376 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ [ГЛ. 8
|
и, очевидно, Р { 0 < л , < оо, 0 < / < Г ) = 1 . |
Поэтому из (8.126) |
|
и (8.130) следует, что |
|
|
|
Ux (t) = |
Qx (t) |
(8.131) |
|
J А (у) Qy(s) dy |
|
|
|
где Qx(t) удовлетворяет уравнению (8.128).
Формулы (8.126) и (8.131) задают взаимно однозначное соответствие между решениями уравнений (8.93) и (8.128). Поэтому для доказательства единственности решения уравне ния (8.93) достаточно установить единственность решения урав нения (8.128) в классе функций Qx (t), удовлетворяющих условию
|
Р JJ^ J |
А (X) Qx (0 dx'j dt < |
оо |
|
(см. (8.131)). |
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
гЫ*) = |
ехр{Л(л;)£, — j |
А2 (х) |
(8.132) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
R A t)= W r |
|
|
(8ЛЗЗ) |
По формуле Ито из (8.128), (8.132) и (8.133) находим, что |
dtRx {t)=^ — ~ \ a { x ) |
Qx (0] + у ~ |
[Q, (t)]}Ф 7 1 (/) dt. |
(8.134) |
Множитель |
при dt в (8.134) является |
непрерывной функцией |
по /, и поэтому |
|
|
|
|
|
= { - |
І 7 la W Q* Щ + T W \ Q * (*>]} |
(t) - |
|
= { - - h \ a M * x W ь |
W] + T - & \ Rx(t) % (0]} ФГ1(/) = |
= - |
а ' (X) R x ( t ) ~ |
а (X) |
|
/ ? * ( / ) - |
|
- а ix) Rx (t) |
Ф7 1 (t) + |
|
Ф7 1 (t) + |
|
+ j R x ( t ) ^ ^ - ^ { t ) , |
(8.135) |
§ 6] |
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСЛОВНО!"! ПЛОТНОСТИ |
377 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
È |
^ l |
^ |
{t) = |
A '{ x ) \ A { x ) t ~ l t\, |
|
|
|
|
ф - 1 |
(t) = |
(А' (хЩА' (х) t - Ц 2+ |
|
( 8 . 1 3 6 ) |
|
д х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначая |
|
+ А" ( x ) \ A { x ) t - l t\ + {А' {х))2. |
|
a(t, х) — — а (х) + |
А'{х)[А {х) t — У , |
|
(8.137) |
|
|
|
|
c(t, x ) = |
— a'(x) — а(лг) Л'(л:)[Л (x) / — У + |
|
|
|
+ |
j |
(А' {x)f (1 + [ A ( x ) t - |
ltf |
) + А" (X) [ А (X) t - |
у , |
(8 .138) |
из (8.134) — (8.138) получаем для |
Rx (t) уравнение |
|
|
|
|
|
= |
+ |
x) ÉBä r - + èV> x) ^ t ) |
(8.139) |
с |
Rx {0) = |
f(x). |
|
х) |
непрерывны (Р-п. |
н.) |
по сово |
|
Коэффициенты a{t, х), c(t, |
купности переменных и равномерно ограничены. Поэтому из
известных |
результатов |
теории |
дифференциальных уравнений |
с частными |
производными *) вытекает, |
что уравнение (8.139) |
имеет (Р-п. н.) единственное решение |
с |
Rx (0) — f(x) |
в классе |
функций |
|
Rx {t), |
удовлетворяющих условию (при каждом ю) |
|
|
|
|
|
Rx (І) < О (со)ехр (с2 (со) X2), |
|
|
|
где Сі (со), |
|
/== 1 , 2 , таковы, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (0 < Сі (со) < оо) = I, |
і = 1 , 2 . |
|
|
Но Р ( inf |
|
ф* (t) > 0) = 1, |
— оо < |
X < оо. Поэтому решение урав- |
с<г |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения (8.128) также единственно в указанном классе. |
|
Отсюда вытекает и единственность решения уравнения (8.93) |
в классе |
|
случайных функций {Ux (t), — оо < х < оо, |
|
удовлетворяющих условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г , |
со |
|
. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
\ A ( x ) U x ( t) d x \d t< o o |
|
(Р-п.н.). |
|
(8.140) |
|
|
|
О \-оо |
|
} |
|
|
|
|
|
|
Для завершения доказательства осталось лишь заметить, |
что функция |
рx (t) удовлетворяет условию (8.140), |
поскольку |
Т |
( |
|
А(х)рх (t) dx |
|
d t =, 2 |
(Л |
г |
I |
dt < |
KT. |
|
у |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J М |
|
|
f |
|
|
I |
|
| М [ М |
|
(0 t) і И ) ] 2 |
|
|
Теорема |
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
*) См. например, в [154] теорему 10 (стр. 63).
ГЛАВА 9
ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ СО СЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
§1. Уравнения оптимальной нелинейной фильтрации
1.В настоящей главе будет рассматриваться пара случай ных процессов (Ѳ, g) = (Ѳг, ^), 0<П ^ Г, где ненаблюдаемая компонента Ѳ является марковским процессом с конечным или счетным множеством состояний, а наблюдаемый процесс £ до пускает стохастический дифференциал
dlu = A t (Qt, l ) d t + B t { l ) d W u |
(9.1) |
где Wt — винеровский процесс.
К такой схеме приводят многие задачи статистики случай ных процессов, где ненаблюдаемый процесс принимает дискрет ные значения, а помеха носит характер «белого» гауссовского шума.
В настоящем параграфе, существенно использующем резуль таты предшествующей главы, будут выведены и изучены урав нения оптимальной нелинейной фильтрации. Интерполяция и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экстраполяция рассматриваются в § 2 и 3. |
|
|
2. Перейдем к точным формулировкам. |
|
пространство |
Пусть |
(Q, |
Р) — полное |
вероятностное |
с неубывающим |
семейством |
непрерывных справа ст-подалгебр |
SFи 0 ^ t ^ |
Т. |
Пусть Ѳ= (Ѳ/, &~t), |
0 ^ |
t <1 Т, — действительный |
марковский |
процесс |
со значениями |
в |
счетном |
множестве |
Е — {а, ß, у, |
. ..}, непрерывный справа; |
|
|
— |
стандартный |
винеровский |
процесс, |
не |
зависящий |
от Ѳ, и |
£0— ^Ѵ измеРимая случайная величина, |
не зависящая от Ѳ. |
Будем |
предполагать, |
что |
неупреждающие |
функционалы |
§ П |
У Р А В Н Е Н И Я О П Т И М А Л Ь Н О Й |
Н Е Л И Н Е Й Н О Й Ф И Л Ь Т Р А Ц И И |
379 |
At (e, |
х) и Bt (x), |
входящие |
в (9.1), удовлетворяют следующим |
условиям: |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А\ (ѵ X) < |
L, |
|
(1 |
+ |
хі) dK (s) + |
L2(1 + |
e? + xf), |
(9.2) |
0 < |
C < |
ß 2 ( x ) < L 10Jt |
(1 |
+ |
X% dK(s) + |
L2( 1 + |
*?), |
(9.3 ) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
I At (et, X) - |
At (et, у) |2J+ |
1B t (x)t |
- |
Bt (y) f < |
|
|
|
|
|
|
|
< |
L, J |
(xs — ysf |
dK (s) + L2 (xt — уif, (9.4) |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
где С, Lu L2— некоторые константы, |
K{s) — неубывающая не |
прерывная |
справа |
функция, |
|
0 ^ / ^ ( s ) ^ l , |
х е Сг, |
у е С г, |
еt ^ Е, 0 ^ t ^ Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наряду с условиями (9.2) — (9.4) будет предполагаться также, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М|о < 00 |
|
|
(9.5) |
и |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м | ѳ ? £ « < 00. |
|
|
(9.6) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
В |
силу |
теоремы |
4.6*) |
предположения (9.2) —(9.6) |
обеспе |
чивают у уравнения (9.1) существование и единственность (силь
ного) решения %— |
|
|
|
с sup |
< оо. |
Пусть к |
моменту |
|
|
|
0<і<Г |
|
времени 0 = 0 ^ Г известна реализация |
= |
{|s, s ^ |
t) наблюдаемого |
процесса |
%. Рассматриваемая за |
дача |
фильтрации ненаблюдаемого |
процесса Ѳ состоит в постро |
ении «оценок» величины Ѳ; |
по |о. |
Наиболее удобной |
характе |
ристикой оценивания |
для |
является |
апостериорная вероят |
ность |
|
|
|
|
|
|
|
|
яр(0 = |
Р (ѳ ( = р і^ !), |
ß e £ . |
|
Действительно, с помощью |
лр(0, ß е Е, |
могут быть |
получены |
самые разнообразные оценки величины Ѳ*. В частности, услов ное математическое ожидание
М(ѳ, |^ 1 ) = S ß n e(0 |
(9.7) |
ß<s£ Р |
|
*) Точнее, в силу очевидного обобщения этой теоремы |
на случай, когда |
функционалы а (t, х) в (4.112) заменяются функционалами |
х). |
