Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 329

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6]

 

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСЛОВНОЙ п л о т н о с т и

 

367

Введем

также

следующие величины:

 

 

 

 

W yt = y - b - W t , — оо < г / < оо,

Л 5 Ш = М [ Л ( Ѳ 5) | ^ ] ,

 

 

 

 

 

t

 

 

 

X

 

 

 

 

Wt = lt — ^ Äs (Qds,

D(x) =

I a(y)dy

 

 

 

 

(S) = exp

J As (I) dWs -

i- J A\ (І) ds },

 

(8 .9 6 )

Pt(y,

W, g) = exp

J A(y + Ws)dWs ~

у J

[aHy + Ws) +

 

 

 

 

{ 0

 

 

 

0

 

 

 

 

+

+ №s) —

(y +

Ws) — 2 A(y Ar Ws) As (|)] ds j ,

(8 .9 7 )

где

j A { y - \ - W s) d W s

определяется

для

каждого

ю e й

как

 

о

 

интеграл

от

детерминированной

функции

стохастический

А(у + Ws (со)).

Ле м м а 8.5. В условиях теоремы 8.7 существует (Р-п. н.) плотность

Рx(t) = - у d-

, 0 < * < Г ,

определяемая формулами

 

Рх (0) =

(/х)

и при 0 < t

 

fM - y S T ü â i ^ { - ^ + о м - ош}х

X м (р, (у, W, | )| W, = x — y)f (у) dy, (8 .9 8 )

где М — усреднение по мере Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим на

(й, ЗГ, Р) процесс

Ѳ= (ѲД,

с дифференциалом

 

 

dQt =

a(Qt)di + dW,.

(8 .9 9 )

Условия теоремы 8 .7 гарантируют существование и единствен­ ность сильного решения уравнения (8 .9 9 ) с начальным значе­

нием Ѳ0. Поэтому меры цѳ и цб, отвечающие процессам Ѳ и Ѳ, совпадают.

368

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ

ФИЛЬТРАЦИИ

[ГЛ. S

 

Рассмотрим теперь уравнение

 

 

 

d&t =a(b1)dt + dWu

= г/.

(8 . 100)

У этого уравнения также существует единственное сильное решение и Р-п.н.

 

Р(Ѳ«=Г|Ѳ0=і/)==Р(Ѳ "е=Г), Г

е і

 

Следовательно,

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р(Ѳе=Г)= I

Р ^ е Г )f(y)dy,

 

что символически

будем обозначать

 

 

 

 

 

 

Ф е = d\i6yf (у) dy,

 

(8. 101)

где рбу — мера,

отвечающая

процессу Ѳу. Обозначим

меру

процесса

Wy\ согласно

теореме 7.7 рѳу ~ ц^у

и

 

л

 

 

< 1

 

*

 

 

(/,

Щ =

ехр

\a (y + W s) d W - ± \аҢ у + Ws) d s \ .

(8.102)

 

 

 

О

 

о

 

 

Используя формулу Ито, находим, что

 

 

D ( y + W t) = D(y)+

a(y + Ws)dWs + ±

a'(y + Ws)ds.

Поэтому представление (8.102) можно переписать в таком виде:

dp .у

=

 

■щг-а, г о

 

= ехр \ D { y + W t) - D { y ) - \

Г [a H y+ W s) + a'(y + Ws)]ds\ .

 

 

(8.103)

Из (8.101) и (8.103) нетрудно вывести, что

duд

~

 

- Ъ ф * « '

W' *>“

 

= n y ) e x o \D { y + Wt) - D { y ) - ±

Г [а2 (г/+Г,) + a'(y+ W s)]ds

 

 

о

 

 

(8.104)

§ 6]

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСЛОВНОЙ п л о т н о с т и

369

Используя это представление и формулу Байеса (теорема 7.23), получаем

Мх(, , < ч ехр J И ( Ѳ ,) - А ,( і)1 < ІГ - ^ j И(0,)-А,№ )р<(х

“ J

мр I J ИW -4*®І

 

- І

J ИМ“ -4-©Г*** I X

СТ

" •

 

 

Xdßs(c)= J 7 ( С / < х ) е х р

,

t

 

 

J

[7L(cs) - Лв(|)]гіГ,-

 

СX

' о

 

 

1

[■А (с*) — Äa(І)]2 ds J dll^

-X dy- (t> c>y)dH#* X d y =

2

MV + i7<*) exp{D(y+Wt)—D(y)}pt(y,W,$f{y)dy. (8.105)

Ho

Mx(y+wt<x) exp [D (у + Wt) — D Щ p, (y, W, |) =

= M {x(y+#,<;c) exp fD (y + Wt) - D (*)] M [pt (У, W, £) | Wt\) =

Х- У

=p = J ехр[0 (у + г)—D{y)]U[yt{y,W,l) \Wt=z]exp{ —| j }dz =

/

5=7 eXP

2яt

 

Из теоремы

Р (Ѳ ,< *|< Г |) =

{z-v?

-D (г) D (y) M[pt [y,W ,l)\W t= z - y ] d z .

21

(8.106)

 

Фубини, (8.105), (8.106) для t > 0 получаем

К 2 я / % ( I )

1 I

JехР[

- - ^ г

1 +

D ( z ) - D ( y ) \ X

X

М [р, (у, W,

I) \WI — z ~

у} f (у) dy dz, (8.107)

что и доказывает представление (8.98).

Формула же рх(0)= /(*)

очевидна.

 

 

 

 

 

Лемма доказана.

 

 

 

 

370

 

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

 

[ГЛ. 8

Чтобы сформулировать следующее утверждение, обозначим

 

Bt, I (х) = а2(*) + А2 (X) — а' (х) — 2А (х) А, (£),

(8.108)

 

 

 

 

 

 

4s =

Ws - j W

t,

 

 

 

 

 

(8.109)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЛ У ,

х - у ,

fj,

s) =

exp

А J( у Щ

± +

ъ

+

\

x ) d w s -

 

 

 

 

 

 

 

 

1

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

т

/

 

 

+ ^

+

d s \ .

(8 . 110 )

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

>

 

Л е м м а

8 .6 . В предположениях теоремы 8.7 для любых х, у

(— оо < X < оо, — оо < у < оо) Р-п. н.

 

 

 

 

 

 

М [р, {у, W, I) I Wt = X— у) = Мр {у, х — у, г), I). (8 .1 1 1 )

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя обозначение (8.108),

функ­

цию

рt(y, W,

I),

определенную в (8.97),

 

можно

представить

в следующем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

t

 

 

 

 

t

 

 

 

,

(8 .1 1 2 )

Рt(y> W, i)=exp

 

A{y+W s)dWs- ±

J B s .iiy+ W Jd s .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

>

 

Основываясь на теореме о нормальной корреляции (тео­

рема

13.1),

 

нетрудно

показать,

что

условное

(при

усло­

вии W,) распределение процесса т) = (гь),

 

 

с л5 = Ц75— у Wt

не зависит от

Wt (Р-п.

н.). Поэтому, если ФДц,

 

wt-

измеримый

функционал

(§^’Wt =

a[aK fju,

м

 

Wt},

s ^ i )

с MI Ф3 (fj,

Wf) I <

оо,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М(ФДц, Wt)\W t — x) —

МФ8(f),

X).

 

(8.113)

Подставляя

Ws —

+ -j Wt в pt (y, W, Q

и применяя фор­

мулу (8.113), из (8.109) и (8.110) получаем требуемое

равен­

ство

(8 .1 1 1 ).

 

 

Изсо

(8.98) и (8.111)

следует,

что

 

 

С л е д с т в и е .

 

 

м ' ) = 7 5 7 ^

 

 

/ « p I - ^

+ O W - O W J x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X МрДг/, X — у,

л, £)/ (y)dij.

(8.114)

Смотрите также файлы