Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 326

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 6)

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСЛОВНОЙ п л о т н о с т и

371

Л е м м а 8.7. В предположениях

теоремы

8.7

sup М р^(/)<со,

— ОО< X

< °о.

Д о

к а з а т е л ь с т в о . Положим z = (х — у)/ У t .

в силу

(8.114)

(8.115)

Тогда

Рх (І) =

—

J

£

 

() Мр, [х—z Y t , Z

У t , fj, і] dz,

(8.116)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g{x,

z,

t) = exp| — I - + D (x)-~ D(x — z Y t ) } f ( x ~ z

Y t) .

 

 

\ x\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ho \D (x) I ^ J

I а (у) \dy ^

К] х |. Поэтому для

каждого x,

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ОО <

X <

ОО,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1g{x> Z ,

t) |< е х р { — \

4- D(x) +

K \x I +

/CI г | Y ? \

sup

f(y)—

 

 

i

*

 

 

 

 

>-oo<t/<oo

 

 

 

 

 

 

 

== d (л:) exp j —

K \z \ l/T j,

где

 

d {x) =

exp {D {x) +

K \ X |)

sup

f {y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—oo ^ у ^ oo

 

 

Далее,

из (8.108)

и (8.110)

находим

 

 

 

 

0 < р Л * ~ Z YU z Y ü Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< /( , exp {

 

A l x — z•Y t

+ y f +r\s)dWsJ,

где Ki — некоторая

константа.

Отсюда в

силу

неравенства

Йенсена, леммы 6.1 и теоремы Фубини получаем

 

 

М(Мр/[х — г Y t , z

YU п,

 

 

ММр^[х — z YT, z YT, fj, |] <

^

Сх (п) М М exp j 2п\ А (х

г —

SZ

+ r)s)dWs

 

— г У t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵт

 

 

 

 

(2п)2

А2( х - z V t +

 

+ fj, jd s } <

С, (п),

 

 

 

 

 

 

и

где С1 (п) — некоторая константа. Аналогичным

образом пока­

зывается, что и

 

 

M ^ -2re(£ )< C2 (")>

1 , 2 , . . .

 

372

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ф и л ь т р а ц и и

 

 

[ГЛ. 8

Используя

эти

 

оценки

и

интегрируемость

функции

exp j— Y +

К У Т \ z ||, с

помощью

неравенств

Коши — Буня-

ковского из (8.116) получаем требуемый

результат

(8.115).

Л е м м а

8 .8.

Если

выполнены предположения теоремы 8.7,

то условная

плотность

р* {t),

O ^ t ^ T ,

дважды дифференци­

руема ПО X

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дрх (О I2

<

О О ,

 

д2Рх V)

<

оо.

 

(8.117)

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

дх2

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим для

/ >

О

 

 

 

 

Фо у,

fj, sW =

exр{ —

 

 

 

D(x) — D ( y ) } p f ( y , x —

y,

fj, g).

Тогда

в силу

(8.114)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рx{t) =

 

 

 

(|)

J

Q>t,v.n.\{x)P(dSi)f(y)dy,

 

(8.118)

 

 

 

 

 

1

 

а х «>

 

 

 

 

 

 

 

и для

существования

 

производных

-~-р*

достаточно

устано-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх1

 

 

 

 

 

 

вить, что дважды дифференцируемы по х величины

 

 

 

 

К (х) =

 

J

 

Фі, у, f|, I (х) Р (dâ) / {у) dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

о х « 1

 

 

 

у,

 

 

 

 

Предположим,

что при

 

фиксированных

2 ,

fj,

g

функция

Ф<, у,Ü, § (х) дважды дифференцируема по х.

Тогда

для

любых

х', X"

(— оо <

х' < х" <

оо)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

-

X

 

^J-<D(,„,fi,E(z)rfz

 

 

 

 

 

 

V (х") — V (x') =

 

 

 

Р (dâ)f(y)dy,

(8.119)

 

 

 

O' ж «> L;c'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и если (Р-п. н.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а х « 1 X’

дг

Фо у, л. I (2) Р ( d ä ) f ( y ) dy <

оо,

 

(8 .120)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то по теореме Фубини в (8.119) возможна смена порядков интегрирования и

X

 

 

V (х) = Ѵ (0) + J

I

-Цг Фо У. л, I (2) Р (dü>) f (у) dy dz.

 

_а X «>

 

Поэтому, если к тому же функция

Ж*) =

J

№ f ( y ) d y

о X « ‘

§ 61

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСЛОВНОЙ

п л о т н о с т и

373

непрерывна

по х (Р-п. и. при О ^ Л ^ Г ), то функция

V (х) бу­

дет дифференцируемой по т и

— R(x)-

 

Установим сначала, что функция

Ф /, у , fj, g (х) непрерывна

по X. Поскольку функция D (х) непрерывно дифференцируема, то нужно лишь убедиться в том, что непрерывно дифферен­

цируемы (по х) функции

t

 

 

t

 

+ -f х )dWs,

 

+ fjs + г х ) d s •

^ А (у ^

+

J Bs, г [у

 

*0

 

 

о

 

 

Производные

 

д г.

 

t — s

 

 

 

У

~ k А ( ѵ ^ + ъ + т * ) ’

дх s’ ^

+

существуют и равномерно ограничены по предположению тео­ ремы 8.7. Повторяя проведенные выше рассуждения, убедимся в том, что

t

- k l

Bs<l( y

^

+ y \ s + T x ) d s =

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J

- & B s . i ( y L T L

+

i\s +

T

x ) d s ’

<8 - 121)

 

 

 

 

6

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

только

функция

J — - Bs<5 [у

 

+

rjs -f- 7 -

ds

(как

функция от

X

при

 

о

t,

fj)

непрерывна.

Но

фиксированных

функция Bs<I іуу 1 j S + Лз + у xj равномерно ограничена и непрерывна, что и влечет за собой равенство (8 .1 2 1 ) и непре-

 

t

+ Гр, + уxj ds.

рывность по X функции

J BSt g[у * j -s-

0

Установим теперь дифференцируемость по х функции

t

J A [ y ~ + i\s + \ x ) d W s и равенство

о

t

о

+ + т

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

t —s , _ ,

s

 

 

 

д

 

dW s

(8.122)

 

дх

А [ у

— }---- 1" Л* +

Т *

 

 

t

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

374

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

 

(ГЛ. 8

 

 

f

t

(

t S

 

 

Заметим,

 

д

S

\ —

что функция Л,(х)=І

- ^ А \ у — -----Ь л* +

—

х \ dWs

(при фиксированных t,

о

 

 

по х. Действительно,

л, I) непрерывна

в силу предположений

теоремы 8.7

 

 

 

 

М| Я(jc') — Х(х") |2=

М

 

+ 'П 5+Т'*/) —

д

і — s I _ .

s ,

' )\ dws, }2( < К Т | х ' - х

д х "

-------ь r\s +

~г X

 

 

 

п )2

Поэтому непрерывность А(х) следует из критерия непрерывно­ сти Колмогорова (теорема 1.10).

 

Далее,

по

теореме Фубини для стохастических интегралов

(теорема

5 . 1 5 )

при

 

— о о

< х'

< х" < о о

 

X “

, t

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

5

А І у - L - l

+ f j s + т

z )d W s\d z =

 

x ’

dz

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Ч)

 

t

, X 1'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д . (

t - s

 

 

 

 

 

 

 

+ % 4- ~ г) dz j

—

 

 

 

0

a

л (■" —

 

 

 

 

 

 

1 x'

 

 

 

 

 

 

 

=

t

Л (y -

^

rjs-

+ 7

 

t

 

 

J

x " ) d W s ~ J A [ y ^ Z ± + ^ - x ' ) d W s.

 

о

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Отсюда в силу непрерывности функции К(х) следует, что про­

изводная

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| r j ' l ( l / ~ + ü , + f x ) d W .

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

существует

и выполнено равенство

(8 .1 2 2 ).

 

 

 

 

Итак, функция - j j

Ф*, у, ч, ? (х) непрерывна

по х. А значит,

плотность

px (t) дифференцируема

по

х (для

почти

всех

а> и

t,

и справедлива формула

 

 

 

 

 

дРхѴ)

 

_д_

Фи У. ж

(х) Р (da) f (у) dy.

( 8 . 1 2 3 )

дх

V 2я/г|) (g)

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 X Ü 1

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичным образом устанавливается существование

при

t > 0 производной

и формула

 

 

 

 

 

д2рх (О

1

Г

®t,y,f\,i(x)P (dâ)f(y) dy.

 

( 8 . 1 2 4 )

дх2

y’2nttyj (I)

дх2

 

§ 6]

 

УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ УСЛОВНОЙ

п л о т н о с т и

 

 

375

Проверка

неравенств

(8.117)

производится

так

же,

как

в лемме 8.7.

 

 

т е о р е м ы 8.7.

Справедливость

4.

Д о к а з а т е л ь с т в о

уравнения (8.93) для рx (t) следует

из теоремы 8.6

и

лемм

8 .5 —8 .8 ,

гарантирующих

выполнение

условий

этой

теоремы.

Займемся

доказательством единственности

решения

этого

уравнения в классе функций, определенном в условиях тео­

ремы.

і е і ? 1,

 

Т, —какое-нибудь решение урав­

Пусть Ux (t),

 

нения (8.93) из указанного

класса с

 

Ux (0) = f(x) (Р-п. н.).

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

/

оо

 

\

2

h = exP

А (У) Uу (s) dy

t G

 

 

A (y)u y(s ) dy \ ds

и

 

 

х —оо

 

(8.125)/

 

QAt) =^u~x (i)yJ(

 

J

 

(8.126)

По формуле Ито

 

 

 

 

 

 

 

 

dtQx (t) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= { - І г И * ) М +

Т Ѣ

{t) ]}

dt +

U* W S' A

d&

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.127)

или, что то же,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dtQx ( t ) = { - - k [ a W Q x m

+ ^ ^ r

[Qx (01} dt +

Qx (t) А (X) dit,

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.128)

где

Qx (0) =

Ux (0) =

f (x).

 

 

(8.129)

 

 

 

Таким образом, уравнение (8.128) с начальным условием (8.129) имеет сильное (т. е. ^"«-измеримое при каждом t, 0 <

<t<*T) решение Qx (t) = Ux (t)it.

По формуле Ито

J А (у) Uy{s) dy

о

( I

A{ij)Qu{s)dy^dls

(8.130)

0 4—с©

7

 

Смотрите также файлы