Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 333

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4]

УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

357

Рассмотрим теперь квадратично

интегрируемый

мартингал

у = {Уѵ <Н)

с

t > s .

(8.64)

 

yt = M ( h s \3r\),

Согласно

теореме 5.18 yt для t ^

s допускает представление

 

yt == я, (h) + Jt gs, и(I) dWu

(8.65)

 

$

 

 

с винеровским процессом W = (WU, &~1) и процессом (gs u(£), u ^ s , удовлетворяющим условию

t

М j ë\,u{l)du < oo.

Как и при доказательстве теоремы 8.1, введем квадратично интегрируемый мартингал Z — (zt, 5^) с

t

zt = \ h . u ® d W u,

где I К, иіі)

 

< °°-

 

 

 

 

Нетрудно

 

найти, что

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м ytzt =

М J к , и Ш gs, и(Юdu-

(8.66)

 

 

 

S

 

 

 

С другой

стороны, принимая

во внимание,

что

 

 

 

 

t

 

 

 

 

W, = W ,+ l

 

 

находим, что

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

Mytz t = MM( hs \ P \ ) z t =

Mhaz t =

 

 

 

 

t

 

 

t

 

■= МAs J \ . в (I) dWu +

М/г, J XSi в (1 )

dU"

 

s

 

 

s

 

/

t

 

 

X

t

 

=M hsM

 

K,u(l)dWu \9-s

+

hsAa — hsftq (''l) .

 

MJ W l )

“ßu(I)

M(hsAu \ r l ) - M ( h s \ ^ l ) K u {A)

M U s, n (I)

ß«(l)

358

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

[ГЛ. 8

Сравнивая

правые

части в (8 .66) и (8.67), находим, что

Р-п. н. для почти всех

и ^ s

 

 

ës, U(I)

В и ( 1 )

(8.68)

Как и в теореме 8.1, без ограничения общности можно

считать,

что

функция

gs и(Ю определяется равенством

(8 .68)

(Р-п. н.) для всех

s.

З а м е ч а н и е .

Из доказательства теоремы следует, что

 

M{hsAu\!Tl)-M (hs \irl)nu(A)

 

 

du < оо.

 

 

Bud)

2.

Применяя

теорему 8.4 к процессу (Ѳ, £), рассмотренном

в § 3,

находим, что (в предположениях теоремы 8.3) для t ^ s

M[ä (s, Ѳ., 6,)|<Н] =

—

 

t

Мlh (s, Ѳ„ 1,) ГА (и, Ѳ„, І,,) - я..

 

 

Щ {h)

— ^

я J ’-----“

 

+ J

 

Du(I)

М)11Т \ \ -

Л 1 dWu. (8.69)

§5. Уравнения оптимальной нелинейной экстраполяции

1.Снова будем предполагать, что процесс (h, £) описываетс соотношениями (8.60), (8.61) и что выполнены условия тео­ ремы 8 .1 .

Пусть / ^ s

и

 

 

nt'S(h) = M[ht \!Tl].

(8.70)

Очевидно,

что если М/г^<оо, то nt

(h) является опти­

мальной (вообще говоря, нелинейной) оценкой «экстраполируе­

мого» значения ht по наблюдениям \ и,

u ^ s ^ t .

Идеи, при­

мененные при выводе уравнений (8 .10 )

для

nt (h),

позволяют

получить также уравнения и для nt,s {h)

по

/ при фиксиро­

ванном t. Эти уравнения естественно называть обратными

уравнениями

экстраполяции

в отличие

от прямых уравнений

(по t~^s при фиксированном s).

предположения тео­

Т е о р е м а

8.5.

Пусть

выполнены

ремы 8.1. Тогда при

фиксированных t и s,

 

Щ, в W = Щ, о (А) +

_

, M [ M ( M Г и ) ( Л и - * и ( А ) \ ! Г І ]

dWa,

 

“{D) -Г

 

вЖ )

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.71)

§ 5]

 

 

 

 

УРАВНЕНИЯ

ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

 

359

где

Ds =

d

 

11

X = (xs,&~s)> s ^ . t ,— квадратично инте­

грируемый

мартингал

с xs — M(ht \&~s).

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

t фиксировано и s ^ t . Поло­

жим

ys =

М (ht I $~1).

Процесс

Y = (ys, 5^1),

s < t,

является

квадратично

интегрируемым

мартингалом, и

по теореме 5.18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

0я = М(А( |<Г§) +

j g Utt(l)dWu

(8.72)

С

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М I

 

t (I) du < оо.

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Как

и

 

при

доказательстве

предшествующей

теоремы,

положим

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zs = \ K ( l ) d W u,

 

 

где I Хи (І) К

 

 

 

о

 

 

 

 

С <

оо.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мyszs =

М J5

Хи(I) ga, t (I) du.

 

(8.73)

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Вычисим теперь Mz/S2 s иным способом. Ясно, что

 

Мy z s =

ММ (ht I $~l) zs =

Мhtzs = М (ht \ &

s) zs =

m szs.

Процесс X = (xs, £%), 0

 

является квадратично инте­

грируемым

мартингалом,

и по теореме 5.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

(Je,

W)s =

j' Dudu,

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

M [ Dt du <

оо.

 

 

 

 

 

 

 

о

 

Z = (zs,SFs), s^Lt, — квадратично

интегрируемый

Пусть

 

S

мартингал с zs = J Ku(l)dWu. Тогда, поскольку

о

W , = W , + j Л‘ - ? & du.

О

то

(8.74)

г , = 2 а + \ок ® - Лчв ^ т — аи-

360 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ (ГЛ. 8

Следовательно,

S

Mz/Ä =

Mxszs =

+

Mxs I

(I) А!‘ в Л і ) А~

du =

 

 

 

 

 

 

ü

 

 

 

 

 

s

 

 

s

 

 

 

= M

Г К (І) *« (D) du +

Mx5 [ %u(I)

-dU'

(8.75)

 

 

 

J

 

 

J

lb /

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M* A =

M ГAu (g) Dadu = М [ К (£) пи (D) du

(8.76)

по лемме 5.1.

 

что

 

 

 

Аналогично находим,

 

 

 

 

S

 

 

 

 

5

 

 

т

j к

(I)

 

du = u \

к ©

du

 

 

 

 

 

 

 

В и ( I )

 

 

 

 

 

 

М I

M £ ) M f e |g r j

 

(8.77)

Но *8=М (А ,|0% )

и, значит, при и

 

 

 

 

 

 

М(х5 | Г и) = М(/гг | ^ и),

 

 

что вместе

с (8.77) дает

соотношение

 

 

 

 

 

 

du ■

 

 

 

 

 

 

(£)

 

 

 

 

 

 

 

М J

Л. (I)

 

 

^

(8.78)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Из (8.76) — (8.78) получаем

 

 

 

Мyszs =

М

Хи(I)

ла (D)

М[М( М ^ Ц) И „ -я „

 

du.

 

ßa(i)

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.79)

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая (8.79) с (8.73), находим, что Р-п. н. для

почти

всех

и ^

s

 

 

 

 

 

 

а, М[М(А , | ^ ) ( 4 „ - я ц( Л))| ^]

бг/ Іё /

■Г1и \*-/ / I

^

( 8 .8 0 )

§ 5] УРАВНЕНИЯ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 361

Не ограничивая общности, можно считать, что функция gu(|)

определяется равенством (8.80) для

всех u ^ . s .

Вместе с (8.72)

это доказывает требуемое представление (8.71).

вытекает, что

З а м е ч а н и е .

Из

доказательства

теоремы

М I

{*„ ,0 , +

М |М |> І|І,Г -

» ^

- -

М )> | Г І 1

2 du <

оо.

2.

Рассмотрим

представление

(8.71)

в случае

диффузион­

ного процесса (Ѳ, £), рассмотренного в § 3.

 

 

 

Пусть

t фиксировано

и для s ^ /f

 

 

 

 

 

 

8 (s, Ѳ, х) =

М {h (t,

Ѳ(, У | Ѳя = Ѳ,

| я =

*}.

 

Предположим, что эта функция удовлетворяет условию (8.50) и)

 

 

 

Sg(s, Ѳ, х) = 0,

 

 

 

(8.81)

где оператор 8 определен в (8.53).

 

 

 

 

 

Предположим также,

что

 

 

 

 

 

 

M j !(й (* Л .

і=І

 

у

+

 

 

 

 

 

о 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

(§'Л*.

0s, i s))2 ß 2 (S, y } d S <oo.

(8.82)

По формуле Ито для

S

g(s, Ѳ8, У = g (О, Ѳ0, Ы + I 8 g (и, Ѳ„, U du -f

О

2s

+Ц I g'f>(u,Qu, Q b l (u,eu, l a)dWt(u) +

і—1 О

 

 

s

 

 

 

+ J

Q d W M -

 

 

о

 

Отсюда видно, что в силу предположения

(8.81) процесс Y =

= {ys, 3TS),

с ys =

g(s, 0S, ls) является квадратично инте­

грируемым мартингалом

и

£ц)^(ы>

$

 

 

( ^г)5“ J* [£ѳ(м>®u»£и)Л(и>

У>

 

 

 

о

 

 

 

Поэтому в силу (8.71) и того, что

 

М (h (t, Ѳ/; у

|^%) =

М (/г (Л О,, 1,) |0S, У = g(s, Ѳя, | s),

Смотрите также файлы