Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 320

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ и

УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

389

Используя теорему 9.2 о единственности решения системы уравнений (9.23), можно показать, что в этом случае (беско­ нечномерный) процесс {1(, Яр(/), ß е Е}, является

марковским относительно системы

Р [it е= В,

(/) е Лр, ß е= Е

| Ft} =

=

Я р(0^

Л р, ß e ^ ] | s, Яр(s), ß e £ } . (9.41)

6. В ряде задач статистики (в частности, в рассматривае­ мых далее задачах интерполяции) возникает необходимость в знании уравнений, которым удовлетворяют условные вероят­ ности

 

«У (U s) =

Р (Ѳ, = ß i F \,

Ѳ, = а),

(9.42)

где

Ясно,

что если ра(0 )= 1 , то caßa(^, 0) =

яр(0,

причем яа(0) =

ра(0) = 1

и Яр(0)==0 при всех ß Ф а.

 

Т е о р е м а

9.3. Пусть

выполнены

условия леммы

9.1 и

предположения (9.2)—(9.6). Тогда условные вероятности (сОра (t, s),

ß e £ } ,

 

 

Е)

 

удовлетворяют (при заданных а б £

и

0)

системе (ß е

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

(^>

 

5 (ß>

Ct)

 

^

(ц, S) du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

t

 

 

Aa(ß. I) — 2 Au(v>

(“'

 

 

 

 

— j ®pa(u>s)------------y<^ L

----------------- 2

Au(v, l)<oya(u, s)du+

s

 

 

 

 

 

u

 

yeE

 

 

 

 

t

 

 

 

Au (ß, |) — 2

A<1(v. I) ®ya («. s)

 

 

 

+

і

(Opa(H,

S)-------------, ------------------------ d\a.

(9.43)

 

 

 

 

 

 

 

в иШ

 

 

 

s),

В классе

неотрицательных непрерывных функций {шра (^,

ß e £ ,

s ^

t ^ Т},

удовлетворяющих условиям

 

 

 

 

 

 

P f

sup

S ( 0p a ( U K C l = l

(9.44)

 

 

 

 

 

l 5</<Г

ß<=E P

 

 

)

 

 

(с некоторой константой С),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

I Ли (Ѵ. І ) I и уа (и, s)

du < оо I = l.

(9.45)

 

 

 

 

 

 

B u d )

 

 

 

 

 

уввЕ

 

 

 

 

 

 

 

система (9.43) имеет единственное решение.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

(Ѳ“), s

и ^ Т, — марковский

процесс с

теми же

самыми переходными вероятностями,

что

390 ФИЛЬТРАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 9

у исходного процесса Ѳ,

и удовлетворяющий условию

0“ = а.

Поэтому, в частности,

 

 

 

 

 

 

 

P{Ot =

ß | 0 s =

ct} = P { 0 “ =

ß},

t > s .

(9.46)

Пусть,

далее,

 

0 ^

и ^

Т, — случайный

процесс

такой,

что

 

 

 

 

 

 

 

и при

и >

S

1{и ' Ч) = 1и>

« < s-

 

(9-47)

 

 

 

 

 

 

 

Ч)

= h +

I А0 К

Ь{а’*S)) dv + ! Вѵ

Ч)) dWv. (9.48)

 

 

S

 

 

 

S

 

 

В силу предположений (9.2) — (9.4) уравнение (9.48) имеет единственное сильное решение (см. теорему 4.6 *)) и с вероят­ ностью единица

Покажем, что Р-п. н. **)

Р {І, < У IѲ, = а, $ = Р jgje*^ < у).

(9.49)

Для этого заметим, что для каждого t~^s найдется такой (измеримый) функционал Qt ( • , • , •), определенный на С[о,S] X XE[s,f]XC[S,(], где С[о. si и C[s, ^ — пространства непрерывных функций на [0, s] и [s, t], а Е[5, ц — пространство непрерывных справа функций, определенных на [s, Д что

St = Qt fé . ѲІ. О

(Р-п. И.).

(9.50)

В силу отмеченной единственности сильного решения урав­ нения (9.48) для каждого t ^ s (Р-п. н.)

 

‘ lSe,6“) =

Q<f e

(0“t

Wi]-

(9-51)

Из (9.49), (9.50), независимости процессов 0 и If, марко­

вости процесса 0 и (9.46) следует, что

 

 

 

р (!«< 4 К =«. Й= * 8 = Р (Q,(С

о

< *| Ѳ,= а, sS=*2] -

 

- р (<з,«

. в;,

к ) < ц

<>,=«,

е = < ] =

 

=

Р [Q, (4 . в;,

< ) <

* I е, -

а] =

Р (Q, 05, ( e t .

ІЦ) < X).

Вместе

с (9.51) это и доказывает

(9.49).

 

 

*) См. также сноску на стр. 379.

**) По поводу используемых здесь и далее обозначений для условных вероятностей см. § 2 гл. 1.

§ 21

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

391

Аналогично показывается, что для любых s ^ s, ^

^ sn^ t

И Х\у . • • , Xfi

TT}

 

Отсюда

нетрудно

вывести,

что для

s ^

t

 

 

<V (t,

s) = P (Ѳ, =

ß IГ), Qs = a) =

P (ѳ? =

ß I r f '

.

Применяя к процессу (ѳ“>

^ ) ,

t ^ s

(с

учетом

очевид­

ных изменений в обозначениях), теорему

9.1, получаем, что

сіу(/, s) удовлетворяют (при

фиксированных

a n s )

системе

уравнений (9.43). Единственность непрерывного решения, удов­ летворяющего условиям (9.44), (9.45), следует из теоремы 9.2.

§ 2. Прямые и обратные уравнения оптимальной нелинейной интерполяции

1. Пусть (Ѳ, £) = (Ѳ/, I t ) у

Г, — случайный

процесс,

введенный в предыдущем параграфе. Обозначим

 

Яр (s, t) = Р(Ѳ5 =

ß \@~}),

(9.53)

Зная апостериорные вероятности {ярУ t), ß е Е}, можно решать

разнообразные задачи

интерполяции

ненаблюдаемой компо­

ненты по

наблюдениям

£о = {|и,

s ^ . t . В настоящем

параграфе

будут выведены прямые (по

t при фиксированном s)

иобратные (по s при фиксированном і) уравнения для Яр(я, t).

Те о р е м а 9.4. Пусть выполнены условия леммы 9.1 и пред­

положения

(9.2) — (9.6).

Тогда для всех s, t

(0 s <

/ Г)

условные

вероятности яр (s,

t)

удовлетворяют

(прямым)

урав­

нениям (Яр (s, s) = Яр (s))

 

 

 

 

 

 

^Яр (s,t) =

лр (s, t) ВТ2(I)

 

А, (у, I) [ay (t, s) — ny (0] X

 

 

 

 

X U l t -

Ъ At {y, l)uy {t)dt]

(9.54)

 

 

 

 

 

 

ye=£

 

 

и могут быть представлены в следующем виде:

 

 

(

t

 

 

 

 

 

 

3Tß (s, 0 = Яр(з)ехр1

j ß s 2 (s)

V

Au(у, £)[йу(н,

s) — лѵ («)] d%u—

 

\

s

 

y e E

 

 

 

 

_1_

 

 

 

Au(y,

l)(0 yg(«, s)

 

 

 

B 7 2 (t)

 

 

 

 

 

2 s

 

. y e E

У Au (Y. I) Лѵ (и)

du

(9.55)

 

 

 

 

 

. V e E

392

ФИЛЬТРАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 9

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку

np(s, /) = М[б(Ѳ5, ß) 19~W,

то по теореме 8.4

(s, t) = M [6 (0S, ß) I £Ff] =

M [6 (0S, ß) I P\] +

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

+

J [ßB(ir'{ M [6 (0 s, ß) Au(0Ü, |)| РІ] -

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— М [ö (0e,

ß) I f \\ M [Au (0b, l) I £ i|}

dWu, (9.56)

где W = {Wt, &~\)— винеровский

процесс

с

 

 

 

 

_

Г

rfgs

- M f ^

( 0 s > | ) | ^

j r f s

 

 

 

Wt~ )

 

 

 

вЖ )

 

 

•

 

Здесь

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)1 ГІ\ =

Уі Аи(у,

l)ny(u),

 

 

М [Л В(ѲВ,

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

M[ö(0s, ß) ДВ(ѲВ, 1 ) Ж \\ =

 

 

 

 

 

 

=

м [б (0S,

ß) M (Лв (0S, і) I

0.) I &-1] =

 

 

 

 

= n„(s, и)

2

£

л и (у>

Ю©ѵв(м> s)-

 

 

 

 

 

1

Ѵе

 

ѴР

С учетом этого искомое уравнение (9.54) вытекает из (9.56).

Представление (9.55) следует

из (9.54) и формулы Ито.

З а м е ч а н и е . Из (9.54) и

(9.55) видим, что в задачах

интерполяции при вычислении условных вероятностей nß(s, t),

ß e £ , требуется решать

две

вспомогательные задачи филь­

трации (для нахождения

я у (и)

и (оѵр(м, s), u ^ s ) .

2.Для вывода обратных уравнений интерполяции нам

потребуется

ряд вспомогательных результатов, связанных

с условной вероятностью

 

 

 

 

 

Pap(s, 0 =

Р(Ѳ* = а ж !,

0, =

ß).

Л е м м а

9.3. Пусть для заданного

ß e £

выполнено любое

из двух условий:

 

 

 

1)

Pß (0) >

0,

 

 

 

2 )

inf

inf XvR( f ) > e ft > 0 .

 

 

 

0<*<Г

ур

р

 

 

Тогда для

каждого t,

O ^ t ^ T ,

 

 

Р{яр(/) > 0 } = 1.

(9.57)

§2]

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

393

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из формулы Байеса (7.205)

вытекает,

что яр(0 обращается в

нуль (Р-п. н.)

одновременно

с p^(t).

Из (9.12) для pß(t), Т ^

 

 

s ^ O , получаем

представление

Pß(t): :ехр I fJ .Aß(и) du JI pß (s) -f

 

 

 

 

 

 

 

I S

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

^ (

v)dv

 

 

(и) py (и) du

 

(9.58)

 

 

0

 

 

Y=*3

 

 

 

 

 

 

Поскольку 0 < A y3( I K K

при у Ф

то

из (9.58)

вытекает,

что для всех

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

eß J

1

 

 

 

)

(9 .59)

рв( / ) > е х р ( — K{t — s))jp ß(s) +

[1 — p{i{u)]du j.

Отсюда ясно,

что если pß(0) >

0,

то

inf

p A t)> 0.

Если же

Pß(0) = 0 , а eß >

0, то

 

 

 

 

o

<

f <

r

р

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P ? , ( t ) > ^ \ { \ — pb{s)}ds.

 

 

 

(9.60)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому в силу непрерывности pß(s),

 

0,

из (9.60)

следует,

что pß(f) > 0 по крайней

мере для достаточно малых

положи­

тельных t. Этот факт вместе с (9.59)

доказывает, что pß (t) > 0

для каждого t > 0 .

 

 

 

 

1, то для

t ^ s

 

 

Л е м м а 9.4.

Если Р{я0 it) >

0}=

 

 

 

Paß(s>t)

Mßg (t, s) Яд (5, О

 

 

 

(9.61)

 

 

Я,? (О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Если t ^ s ,

то

 

 

 

 

 

 

М [б(Ѳ„ a) 6 (Of, ß) j r lt] =

M [б (Ѳь ß) M (6 (0S, a) | Т ) , Of) |

 

=

= M [б (0f,

ß) pafli (s,

/) I

=

paß (s, f) я3 (0.

(9.62)

С другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [6 (Os, а) 6 (Ѳь ß) |# І ] =

М [6 (0S, a) M (б (Of,

ß) | p \ , Ba) \ &\J =

= M [6 (0s, a) ft>ßes(f,

5) 1ЗГЦ = яа (s,

/) coßa (t, s).

(9.63)

Сравнивая (9.62) и (9.63) и учитывая,

что

 

Р{яр(/) >

0}= 1 ,

получаем искомую формулу (9.61).

 

 

 

 

если выполнено

З а м е ч а н и е .

Формула (9.61)

справедлива,

любое из условий леммы

9.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы