- (І (M)) rfP (Й)

 

M[gr H

S ) l ^ ]

1

 

dp r)( 6 ) (I (со)) d Р (со)

 

 

Учитывая

равенство (7.193)

и обозначение (7.179), отсюда

находим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I gT (a (й), I (со)) ^

а' 1

(a (со), i (со)) dP (й)

 

 

 

 

 

 

d [Pa

X Иг)]

 

 

 

 

 

 

 

^Pa, I

 

 

g(a>)) d P (Й)

 

 

 

 

 

d [Pa X М"п1 (a (й),

 

= J gr (a (ö), I (cd)) pr (a (Ö), £ H ) dP (5) =

=J£r (a, I (cd)) Pr (a, | (cd))dpa (a).

Это и доказывает формулу Байеса (7.178). Формула (7.180), дающее представление для рг (а, х), вытекает из (7.192), (7.196)

и (7.197).

 

 

 

Отметим,

что справедливость формулы Байеса (7.178) можно

установить

прямыми подсчетаіии, не обращаясь к общей фор­

муле (7.168).

Действительно,

во-первых, случайная величина

{ g r i d , S

H

) P r ( a , S H

)являетсяöfll a ( a ) ^г|,-измеримой. Далее,

А

 

 

 

340

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 1

 

пусть Я(|) = Я(£(со)) личиной. Тогда

М Іёт (а, |)Я (|)] = М

является £Г|-измеримой ограниченной ве-

^Ва,£

d [Ва X Вт]] (а, ті) £т (а. "П) Ä.(г))

 

а

 

 

dPa, £

 

 

 

М Я (ті) М

d [В а X B n] (а, г]) gT (а, т]) I

 

Но процессы

и т] независимы.

Поэтому

 

м { т %

Ъ

( а ' , , ) г г ( а ' ’| ) | ! Г ? } =

 

 

 

 

= J

d [вТХ Впі (а’ 8т {а’ ^

(а)>

 

 

 

Аj

 

 

и, следовательно,

Гdpa j

М [gT(а, І)Я (|)]= М Я(Т1) J

(fl’

Aj

 

=

М л(|) Ітг^ Й д (“.0гг(<..і)*Л«)^(5)

 

 

Ap

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

M J Я (I)

J V ± i _ ( a

! d>li

/*)

gr (a, l) dpa (a)

 

 

Aj

l d [»a XPil

(a’ l)! dp

®

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

g r ( a ,

r (a,

І)4іа(а)1,

 

 

 

 

 

 

l

A j

 

 

g)p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

и вытекает формула (7.178).

 

 

 

теоремы 7.23 видно,

З а м е ч а н и е 1. Из

доказательства

 

 

md

 

 

 

 

 

что

можно отказаться от условий

А и С в ее формулировке,

 

 

 

 

 

 

{

 

J

 

 

 

 

если

имеет место

эквивалентность

мер раі|

и ра X Рп и спра­

ведлива формула (7.192) для

 

плотности.

регулярная

условная

З а м е ч а н и е

2. Пусть

существует

вероятность ра(5, отвечающая процессу а при заданном £0.

Если в (7.170) и

(7.176)

| 0= п0=

£, где

 

£ | <

1 , то

аналогично доказывается,

что

 

 

 

 

 

М [gj.(а, I)

1

9~\\ =

J gT(a,

l)pT(a,

^)dpanJa)

 

Р(|

 

оо)=(7.200)

(ср. с (7.178)).

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти замечания

используются далее в лемме 11.5.

З а м е ч а н и е

3. Формула

(7.178) с

рг (а, |)

из (7.180)

остается справедливой, если вместо условия D потребовать

лишь, чтобы Р j J

A2 (t, a,

Qdt <

ооj = 1 .

 

 

 

§ 9]

 

АБСТРАКТНЫЙ

ВАРИАНТ ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

341

 

 

 

5.

Имея в виду

обозначения (7.179), находим, что

 

 

 

Р (<хг <

b 19~\) =

J %{а;г<ь}(а)Рг(а>і ) ^ в(а)-

(7.201)

Заметим,

что *)

 

 

 

Аг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 7|аг <ь}Рг (а>V)d\la{ a ) =

М [х^аг (0)<6}Рг (а (®))> £(ш)] —

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

M[x{ar(ß)<b}M(pr (a (ö), £(со))[аг (й))].

Поэтому

из (7.201)

находим

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

Р (аг < ЬI 5Г\) =

[

М [рг (а (й), I (со)) [ ат(й) = а] d F ^ (а),

(7.202)

 

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

 

где Faj. (а) = Р (а7- <

а), а « = # ‘.

 

 

 

Если,

в частности, Faj. (а)

имеет

плотность paj. (а), то

Р (aT^ b

\

ь

 

 

 

I (со)) |аг (й) = а] ра^ {а) da.

 

I М[рг (а(й),

(7.203)

С л е д с т в и е

1.

 

Если

случайная величина ат имеет плот­

ность распределения

вероятностей ра (а), то тогда и апостери­

орное распределение

Р (аг ^ b |

также имеет (Р-п. и.) плот­

ность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dP (аг < bI зг|)

Рат(b) М [рг (а (й), %(со)) I ат(й) = Ь].

(7.204)

 

 

db

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если же случайная величина аГ принимает конечное или

счетное множество значений bh b2,

 

то

 

 

Р ( а г == bk I £~f) =

раг (Ьк) М [рг (а (й),

І (со)) | ат(й)) = Ьк],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.205)

где

 

 

 

по­

 

 

 

 

 

с л е д с т в и е

2. Если а — а (со) — случайная величина с функ­

цией распределения Fa (а) = Р (а (со) <1 а),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

ъ

 

 

 

 

 

Р (а <

b I Р \ ) =

{ Рг (а, I (со)) dFa (а).

(7.206)

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

*)

М — усреднение

по мере Р,

идентичной

мере Р, но определенной,

на (Q,

&),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г Л А В А 8

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ, ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ЧАСТИЧНО НАБЛЮДАЕМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

 

 

§ 1. Фильтрация. Основная теорема

 

1. Пусть

(Q, 8Г, Р) — полное

вероятностное пространство,

O ^ t ^ T , — неубывающее семейство непрерывных справа

ст-подалгебр

пополненных

множествами из

нулевой

вероятности.

 

 

 

 

Пусть (Ѳ, I) — двумерный частично наблюдаемый случайный

процесс,

где

Ѳ= (Ѳг, £Tt),

 

— ненаблюдаемая, а £ =

— (It, @~t),

— наблюдаемая компоненты. Задача опти­

мальной

фильтрации для

частично наблюдаемого

процесса

(Ѳ, £) состоит

в построении

для

каждого момента t,

0 <1 t ^ Т,

оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки некото­ рой ^-измеримой функции ht, зависящей от (Ѳ, £), по резуль­ татам наблюдений | s,

Если М/г? < ооі то такой оценкой, очевидно, является апо­ стериорное среднее nt (h) — М (ht \ &~f). Без специальных пред­

положений о структуре процессов (/г, |) отыскание nt (h) пред­ ставляется весьма трудным. Ниже будет предполагаться, что

компоненты

процесса (А, |) являются процессами

типа (8.1)

и (8 .2 ), что

дает возможность вывести для nt (А)

стохастиче­

ское дифференциальное уравнение (8 .10), называемое уравне­ нием оптимальной нелинейной фильтрации. Применению этих уравнений для эффективного построения оптимальных «филь­

тров» будут посвящены последующие главы.

предположений

2.

Перейдем

к

формулировке

основных

о структуре процесса (А, |). Будем

предполагать,

что процесс

A = (ht, S^t), t ^

T,

может быть

представлен

в

следующем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 8. 1)

о

§ 1]

 

 

 

 

 

 

ФИЛЬТРАЦИЯ.

ОСНОВНАЯ

ТЕОРЕМА

 

 

 

 

 

343

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

X — (xt, g't),

 

t <

Т, — мартингал,

а Н — Щи &~t),

t < T , —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

случайный

процесс с

J [ Hs \ds <

оо (Р-п. н).

В силу

непрерыв-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

(xt, & (),

ности справа ст-алгебр 5Ft и теоремы 3.1 мартингал

t ^ T , имеет непрерывную справа модификацию,

которая далее

и будет

рассматриваться.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

t)

 

Относительно

 

наблюдаемого

 

процесса

|

=

 

(^,

 

будет

предполагаться,

 

что он

является

процессом Ито,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l/ =

l o +

J

4

(co)ds+ J

Bs (|) dWs,

 

 

 

(8.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где W=(Wt,

1)—винеровский процесс. Процессы A = (A t (ю), @~t)

и B —

 

£F,)

 

предполагаются

такими,

что

< ooj

 

 

(8.3)

где

Р

jj| ЛДсо)

\dt

<

ooj=.l,

 

P^J ß?(I)

 

=

l,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

измеримый

функционал

Bt (x),

O s^ t^ iT ,

x ^ C T,

является

^-измеримым при каждом

 

что функционал Bt (x), х е С г,

Далее будет

предполагаться,

0 < * < 7 \

удовлетворяет следующим условиям:

 

 

 

 

 

 

 

I Bt (х) — Bt (у) I2 <

L, J [xs — e/s]2 dK (s) -f- L2 [x, — ytf,

(8.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß 2W < L ,

j

(\+ xl)d K (s) + L2( l+ x f ) ,

 

(8.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Lu L2— неотрицательные константы, K(t),

 

i / s

Ст.

—

неубывающая непрерывная справа функция,

х,

 

 

Если

gt =

gt {®),

0 < Н < ;Г ,— некоторый измеримый случай­

ный

процесс

с

 

Ml g v Ko o ,

то

у условного

математического

ожидания

М (gt I

 

 

 

существует

измеримая модификация (см.

[52],

[126]),

которая

будет

обозначаться nt {g).

 

 

 

 

 

следую-

3.

Основной

результат этой главы

формулируется

щим образом.

 

 

 

 

Пусть

частично наблюдаемый

случайный

Т е о р е м а . 8.1.

процесс

(h, g)

 

допускает

представление

(8 .1) — (8.2).

Пусть

Смотрите также файлы