Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 325

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

380 Ф И Л Ь Т Р А Ц И Я М А Р К О В С К И Х П Р О Ц Е С С О В (ГЛ . 9

является оценкой, оптимальной в среднеквадратичном смысле.

Оценка ßt(|), полученная из условия

 

 

 

 

 

 

maxP( 0, = ß| 3^1) = nß {l)(t\

 

(9.8)

 

 

 

ß

 

*

 

 

 

является оценкой, обращающей в максимум апостериорную

вероятность.

 

 

 

 

утверждений

отно­

3.

Сформулируем ряд вспомогательных

сительно процессов Ѳ и g, которые будут использованы при

доказательстве основного результата (теорема 9.1).

 

 

Обозначим

 

Pß(f) = P ( b = ß),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рра(Л s) = P ( 0( =

ß| 0s = a),

0 < s < / < 7 \

ß,

a e f .

 

Л е м м а

9.1.

Пусть существует функция

A,ap(/),

0

Г,

a, ß e E, такая,

что (равномерно

по а, ß) она непрерывна по t,

U a p W K K

и

 

 

 

 

 

 

 

I pßa(t + А,

t) — б (ß, a) — Aaß (t) • Д К

о (А),

(9.9)

где

ö (ß, a) — символ

Кронекера,

а величина

 

-> 0 (А -> 0)

равномерно по а, ß, t.

Тогда p^a{t, s) удовлетворяет прямому уравнению Колмо­

горова

 

 

 

a ) + Jt

 

 

 

 

 

 

 

 

Pfiatt, s) =

ö (ß,

8*pßa(«,

s)du,

 

(9.10)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

® Pßa (^> $) =

 

 

(w) P \$ (^»

®).

 

(9.11)

Вероятности p^{t)

удовлетворяют уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pß(*) =

Pß(°) +

J

8*pp(«)rfw,

 

(9.12)

где

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Г рр (ц )=

 

kn

 

{u)py {ü).

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

s =

tin) < t\n} < . . .

< t(n

— t и

max (^/+i —

J —> 0 ,

n —>oo.

В

силу

марковости

процесса

Ѳ

PßoW+ii s) =

Pf9<(«)

= ß

19^= 0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V / + і

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

== M I P

^= ß IѲt(n) ,

 

 

= a'j j

0S = а j

=

 

 

 

 

 

 

=

M j

 

(

= ß j ö/(n) j j

~

а |>

§

П

УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

381

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pßa(*/+1. « )=

 

2

PßvW+Ь t\n))p ya(t)n), s).

(9.13)

 

 

 

 

 

Ѵе£

 

 

 

 

 

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

<■„,(«„

< n = p t,W ? „

 

 

 

ѵ > - ч » № ) М ”+ . - Л -

Тогда из (9.13) находим, что

 

 

 

PßoW+l. «) =

 

 

 

 

 

 

 

=

Д [ й ( Р ,

YJ +

^ p O T W

+. - ^ O

+

rp.W 'i,, 4ra))] Pva Wn>,

s) =

 

—

/ V

0 / *.

s ) +

 

^Yß W "')

P ya

s ) ) W + l — ^ l)\ +

 

 

 

 

 

 

 

+

2 r ^ { t (%{ 1, t f ) pya{tY\ s).

(9.14)

Из условий леммы и этого равенства вытекает, что функ­ ция Pßa (/, s) непрерывна по t (равномерно по а, ß, s). Далее, в силу того же равенства (9.14)

П—1

/у (* . s ) - ö ( ß , а) = У] [ppe(f(/+i, s ) - p &a(t{!n), s)] = /=о

 

=

Jt

2

 

 

 

 

 

 

5)J«+

 

 

s

ve £

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 51

51

rßvW+l>

PYa (4n>. s).

(9.15)

 

 

 

/= 0

Y S E

 

 

 

 

где фn(u) = t(jn\ когда */"’< «

<

f/+i.

 

 

 

 

Согласно предположениям

леммы

 

 

 

 

l

i m

 

X

X

 

^ ln>)r

Iß P vv aW W+ 1>n>»

s ) =

° .

П 00 f*

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

/—0 Y S £

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

|Аув(фп(«)) Ірѵа (фгс(«)> s ) < /( < o o .

 

 

 

^e£

 

‘

 

 

 

 

 

 

 

С учетом этого,

а также непрерывности

А,ag(/), pBa(^, s) по t

(равномерно

по a,

ß, s) из (9.15) после

предельного перехода

(при п —> оо)

получаем требуемое уравнение (9.10).

Уравнение

(9.12) легко

выводится из (9.10).

называются плотностями

З а м е ч а н и е .

Величины

Аа(3(0

вероятностей перехода из а

в ß в момент

времени t.

 

 

382

ФИЛЬТРАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 9

Л е м м а

9.2. Пусть выполнены условия леммы

9.1. Для

каждого ß e £ положим

t

 

 

 

 

 

 

xP = 6 (ß,

О,) — 6 (ß,

Ѳ0) — J lQsa(s)ds.

(9.16)

 

 

 

о

 

Случайный

процесс

= (л|,

,), 0 t ^ T, является

квадра­

тично интегрируемым мартингалом с непрерывными справа траекториями.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Процесс

х&,

O ^ t ^ T ,

ограничен,

j д:Р|

2 -f КТ,

и

непрерывен

справа

в

силу

непрерывности

справа траекторий

процесса Ѳ„

0 ^ / ^ Г .

 

 

 

 

 

Покажем, что

 

=

 

£Г(), 0 ^

^

Т,

является

мартинга­

лом.

Пусть t >

s.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

*? =

*§ +

 

6 (ß,

Ѳ/) — ö(ß,

ѲД— J

leav(u)du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 (ß,

e<)

- 6 (ß, es) -

j

%^{ü)du\grs

 

В силу марковости процесса Ѳ==(Ѳ/),

 

 

 

и уравне­

ния (9.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М 6 (ß, 0, ) - 6 (ß, 0S) — J Яеир(«) du \

s

 

 

 

 

 

 

 

= M

(ß,

Ѳ/) — 6 (ß, 0, )

-

J l v

(u)du |0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

=

Pii 0

s

( *s)• — 6 (ß.

Ѳ

, )

—

 

J

2

1Pv*a ( Ч“ »з s( “)

)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s y^E

 

 

 

 

Лемма доказана.

 

Пусть

выполнены

условия леммы

 

4.

Т е о р е м а

9.1.

9.1

предположения

(9.2) —(9.6).

Тогда

апостериорные вероятности

Яр(0.

ß s Е, удовлетворяют системе уравнений

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

яэ(/) = рр(0) + J 8*яр(и)гіи+ J Hß(„).did&jL=_d«ill d w u, (9.17)

§ П УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИЙ

где

ß Лр(и) ■ - уея

(и) зТц (и),

А (Ю= Hl А (у, ЮЯ (и)

у е Е

и W = (Wt, 2Гt) — винеровский процесс с

W f„ (

Âa (s) du

 

Вы il)

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу леммы 9.2

t

ö (ß, Ѳу) = 6 (ß, 04) + f 4 ß (“) du + xl

383

(9-18)

(9.19)

(9.20)

(9.21)

где X ^ ~ ( x u

STt) — квадратично

интегрируемый мартингал. По­

скольку

процессы

и W независимы,

то (лЛ, ^>, =

0 (Р-п. н.),

0 < * <

Т.

 

 

 

 

 

 

Предположения (9.2)—-(9.6) гарантируют возможность при­

менения

(к ht = б (ß, ѲД) теоремы 8.1, согласно которой

я? (6) = я§(б) +

яР(Я)е?5 +

 

( 6 Л ) —

(б ) дР ( Л )

—

 

 

d w u, (9.22)

 

 

 

 

 

B a il)

 

где

 

 

 

 

 

 

 

«?(6) =

M[6 (ß, Ѳ()|

=

Яр(/),

 

 

я* (Я) =

М [Яѳ5(5(s) I # і] =

2^ яѵр (s) Яѵ (s) = й*Яр (s),

я£ (6Л) =

М [б (ß, 0S) Л* (Os,

ЮI F ] \ =

Л* (ß, l) nß (s),

 

я?(Л) =

М[Л4(Ѳ5, і ) |^ ! ]

=

Л Ш =

s Л4(ѵ, І ) яѵ(5).

 

 

 

 

 

 

ve£

 

С учетом этих обозначений видим, что (9.22) совпадает с иско­

мым представлением (9.17).

 

 

 

Теорема доказана.

(9.1)

коэффициенты

ЛДѲ„ £) не за­

З а м е ч а н и е . Если в

висят от Ѳ„ то я ß(^) = Pß(0

и

уравнения (9.17)

превращаются

в(прямые) уравнения Колмогорова (9.12).

5.Из (9.17) мы видим, что счетномерный процесс II — (яр(/),

ß е Е), 0

является решением следующей бесконечной

384

ФИЛЬТРАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 9

системы стохастических дифференциальных уравнений:

d z ^ t , £) =

^ (ß> I) — 2 At (У. I) zY(t, l)

V

ay|5 (t) Zy (t, D — zß(f, £)•

V<= E

B2t (l)

ve£

 

 

 

X ЛДѵ, l)zv(/, I) dt +

X

 

 

+ 2ß (^i Ю

(ß.ю

Y-e= £ 'M2 y.x

xI)

■d h ,

ß e f ,

 

 

 

 

Biil)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решаемой при условиях

(0 , |) = pß (0), ß e £ .

 

 

 

 

 

Возникает

важный

вопрос

о единственности

решения этой

(нелинейной) системы уравнений.

 

 

 

и пред­

 

Т е о р е м а

9.2.

Пусть выполнены условия леммы 9.1

положения (9.2) — (9.6).

Тогда в классе неотрицательных непре­

рывных процессов Z =

{Zß (/,£),

ß е

£},

 

являющихся

9~\-измеримыми при каждом t и удовлетворяющих условиям

 

 

 

Р (

sup

2

2

( M

X С 1 = 1

 

 

(9.24)

(с некоторой константой С),

 

 

 

 

 

 

 

 

р (

f f V

1А‘ (Y’

i m *

 

 

 

 

 

 

Г

0JI' Y s^E

 

 

 

ö<(l)

dt < оо 1 =

1 ,

(9.25)

система уравнений (9.23)

имеет единственное решение

(если

Z

и

Z' — два решения,

то

Р{

sup

| z § ( t,Q — z$ (t, g) 1>

0} =

0,

ß e

E).

 

 

 

Отметим

прежде всего,

что

апосте­

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

риорные вероятности П =

{яр(0, ß е

Е), Q ^ . t ^ T ,

принадлежат

классу процессов, удовлетворяющих условиям (9.24), (9.25). Поэтому из утверждения теоремы следует, что в рассматри­ ваемом классе процесс П является единственным решением системы (9.23). Заметим также, что предполагаемая непрерыв­ ность траекторий компонент процессов Z и условия (9.24), (9.25) обеспечивают существование соответствующих интегралов (по dt и äh) в (9.23).

Смотрите также файлы