362 |
|
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ |
[ГЛ. 8 |
получаем |
|
|
|
|
М [h(t, |
Ѳ„ |
|
м [h(t, |
Ѳ„ lt) \ F \ ) + |
|
|
|
+ |
Я« (jfg) + Яи {8~ в Ъ ъ ! ) Пи{А) } dWu> |
(8-83) |
где |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
•№§(и’ Ѳи>£и)~ -J£ѳ{(и’ |
г(м’ 8„> іи) + £*(м>Ѳи>g ß ( « , |
£„)• |
§ |
6. |
Стохастические |
дифференциальные уравнения |
|
счастными производными для условной плотности (случай диффузионных марковских процессов)
1.Рассмотрим двумерный диффузионный марковский пр
цесс (Ѳ, £) = (Ѳ/, %t), |
0 < / < 7 \ |
управляемый уравнениями (8.44) |
с ß ( ^ , | * ) =l . Если |
функция h = h(x), |
x ^ R ' , финитна |
вместе |
со своими производными h ' ( х ) , |
/ г " ( х ) и выполнены предположе |
ния (8.45), |
(8.46), то согласно (8.56) процесс n t (h ) = М [А(Ѳ ) j ^ f j |
допускает |
представление |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
nt (h) = я0(А) + I jts(ЙА) ds + |
|
|
|
|
о |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
К ( M ) + |
3TS (Ah) - |
ns (A) Jt5(h)] d w s, |
(8.84) |
где W = (Wt, — винеровский процесс с
dWt = dtt — nt (A)dt,
Ѣ (Ѳ,) = h' (ѲЛ а (t, Ѳ„ U + 1 h" (Ѳ,) V bi (t, Ѳ„ \t),
jsssl
ЛЪ (Qt) = h'(Qt)h (t, Ѳ„ и .
Предположим теперь, что условное распределение Р(Ѳ, <
0 |
t ^ Т, имеет плотность |
dP (Ѳ |
<Г X I '^'1 |
рх (t) — ---- ѵ |
—*— —, |
являющуюся |
измеримой функцией от |
(t, x, ю). Отправляясь |
от представлений (8.84), найдем |
уравнения, которым удовле |
творяет эта плотность. Введем следующие |
обозначения: |
|
' |
2 |
2 *Р; М = — - J j [а (/, ж, lt) рх (/)] + |
j ~ |
\ЬЦі, X, lt)px (t) |
|
i= 1 |
jc*9x (І) = — |
[b2( t, X, l t) px ( / ) ] . |
§ 6] |
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСЛОВНОЙ п л о т н о с т и |
363 |
Т е о р е м а |
8 .6 . Пусть |
|
(I) с вероятностью единица для каждого t, |
суще |
ствуют производные |
|
|
|
[а [t, X, g,) р* (/)], |
[Ь2 (t, X, h) рх ( /) ], |
|
|
д2 |
Х> I t ) Рх W |
|
|
д х 2 |
|
(II) для любой непрерывной и финитной функции h — h{x)
T |
оо |
|
j |
[ I h ( x ) r 9x{t) \dx dt < оо |
(8.85) |
О—оо
и
Тоо
М J J /г2W [rp*(/)+P *W M (i, *, !,)-«< (Л))]2dxd/<oo. (8.86)
О—оо
Тогда условная плотность рх Ц), x ^ R ' , 0 < t ^ T , удовле творяет стохастическому дифференциальному уравнению (с част ными производными)
d,Px (t) = |
Ppx(f)dt + |
|
|
|
|
оо |
+ Л |
т РАО A(t, х„ |
It)— J |
A (t, у, UPy(t)dy |
|
X d\t - |
I A(t, |
у, 1,)ру (і) dy dt . (8.87) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем сначала, что в предположе нии (8 .86) (Р-п. н.)
t ОО
J |
I h (х) {./Гр* (s) + р* (s) [A (s, X, Is) — Jts (Л )]}dx dWs = |
•00 |
f t |
|
\ |
|
OO |
|
|
h {x) I |
Л Д p*(s)+Px (s) [A ( s , X,I s ) — ns ( Л )] )dWs j dx. (8. 88) |
|
Положимj J |
для{ |
краткости |
a* (* , D = Л |
(s) + P x (s) [ A (s, X, Is) — n s (Л )]. |
364 |
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ |
ФИЛЬТРАЦИИ |
|
(ГЛ. 8 |
Тогда для |
доказательства (8 .88) |
надо |
показать, что (Р-п. н.) |
t |
00 |
|
|
|
dWs - |
|
|
|
|
|
|
%і (£) = J |
1 h{x)as {x, Qdx |
|
|
|
|
|
|
О |
ОО |
|
|
ОО |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
[ h (х) |
I аАх, |
|
l)dWs |
dx = |
0 . |
(8.89) |
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
Величина %t {Q является |
^-измеримой, |
|
и согласно |
предполо |
жению (8 .86) МхД|) = |
0, |
МхД£)< |
00 • |
Поэтому для доказатель |
ства (8.89) |
достаточно |
лишь |
установить, |
что М [х, (£) Я, (£)] = 0 |
для любых ^-измеримых величин Xt (|) |
с |Я Д |) |^ 1 . |
|
В силу теоремы |
5.18 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М £ ) = |
М М J і8)s +( l ) d W s , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
где процесс g = (gs {Q, |
|
|
|
таков, |
что J Mgs2a )rfS < 00. |
Поэтому по теореме Фубини |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м Xt (І)МЮ =Мх,(Ю J |
|
(!) dWs= j M |
gs (i) |
\ h (X) as (x, l) dx |
ds- |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— J |
h(x) |
J Mgs (|)a s (x, l)ds \dx = Q. |
|
|
|
|
— oo |
|
о |
|
|
|
|
> |
|
Итак, хг( £ ) =0 |
(Р-п. н.) |
для |
любого |
t ( O ^ t ^ T ) , |
что и |
доказывает равенство (8 .88).
Перейдем непосредственно к выводу уравнения (8.87). Для
этого заметим, |
что |
|
|
ns {Ah) — ns (A) ns {К) = |
М {h (ѲД [ А (s, |
Ѳ4, | 4) — я4 (Л)]}. |
Поэтому согласно (8.84) |
|
|
|
t |
|
|
nt (h) — я0{h) + |
j я5 {SEK) ds + |
|
t |
о |
|
|
|
|
|
+ / |
M [Xh (Ѳ,) + |
h (Ѳ.)[Л (5, в,, |
I.) - я, (Л)] IГ і) dV„ |
О |
|
|
|
§ 6] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСЛОВНОЙ п л о т н о с т и 365
и если существует плотность р* (I), то
Интегрируя в (8.90) по частям и меняя порядок интегриро вания (что возможно в силу (8 .88), (8.85) и теоремы Фубини), получаем
00
/ |
h (X) (р* (t) — р* (0) — J |
Гр* (s) ds |
—00 |
О |
|
|
J [ЛГр*(S) + |
Р* (s) (A (s, X, У - ns (Л))] dWs) dx = 0. |
|
о |
|
Отсюда в силу произвольности финитной функции h(x) при ходим к искомому уравнению (8.87).
2.Предположения теоремы 8.6 обычно трудно проверяемы.
Исключение составляет случай |
условно-гауссовских процес |
сов (Ѳ, I), рассматриваемых далее |
в главах 10 и 11. Поэтому |
ниже будет подробно разобран достаточно простой, но тем не менее нетривиальный случай процессов (Ѳ, |), для которых
условная |
плотность |
рx (t) |
существует и является единственным |
решением уравнения |
(8.87). |
|
Будем |
предполагать, |
что случайный процесс (Ѳ, £) = |
= [(Ѳ„ It), |
£Fh |
|
|
удовлетворяет стохастическим |
диф |
ференциальным уравнениям |
|
|
|
|
döt = a(Qt)dt + dW, {t), |
(8.91) |
|
|
|
äh =- А (Ѳ,) dt + dW2 (t), |
(8.92) |
где случайная |
величина |
Ѳ0 и винеровские процессы |
W t — |
~ ( W i ( t ) , |
t), i = |
1, 2, независимы между собой, Р(Іо — 0)=1» |
366 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 8
Т е о р е м а |
8.7. Пусть |
(I) функции |
а(х), А(х) равномерно ограничены вместе со |
своими |
производными а'(х), а" (х), |
а'"(х), А'(х) |
и А" (х) (кон |
стантой К)\ |
а'" ( х ) - а '" (у) | < КІ х - у | ; |
(II) |
I А" (х)—А" ( у ) \ ^ К \ х - у \ , \ |
(III) |
у функции распределения F (х) — Р (Ѳ0 ^ |
х) существует |
дважды непрерывно дифференцируемая плотность f (х) —
Тогда существует (Р-п. н. для каждого t, 0 ^ t ^ Т) плотность
|
dP (Ѳ, < |
х | У}) |
|
|
|
Р* (t) |
dx |
|
|
|
которая является ЗГ\-измеримым (при каждом t, |
0 ^ / ^ Г ) |
решением уравнения |
|
|
|
|
d tp x { t ) = ^ p x ( t ) d t + |
|
|
|
|
+Р*(0 А{х)— |
А (у) ру (t)dy d |
\ - |
A |
( y ) P y ( t ) d y \ d t (8.93) |
с P* (0) = f (x) |
иJr Px( t ) - - ^ a ( x ) p x (t)]J |
+ \ ~ [ p |
x (t)l |
В классе (t, x, а)-измеримых дважды непрерывно дифферен |
цируемых по |
X функций Ux(t), |
являющихся £Г\-измеримыми |
при каждом t, 0 ^ t ^ Т, и удовлетворяющих условию
решение уравнения (8.93) единственно в том смысле, что если и (х (t) и и {х (t) — два таких решения, то
р { sup \ u x)({ t ) - u x)({ t) \> 0 } = 0 , |
— о о < X < о о . (8.95) |
3. Для доказательства теоремы 8.7 установим ряд вспомо гательных предложений.
Пусть (Q, , Р) — вероятностное пространство, идентичное (Q ,^ ,P ), на котором заданы случайная величина Ѳ0 с Р (Ѳ0<Д ) =
= Р |
(Ѳо ^ *) |
и не зависящий от нее винеровский процесс |
W = |
{Wt), |
/ < 7 \ |
