Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 332
Скачиваний: 0
348 |
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ |
[ГЛ. 8 |
|||||
|
|
||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
I М [я„(Я)| |
&~\\du— I |
nu{H)du |
(Р-п. н.) |
(8.24) |
||
|
о |
|
|
о |
|
|
|
и для и ^ S |
|
|
|
|
|
|
|
|
М [я „(Я )|0 І] = |
М {М (Я „ |^ Е )|^ !} = |
М {Я„|5Г!}. |
|
|||
Поэтому по лемме 8.3 |
|
|
|
|
|
||
|
- |
1 |
-] |
t |
|
|
|
|
М |
^ H udu\&-\ = |
J |
M{nu(H)\3-l\du. |
(8.25) |
||
Из (8.23) — (8.25) вытекает, что процесс (8.20) является мартингалом.
3.Вернемся вновь к доказательству теоремы. Из (8.16),
лемм 8.1, |
8.2 и 8.4 |
находим, что |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
Щ(h) = |
яо (h) + |
J |
я5 (Я) ds + I |
gs (g) dWs, |
(8.26) |
||||
где |
|
|
|
о |
|
|
0 |
|
|
|
gs (l) = |
ghAl)>S |
+1 |
ÖSgxAl) + |
gHA l) |
|
|
(8.27) |
|||
c |
|
|
||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mg2s (£)ds < |
oo. |
|
|
(8.28) |
|||
Покажем теперь, что |
Р-п. н. |
для |
почти всех t, |
|
||||||
|
gs (I) = л, (D) +J [я, (НА) - |
я5 (Н) я, (Л)] В 71(I). |
(8.29) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Поступим |
следующим |
образом. |
Пусть |
yt= |
| gs (|) dWs, и |
|||||
* |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
zt ~ J ^siQdWs, где Я. = |
(Л5(|), |
— некоторый |
ограниченный |
|||||||
о |
процесс |
с | ks (£) |
С < |
оо. По свойствам |
стохасти |
|||||
случайный |
||||||||||
ческих интегралов |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mytzt = M |
j K( l ) gs( t ) ds . |
|
(8.30) |
||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
Подсчитаем теперь Мytzt другим способом, учитывая, что |
||||||||||
согласно (8.26) |
|
|
|
|
< |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Уі = Щif1) ~ |
я0(h) — J я5 (Я) ds. |
|
(8.31) |
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
350 |
|
ОБЩ ИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ |
|
|
ІГЛ. 8 |
||||||||
|
Процесс |
г — (zt, !Ft) является квадратично интегрируемым |
|||||||||||
мартингалом. |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
|
Ш Д) = |
М (h0М (г0 І^о)) = |
Mh0z0 = 0 |
|
|
|
|
|||||
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
zsHs ds = |
|
[M {zt \ &~s) Hs]ds = |
|
Hs ds. |
|
|
||||||
|
М J |
M J |
MS, J |
|
|
||||||||
|
o |
|
o |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Значит, в силу (8.1) |
и теоремы 5.2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
|
|
zt \h t — hQ— f Hs ds |
|
|
|
|
||
м |
ztht — J |
zsHs ds |
= |
M |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
V |
0 |
/-. |
|
|
|
|
|
По лемме 5.1 |
|
|
|
|
|
= Мг,А, = М {z, x)t. |
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z, xt) = |
I |
Я, (g) Ds ds |
(P-п. H .), |
|
|
|
(8.37) |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
ztht — J |
zsHs ds |
= M (z, x)t = M J |
%s (g) Ds ds = |
|
|
|
||||||
|
о |
|
|
J |
|
|
о |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
M j bs&)ns (D)ds. |
|
(8.38) |
|||
|
Вычислим |
теперь |
второе слагаемое в правой |
части |
(8.36). |
||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
л s (ю ) — я 5 (Л ) ds |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
B s (g) |
|
ds+м J" |
(Ю |
|
т л і г |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
t |
- |
М о К (S) |
|
|
||||||||
= |
М |
|
|
||||||||||
~ |
s b |
X |
s{A) |
к |
[1г< ~ к ] |
|
|
|
d s " |
||||
|
' Jк т® |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
J |
|
|
J i sJ M l - n A h ) Я5 ( A ) |
d s + |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
м |
J К (I) [ht - |
hs]-^ |
~ л(| }(л)- ds. |
|
(8 .39) |
||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
s |
|
|
|
|
ФИЛЬТРАЦИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ |
|
Збі |
|||||
Заметим, |
что |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ht — hs — J |
Hu du + (xt — |
xs) |
|
|
||
|
|
S |
|
|
|
|
|
и M (xt — xs |# “s)==0. Поэтому |
|
|
|
|
|||
t |
|
|
|
|
|
|
|
M j |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= M j |
\ (I) [xt ~ |
xs] |
s |
ds + |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+ MJK d ) — |
Hudu)ds- |
|
|
||||
|
|
= |
M |
к т |
л‘ Ві^ Л) du |
Hs ds. |
|
Отсюда и из |
(8.39) |
следует, |
что |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
Mh К (I) As (м) —я5 (А) ds — |
|
|
|
|
|||
|
Bsß) |
|
|
|
|
|
|
|
М |
к { 1 ) ЛмЦ _ ^ А А І аи |
Hsds + |
|
|
||
|
|
+ M | |
A* (l) |
ns (hA) - M A) M .d>. ds. |
(8.40) |
||
Из (8.36), (8.38) и (8.40) находим, что |
|
|
|
||||
Мг/А = |
М ks (Q ns(D) + |
Jts (hA) —ns (ft) ns (Л) |
ds. |
|
|||
|
|
|
|
Bsd) |
|
|
|
Сравнивая это выражение с (8.30), убеждаемся в справедли
вости формулы |
(8.29) Р-п. н. для |
почти всех t, |
0 ^ i ^ T . |
Поскольку же |
значение интеграла |
Jt gs (l)dWs> |
входящего |
|
|
о |
|
в (8.26), не изменяется от изменения функции gt (|) на множен стве лебеговой меры нуль, то равенство (8.29) можно считать выполненным Р-п. н. для всех t, 0 ^ t ^ Т.
Теорема 8 .1 доказана.
352 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 8
4. |
З а м е ч а н и е . |
Из доказательства теоремы следует, что |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
п t ( hA ) — nt (h) щ ( Л ) |
)2 |
|
|
||||
|
|
М I я, (D) |
|
|
|
вЖ) |
|
J dt < оо. |
(8.41) |
|||
5. |
Выделим один частный случай доказанной теоремы, когда |
|||||||||||
At = |
0 , |
ß / = l , |
|o ==ö' |
|
|
|
t), |
< 7 \ |
— винеровский |
|||
Т е о р е м а |
8.2. Пусть W— (Wt, |
|||||||||||
процесс |
и процесс ht — h0-f |
o |
|
Hsds + xt, где X = |
(xt, &~t) — мар- |
|||||||
тингал. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(I) |
sup |
М/г? < оо, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
о<г<т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(II) |
I MHtdt < оо, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
то |
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
nY (h) = < |
(h) + |
|
|
f (H) ds + |
n f (D) dWtt |
(8.42) |
||||
где |
|
|
|
|
nY(g)оJ=nM[gt \r Y ] ,0J |
|
|
|
||||
a |
|
|
|
|
n _ |
|
d(x, |
W)t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
U > ~ |
|
dt |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Представление (8.42) следует из (8.10), |
||||||||||||
если только |
заметить, что в рассматриваемом случае |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
lt = |
|
Wt = Wt. |
|
|
|
||
С л е д с т в и е . Пусть X = (xt, @~t) — квадратично интегрируе |
||||||||||||
мый мартингал. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
М (xt j P f ) = MxQ+ Jt |
M (as I r j ) ds, |
(8.43) |
|||||||
где (x, W)f — Jt as ds. |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
о
Формула (8.43) была ранее получена в § 5 гл. 5 (формула
(5.85)).
