Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 313
Скачиваний: 0
§ 21 |
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
395 |
|
|
Пусть R (s, t) — II paß (s, |
t) II, |
|
|
|
Матрица R (s, t) является |
||||||
фундаментальной: R(s, |
s) — единичная матрица, и |
|
|||||||||
|
dR (s, t) |
R(s, |
t)C(t, |
со), |
(9.71) |
||||||
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где C (t, |
со) — матрица |
с элементами |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
^aa (о |
|
(t) |
— |
2 |
^YO (t) Яѵ (О |
|
||
|
Пт У, И) = |
---------- |
|
у е £ |
|
|
|
||||
|
|
5ta (0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
>-aß(0 ла (0 |
|
|
|
|||||
|
caß (^. w) — |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
«b(0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
являющимися Р-п. н. |
|
непрерывными |
функциями, |
поскольку |
|||||||
лѵ(0, Лѵа(^) (у, а(=Е) |
непрерывны по /, а множество Е конечно. |
||||||||||
Если |
s < и < t, то |
в силу свойств фундаментальных матриц |
|||||||||
|
R(s, |
t) = |
R(s, |
и) R (и, |
t). |
|
|||||
Поскольку матрица R(s, и) (Р-п. н.) невырождена, |
|
||||||||||
|
R(u, |
t) = R~l (s, |
и) R(s, |
t). |
(9.72) |
||||||
Из (9.71) и очевидного тождества |
|
|
|
|
|||||||
|
° = |
-^ -U (s , |
u)R-'(s, |
и)) |
|
||||||
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д R 1(s, |
и )= |
~ |
С (и, |
а>) R |
1(s, и). |
|
||||
Поэтому |
ди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___ д_ |
|
|
|
u)R(s, О — |
|
|
|
|
|||
ди R {и, t) — ~ R ~ l {s, |
|
|
|
|
|||||||
|
— С (и, со) R |
1(s, |
и) R (s, t) — С (и, |
со) R (и, t) |
|||||||
и, следовательно (при |
s < |
t), |
|
|
|
|
|
|
|
—R(s, t) = C(s, a)R(s, t).
Покоординатно расписывая эту систему, приходим к системе уравнений (9.69), из которой, как уже отмечалось, вытекают
уравнения (9.65). |
Если |
в (9.1) коэффициенты At (Qt, I) |
не за |
||
З а м е ч а н и е . |
|||||
висят от Ѳ*, то рар (5, t) = |
Р (Ѳ5 |
= a IѲ/ = |
ß, &~})=P (0s= a 10 f= ß )= |
||
= paß (s, t). При |
этом если |
множество Е конечно и Pß(0)>0, |
|||
ß e £ , то |
|
|
|
|
|
дРаЪ(«. *) = Ра (S) Й |
Pa ß i s ’ О |
Paßt3’ V и Pais)- |
(9.73) |
||
ds |
|
|
Ра (s) |
Ра Н) |
|
396 |
|
|
|
ФИЛЬТРАЦИЯ |
МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ |
|
|
[ГЛ. |
9 |
|||||||||||
|
§ 3. Уравнения оптимальной нелинейной экстраполяции |
|
|
|||||||||||||||||
|
1. Для |
|
|
обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Яр(/, s) = |
p(0/ = |
ß |0 l) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Знание этих вероятностей позволяет решать разнообразные |
||||||||||||||||||||
задачи, |
связанные с прогнозированием значений Ѳ( по наблю |
|||||||||||||||||||
дениям |
^ = = { |ц, |
|
|
Так, |
если |
МѲ, < оо, |
то |
2 |
ßnß(/, |
s) |
||||||||||
является |
оптимальной (в среднеквадратическом |
ß^E |
|
оцен |
||||||||||||||||
смысле) |
||||||||||||||||||||
кой Ѳ, по I*. |
|
яр(£, s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Для |
вероятностей |
|
можно |
получать уравнения как |
|||||||||||||||
по t (при фиксированном s), так и по s (при фиксированном /). |
||||||||||||||||||||
Первые |
из |
этих |
уравнений (которые естественно назвать пря |
|||||||||||||||||
мыми уравнениями) дают возможность понять, как ухудшается |
||||||||||||||||||||
прогноз |
значений |
Ѳг |
по |
|
когда t растет. Из уравнений |
по |
s |
|||||||||||||
(t |
фиксировано) |
можно судить о степени улучшения |
прогноза |
|||||||||||||||||
значений 0* с ростом «числа наблюдений» (т. е. при |
s f t). |
|
9.1 |
|||||||||||||||||
|
2. |
|
Т е о р е м а |
9.6. |
Пусть |
выполнены |
условия |
леммы |
||||||||||||
и предположения |
(9.2) — (9.6). |
|
Тогда для каждого фиксирован |
|||||||||||||||||
ного s условные |
вероятности {яр(?, s), |
t ^ s , |
|
ß е |
Е) удовлетво |
|||||||||||||||
ряют (прямым) уравнениям |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яр(Т s) = |
Hp(s)+ |
I |
й*Яр(«, s)du, |
|
|
|
(9.74) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2*яR(u, |
s)— |
2 |
XY|3 (ü) яѵ (и, |
s) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(в |
Система |
уравнений |
(9.74) |
имеет |
единственное |
решение |
||||||||||||||
классе |
|
неотрицательных |
непрерывных |
решений) |
xß(t, |
s) |
||||||||||||||
С SUp 2 |
|
Хп (t, s) |
< оо (Р-п. н.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ß |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s), |
s ^ . t , |
|||
ß е |
При фиксированном t условные вероятности {яр(/, |
|||||||||||||||||||
Е} допускают представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
яр(*’ s) = |
Яр (t, 0 ) + І |
Д73(g){>] |
pßY(C |
и)я ѵ (и) |
(y, |
g) — |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
О |
|
уе^Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
- |
|
2 |
Аа (у, I) яѵ (и)] } \diu- |
|
2 Аа (у, |
ю Я ѵ (и) du] . |
(9.75) |
||||||||||||
|
|
Y |
|
J |
|
|
J L |
|
|
Y |
|
|
V |
|
J |
|
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для вывода уравнений (9.74) |
восполь |
|||||||||||||||||
зуемся тем, что при |
t ^ s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
nß(t, s) = |
P(0<= |
ß |5 r|) = |
M[P(0, = |
ß |^ 6 ) |^ 6 ] == |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= М [я„(*)|іГ|] |
(9.76) |