« ч УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 385
Пусть Z — {z^(t, I), ß e £ ) , |
|
|
|
|
есть некоторое решение |
системы |
(9.23) |
с |
|
(0, |) == |
(0), |
2 |
|
Рр(0)=1- |
Обозначим |
|
|
|
|
2 |
|
Аа (у, |
l ) z y (s, |
I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М М ) = |
ехР |
у ^ Е |
|
|
|
|
■dis — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
2 |
£ |
А*(Ѵ> 6) *Y(S. |
1) |
' |
2 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
I |
Ye |
|
Bsd) |
|
|
ds |
|
(9.26) |
|
|
|
|
|
2 |
J |
L |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц(і, &) = |
2 р(/, l)IZ {t, l). |
|
|
|
|
|
(9.27) |
(В силу (9.25), (9.2) и (9.3) интегралы в (9.26) определены.) |
|
Из (9.26), (9.27), |
(9.23) |
с |
помощью формулы Ито находим, |
что |
|
|
|
|
* |
|
|
2 |
|
As (у, I) Z y (s, |
I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lz (t, i ) = i |
+ |
\ lz (s, !)■ |
|
------5-------------dis |
|
|
(9.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я2т |
|
|
ss |
|
|
v |
' |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl&( t , l ) = |
S |
|
K ^ t ) h ( t , l ) d t |
+ |
^ ( t , l ) A^ |
|
l |
dlt. |
|
(9.29) |
|
|
|
Y e |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 '® ' |
|
|
|
|
Сравнивая (9.27) |
и (9.28), |
замечаем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
2 |
|
А * |
(Y. 6) 3Ѵ(s>6) |
|
|
|
|
|
(9.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
P {0 < |
Iz (t, l) |
< |
oo, |
|
0 < ^ < 7 '} = 1 , |
|
то |
в |
силу |
(9.27) и (9.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ *,І ) = |
------i— |
^ |
(У. S) âY(s- |
|
|
|
|
|
(9.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + I |
2 |
A s |
<*Б» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ßTÖ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О Y e |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
процесс 5 = |
{$р(t, |
|), |
ß e |
E), |
0 |
|
является |
реше |
нием системы (9.29), то, |
применяя к правой |
части |
(9.31) |
фор |
мулу Ито, нетрудно убедиться, |
что процесс Z = {z^(t, |), |
ß e £ } , |
0 < / < 7 \ |
будет |
подчиняться системе уравнений |
(9.23). |
|
|
|
Таким образом, формулы (9.27) и (9.31) задают взаимно |
однозначное соответствие |
между |
процессами |
Z, |
|
являющимися |
решениями системы |
(9.23), |
и процессами $, |
являющимися |
ре |
шениями системы (9.29).
13 Р. ш . Липцер, А. Н. Ширяев
386 |
ФИЛЬТРАЦИЯ |
МАРКОВСКИХ |
ПРОЦЕССОВ |
[ГЛ. 9 |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
Ф (t) = |
exp |
Г |
A s |
(9s- 6)^Ss + ' |
Л] (Ѳ,. 6) |
(9.32) |
|
в; (6) |
|
|
о |
|
|
|
Тогда, если процесс Z удовлетворяет условию (9.24), то соот ветствующий ему процесс g подчиняется условию
|
sup |
|
м ( |
S £ ?p(/, I) <p(/)j < оо. |
(9.33) |
|
о</ <г |
|
|
|
|
Действительно, в силу (9.24) |
|
|
м 2 |
Sß(*>I) Ф(t) = |
мi z (t, уФ(/) ■2 |
(t, I) < |
|
(is£ |
|
|
|
|
ß |
|
|
< M / Z(f,|)q>(f) sup |
|
2 |
г ж £ ) < CM/ Z(f, £)q>(f)<C<oo, |
|
0<<<Г ße=£ ^ |
|
|
где мы воспользовались тем, что |
|
|
M / Z ( f , |
| ) ф (f) = |
* |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(ѵ. £) гу (s>i ) —Л (Ѳі, i) |
|
|
= М exp |
Y es E___________________________________ dWs - |
|
|
О |
|
|
|
B s ( l ) |
|
|
|
2 |
As (V, I) ZY (s, I) - |
Л, (Ѳ* 6) |
|
|
Ye £______________________ |
(9.34) |
|
|
|
|
|
5s (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. лемму 6 .1).
В силу указанного выше взаимно однозначного соответствия между процессами Z и $ для доказательства единственности решения (нелинейной) системы уравнений (9.23) в классе про цессов, подчиненных условиям (9.24), (9.25), достаточно уста
новить |
единственность решения |
(линейной) системы |
(9.29) |
в классе процессов, удовлетворяющих условию (9.33). |
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
Ф* (ß) == exp { I |
(и) du + |
АЛР. 6) dl |
I |
A\ (ß, l) du |
|
|
|
вІШ |
Bid) |
|
и покажем, что система (9.29) |
эквивалентна системе уравнений |
|
|
|
t |
|
|
|
|
k |
(t, l) = |
(ß) Р&(0) + j |
ф< |
(ß) 2 |
(s) 3y(s>ö ds• |
(9-35) |
|
|
0 |
|
Y Ф ß |
|
|
|
Тот факт, что всякое решение системы (9.35) является в то же время решением системы (9.29), проверяется с помощью фор мулы Ито.
§ 1] |
УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ |
387 |
|
С другой стороны, |
перепишем |
систему |
(9.29) в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du (ІЛ) = |
1*™ (0 5ß (*, I) + |
aß (*, S)] dt + 5ß {t, g) |
dg„ |
(9.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lb) |
|
|
где |
сы (f, I) == S |
А, я (?) |
|
(t, g). |
|
|
|
|
|
|
1 |
Y^ß |
P |
|
|
|
|
|
|
ар (/,£)) |
|
Уравнение (9.36) является (при заданном процессе |
линейным |
относительно |
^ (^ |
g). |
Согласно |
замечанию |
к тео |
реме 4.10 его решение |
можно |
представить |
в виде |
|
|
|
|
3ß(t,l) = |
< |
(ß) Pp (°) + |
Jt Фі (ß) «ß (S. I)ds. |
|
(9.37) |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Таким |
образом, |
задача свелась к установлению |
единствен |
ности решения системы интегральных уравнений (9.35), особен ность которой состоит в том, что в ней отсутствуют стохасти ческие интегралы (по dgs).
Пусть Aß (t, g) = |
Зр (t, І) — Ъ" (t, g) — разность двух решений |
системы (9.35), удовлетворяющих |
условию (9.33). |
Тогда |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Ар (*, g) = |
J |
(ß) 2 |
Avp (s) Av (s, g) ds |
(9.38) |
Ф (t) I Ap {t, g) I < |
J ф* (ß) Ф (t) |
J ] |
Avp (s) I Av (s, I) I ds. |
|
|
0 |
|
Y Ф ß |
|
|
|
Поэтому |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M<p (t) I Ap {t,i) К |
J |
S |
4p |
M № |
(ß) ф (*)1Äv (s>D I) ds- |
|
0 |
Y^ß |
|
|
|
|
Ho |
|
|
|
|
|
|
|
M(t(ß)cpW[AY(s, i ) | m |
?) = |
|
|
|
|
= | Av(s, | )| ф( 5) м [ |
^ ^ |
s ] < | |
Av(s, g)|q>(s), |
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
что устанавливается так же, как и |
неравенство |
(9.34), |
если |
учесть, что Арр(м)^0 . |
|
|
|
|
|
|
388 |
ФИЛЬТРАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ |
[ГЛ. 9 |
|
Следовательно, |
t |
|
|
|
|
|
M(<p(OIAß( f , S ) I X j |
2 Я¥р(s) M (Ф(s) IЛѵ(s, 6) |
Dflfs |
|
0 |
Y Ф ß |
|
И |
|
|
|
£M(<p(/)| Др(/, £ ) | ) <
ße=£
t
< { |
S |
£ |
|
4 |
ß(s)M(cp(s)|AY(S, | ) | ) r f s < |
|
|
0 |
ß e £ |
Y Ф ß |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
[ |
У M (<p (s)I Ay(s, І) I) У I 4 ß (s) |
|
|
O |
y e £ |
|
|
|
t |
|
ß e £ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
2 ^cJ |
21 |
M(<p(s)| Ap(s, |)|d s), |
(9.39) |
|
|
|
|
|
|
0 ß e £ |
|
|
|
где мы воспользовались тем, что |
|
|
|
2 l 4 e ( s ) l = |
2 |
|
l y&(s) + |
\ l yy{s)\ = |
2 \ l vy( s ) \ ^ 2 K . |
|
ß e £ |
VP |
|
ß^Y |
|
P |
|
|
|
|
Из (9.39) следует, |
что |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ] M{cp(/)|Ap( M ) | } < 2 / c J |
2 ] M{<p(s)| A0 (s, l)\}ds. |
ß <= £ |
|
|
|
|
|
|
0 |
ß<=E |
|
|
Согласно лемме 4.13 отсюда вытекает, что 2 |
M{qp(OI Лр(^, |) (}=0. |
Но Р {ф(/) > |
0} = 1, |
значит, Р { | |
Др(*, |) | > |
0} = 0. |
|
Поэтому в силу непрерывности процессов g' и %п и счет ности множества Е
Р { I âß{U i ) - â ^ ( / . Ö | = 0, 0 < f < 2 \ р е £ } = 1.
Тем самым единственность решения (в классе процессов, удовлетворяющих условию (9.33)) системы уравнений (9.29) установлена. Из единственности решения (9.29), как показано выше, следует и единственность решения системы (9.23) (в классе
процессов со свойствами (9.24), |
(9.25)). |
£*), Bt {Q = |
Bt {lt), |
З а м е ч а н и е . |
Если |
At (Bt, |
|) = |
Л,(Ѳ<, |
то двумерный процесс (Ѳ*, |
g*), |
|
является |
марковским |
(относительно системы (ЗГ{), 0 ^ . t ^ . T ) : |
|
|
|
Р (Ѳ, е= А, |
It е В I Р А = Р {Ѳ* е |
А, |
е В | Ѳв, |
&. |
(9.40) |
