Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 330

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

344

о б щ и е у р а в н е н и я н е л и н е й н о й ф и л ь т р а ц и и

(ГЛ. 8

 

выполнены

условия (8.3) — (8.5)

и

 

 

 

 

sup

Мht <

°о,

( 8. 6)

 

 

I МH\dt < оо,

(8.7)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

1 МЛ? dt < ОО,

( 8 . 8)

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

В) (х) >

С >

0.

(8.9)

Тогда для

каждого t,

O ^ t ^ T ,

Р-п. н.

 

(h) +

яя (Н) ds +

 

 

 

 

я, (h) = я0+

t

коJ(D) + [я, (АЛ) -

я, (A) ns (Л)] ВТ1(£)}dW„

(8.10)

где

J

r , =

J

dis — ns (Л) ds

 

 

 

 

 

 

Ball)

 

— винеровский процесс (относительно системы ( Т % 0 <

/ < Г),

а D — (Dt, ^ ,) — процесс

с *)

 

 

 

 

 

 

Dt

d(x, W)t

(8. 11)

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

Уравнение

(8.10) будем называть основным уравнением

(оптимальной

нелинейной) фильтрации.

 

§2. Фильтрация. Доказательство основной теоремы

1.Доказательство теоремы 8.1 будет существенно опираться на результаты глав 5 и 7.

Из условий (8 .8) и (8.9) следует, что

 

т

 

 

 

 

J

М| Л( |тД < оо,

I Bt (x) I> ѴС > 0,

(8.12 )

 

о

 

 

 

 

Следовательно,

М | ЛJ <

оо для почти всех t, 0

^ t ^ Т. Не

ограничивая

общности,

можно

предполагать, что

М] Л , | < оо

для всех t,

0

 

Тогда

по теореме 7.17 W — (Wt,

*) Определение процесса (х, W)t дано в гл. 5, § 1, п. 2.

§ 2]

ФИЛЬТРАЦИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

345

 

является винеровским процессом и процесс l — STt), опре­ деленный в (8 .2 ), допускает дифференциал

d l t = nt (A )d t + B t {l) d W t,

(8.13)

где я, (А) = М [A t (со) |

Всилу неравенства Йенсена и предположения (8 .8)

тт

J Мя^(Л)й?/^

J МA ]d t <

оо,

(8.14)

о

о

 

 

что вместе с предположениями

(8.4), (8.5)

и (8.9)

обеспечивает

применимость теоремы 5.18. Согласно этой теореме и лемме 4.9 у всякого мартингала Y = {yt, ^ ) , существует не­

прерывная модификация, допускающая представление *)

yt = y a + \ h ( l ) d W s,

(8.15)

о

 

— 1 и в случае квадратично интегрируе­

мого мартингала

J М/^ (£)ds <

°о (ср. с (5.122)).

 

 

Из

 

о

(8 .6), (8.7) следует, что мартин­

(8.1) и предположений

гал X — (xt, lFt)

квадратично

интеТрируем. Беря

от

обеих

частей

в (8 . 1) условное математическое ожидание

М(*

\&~)),

находим, что

 

 

 

 

я,(Л) = М(Ао|0-|) + м (/

Hsds\<r)\ + M(xt \(r)).

(8.16)

2 .

Сформулируем теперь в виде лемм ряд вспомогательных

утверждений, дающих возможность преобразовать правую

часть в (8.16) к выражению, стоящему в правой части

(8 .10).

Л е м м а 8.1.

Процесс (M(A0|iFf), (Ff),

является

квадратично интегрируемым мартингалом, допускающим пред­ ставление

t

 

М (А01(Ff) = л0 (,h) + J g* (|) dWs,

(8.17)

о

т

где М J [sfj(|)]2rfs< °°-

о

*) В (8.15) измеримый функционал fs (x) является ^-(.-измеримым при каждом 0 < s < Г.

 

о б щ и е

у р а в н е н и я НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

[ГЛ. 8

346 Доказательство

леммы очевидным

образом

следует из тео­

ремы 5.18

и теоремы 1.6,

согласно

которой

у

мартингала

М {ho І^І) существуют Р-п. н.

пределы справа

для

каждого t,

о < г < г .

8.2. Процесс (М {xt | iF|),

£Г|),

 

является

Л е м м а

 

квадратично интегрируемым мартингалом, допускающим пред­

ставление

t

М( x t I & ~ Т )= { S's (?) d W s

(8.18)

О

 

С М I (gxs (ЮУ d s <

Д о к а з а т е л ь с т в о . Тот факт, что этот процесс является мартингалом, проверяется так же, как и в лемме 5.7. Квад­ ратичная интегрируемость следует из того, что таковым является мартингал X = {xt, &~ty Существование 1ішМ(д:5[^ '|) вытекает

из теоремы

3.1.

Поэтому заключение

леммы — прямое след­

ствие теоремы 5.18.

a = (at,&~t),

0 < / < 7 \ — некоторый

Л е м м а

8.3.

Пусть

случайный

 

процесс с J

М[ at [di < оо, а 'S — некоторая а-подал-

гебра

Тогда

о

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

М

 

 

j

М {as \§) ds (Р-п. н.), 0 < / < 7 \ (8.19)

 

 

 

о

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Я — К(со) — ограниченная ^-изме­ римая случайная величина. Тогда, используя теорему Фубини, находим, что

М

Я J asds =

J M[Aas]ds —

 

 

L

О

J

о

г

г

 

 

 

t

 

 

 

— J М {ЯМ (о, \$)} äs =

М Я

f M(as |^)ds

 

 

 

 

L

о

С другой

стороны

 

 

§ 2]

ФИЛЬТРАЦИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

347

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

М

А I

М (asI 'S) ds

— М

AM I J

ccs ds | 'S

 

Отсюда

в силу

произвольности А = А (со)

получаем требуемое

утверждение

(8.19).

процесс

 

 

 

Л е м м а

8.4.

Случайный

 

 

 

|^М Ц

Hsd s \ r ] j — J

ns {H)ds, g~\J,

О

(8.20)

является квадратично интегрируемым мартингалом, допускаю­ щим представление

М ( [

Hs ds\ ёГ - j \ (Я) ds = / g« (i) dWs

(8.21)

c j M (g f^))2^

<_' o o .

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование (Р-п. н.)

lim M N Hudu\&-\\ — J я» (Я) du

(8.22)

следует из теоремы 1.6. Поэтому утверждение леммы будет вытекать непосредственно из теоремы 5.18, если только пока­

зать, что

процесс

(8 .20 ) является

мартингалом (квадратичная

интегрируемость следует из предположения (8.7)).

Пусть

 

Тогда

в силу леммы 8.3

 

L0

 

t

 

- j

M

 

>

М М

 

I

 

 

J =

Ни du

I ёГ}

 

nu(H)du\r\

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

= М

 

Ниdu) ёГ.

 

 

\nu(H))9*]du-

 

M

j

H u d u W l

+ M

 

f Hu du] T,

J M [я„ (Я) I f ) ] du - J M [я„ (Я) I &■)] du. (8.23)

Смотрите также файлы