Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 335

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3]

Д и ф ф у з и о н н ы е м а р к о в с к и е п р о ц е с с ы

353

 

§ 3. Фильтрация компонент

 

диффузионных марковских процессов

 

В

качестве иллюстрации основной теоремы 8.1

рассмотрим

задачу оценивания ненаблюдаемой компоненты 0, двумерного

диффузионного марковского

процесса

(0,,

£,),

0 ^ t ^ Т, по

результатам наблюдений

Ѳ5,

s +П.

 

 

 

Приведем точную постановку задачи.

 

Р) заданы неза­

Пусть на вероятностном пространстве (Q,

висимые

между

собой

винеровские процессы

№) = (Н7г (0 )>

г = 1 , 2 ,

0+ Н +17\

и случайный вектор

(Ѳ0, | 0),

не зависящий

от Wh W2. Обозначим

£ \ = <т{<о: Ѳ0, Іо, Wx(s), W2(s), s<t}.

Согласно теореме 4.3 (пополненные) а-алгебры @~Y являются непрерывными. Аналогичным образом доказывается, что (попол­

ненные) а-алгебры

3Г1 также непрерывны.

 

Пусть (Ѳ, I) = (Ѳ„ h),

0 + + + 1 7 , — случайный-процесс с

 

dQt =

а (/, Ѳ„ It) dt +

bi (/,

Ѳ„ lt)dWi (t) +

b2(/, 0„ g,) dW2 (t),

 

dlt =

A(t,Qt,lt)dt + B ( t , l t)dW2{t),

[

’

Ѳ0= Ѳ0, І0= І0, Р(| Ѳ0 | <оо) = Р ( | | 0 | < о о ) = 1 .

 

Если g(t, Ѳ, х)

обозначает любую

из функций a(t,Q,x),

A(t, Ѳ, х), b, (t, Ѳ, х), b2(t, Ѳ, х), B(t, х), то будет предполагаться,

что

1 g (t, Ѳ', X") - g ( t , Ѳ",

X") р <

К ( I

Ѳ' - Ѳ" I2 + \ х ' - X " р ),

g 2(t,

Ѳ, х ) <

К(1

(8.45)

+ Ѳ 2 + х2),

Из этих предположений, теоремы 4.6 и замечания к ней следует, что система уравнений (8.44) имеет единственное (силь­

ное) решение, являющееся марковским процессом.

При этом,

если

 

М(ё* +

І*)<оо,

(8.46)

то

 

 

sup М (02 +

If) <

оо,

(8.47)

 

 

и в силу

(8.45)

 

 

 

 

 

sup М [A2(t, Ѳ„ І

+

У] < «5.

(8.48)

Пусть

h — h(t,

0„ It) — измеримая

функция такая, что

M\h(t, Ѳ„ h )\< ° ° -

Используя

теорему 8.1, найдем

уравнение

для л, (h) = М \h(t,

Ѳр £() I ^ \ \

 

 

 

12 Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев

354

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

[ГЛ. 8

Наряду со сделанными уже предположениями (8.45),

(8.46)

будем

предполагать, что

 

 

ВЦt , x ) ^ z C > 0

(8.49)

и что выполнены следующие условия:

функция А - - - А (t, Ѳ , х) непрерывна вместе со своими частными

производными

 

h't, he, h'x, h'ée, hex, h"x\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.50)

 

 

sup Mh2(t, Qt,

 

<

oo;

 

 

 

 

(8.51)

 

 

<<r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J M[2A(f,

Qlt

h)]2d t <

cx>,

 

 

 

 

 

(8.52)

где

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Üh (t, Ѳ , х) = h't (t, Ѳ ,

х) + А ѳ (t, Ѳ ,

х) а (t,

Ѳ ,

х) + А *

(t, Ѳ , х) А (t, Ѳ , х) +

+ j А ѳѳ ( f , Ѳ , ж) [b\ (t, Ѳ , * ) +

Ъ\ ( / ,

Ѳ , х)\ +

1

А "

 

(t, Ѳ ,

х) В2 (t,

х) +

 

 

+

hex (t, Ѳ ,

х) bi ( t,

Ѳ ,

х) В (t, х ) .

( 8 . 5 3 )

Наконец, предположим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J М { [ W

 

 

ѳр У +

А§(*. Ѳ „

І , ) ] } dt < о о ,

( 8 . 5 4 )

о

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ М [а;(/, Ѳ,, y ] 2 ß 2(/,

 

<

оо.

 

 

(8.55)

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

8.3. Если выполнены предположения (8.45), (8.46),

(8.49) — (8.52)

и (8.54), (8.55),

то Р-п. н.

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я/ (А) = я о (А) + J

(2 А) ds +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Г [я, (Jfh) +

- *(Л- } ~

 

 

 

(/°

dWs,

(8.56)

 

 

у L

 

 

 

В [S,

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wt =

d is

— i i s (A) ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В (s,

I s )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является винеровским процессом (относительно (<ГІ), О ^

t

f) и

J f h (t, Ѳ ,

X) =

А ѳ ( / , Ѳ , х) Ъг{t, Ѳ , х) + h'x (t,

Ѳ , х) В (t,

х).

( 8 . 5 7 )

§ 3]

ДИФФУЗИОННЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

355

Д о к а з а т е л ь с т в о . По формуле Ито (Р-п. н.)

 

 

t

 

 

 

 

h (t, Ѳ„ lt) = h (О, Ѳ0, У + J 8Л (s, Qs, У ds +

х(,

 

 

 

о

 

 

 

 

где

t

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

I

у у <<»>>+

 

 

 

 

О

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ J 4 ( s .

в., у

в (»,!,)d w , (s).

 

 

О

 

 

 

 

Согласно

сделанным

предположениям

процесс

X =

(xt, @~t)

является квадратично интегрируемым мартингалом.

 

 

Установим теперь,

что

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

<*. W7,),—

j p«(s. Ѳ,> l,)»j(s. e., У +

 

 

 

 

 

 

+ ЧЦ. У У В(*.У1*-

(8-58)

С помощью формулы Ито легко находится,

что

 

 

 

t

Qs, у b, (s, Ѳ,, у dir, (s) +

 

 

 

x,Wa (t) =

j w 2 (s) h'0 (s,

 

 

 

о

t

+ j [*, + к (». в,. У h (». 8,. у + < (s. в.. У в(«. У ] i»7, W +

о

t

+ J K(s. 8,. УМ*, в., у + л;(5, 0„ у B ( S , У]is. (8.59)

О

При этом непосредственно проверяется, что процесс У = ( y t,

t

y t = *,1Г2 (t) - f [A' (s, Ѳ5, у b2 (s, Ѳ„ у + К (s, Ѳ,, у В (s, у ] ds

о

является мартингалом.

Отсюда, как и в примере 3 гл. 5, вытекает справедливость формулы (8.58).

Чтобы получить теперь требуемое представление (8.56), осталось лишь воспользоваться теоремой 8 .1 .

12*

356 ОБЩ ИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ |ГЛ. 8

§ 4. Уравнения оптимальной нелинейной интерполяции

1 .

Как и в §

1 ,

будем

предполагать, что

рассматривается

двумерный процесс

(/г,

I) — (ht,

l t),

0 < і < Т,

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

ht =

h0+

I"

Hsds~\- xt,

(8.60)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

l/ =

lo +

J

As d s +

J Bs(l)dws,

(8.61)

 

 

 

о

 

 

0

 

удовлетворяющий предположениям теоремы 8 .1 .

Задача оптимальной интерполяции состоит в отыскании оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки hs по

результатам наблюдений £ц,

u ^ t , где t ^ s . Если

Mhl < оо,

то такой оценкой является апостериорное среднее

 

я8><(А) =

М[Ав|<Г|].

(8.62)

Для ns,t(h) можно получать уравнения двух типов: прямые (по t при фиксированном s) и обратные (по s при фиксирован­ ном Д

В настоящем параграфе будут выведены прямые уравнения, аналогичные уравнению (8 .10 ) для nt (h) — nu t (h).

Те о р е ма 8.4. Пусть выполнены предположения теоремы 8 .1. Тогда при

ns,i(h)=ns (A)-f

 

 

 

5гП —

 

 

B a ( l )

—У-dWu. (8.63)

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего заметим, что фор­

мулу (8.63) можно переписать в следующем

виде:

_ , « л _ _

„„4

, Г

M{ hsAu \ P l ] - n S' u ( h ) Ku (A)

^s,

('v

"T” J

ß

d-Wu

ИЛИ

аіК,.і т = ^ Ѣ Щ

где

Смотрите также файлы