Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 316

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

398 ФИЛЬТРАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 9

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X${t,

S) — X$(t, s) К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< J

^

 

 

I Я,ѵз(и) II

Xy(u,

s) — x'y(u, s) \du.

 

 

 

 

 

 

s

Ve£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим,

что

2

I

КЛи) | =

2

ЯѵВ (и)—А

(и) = —21

(и) < 2К.

Поэтому

ß<=£

ѵр

 

ß^y

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

£

I *ß (/, s) -

A'ß (t, s ) | < 2 / c

[

^U ß(M , s) — Xß(w,

s)\du,

ße£

 

 

 

 

 

 

 

 

S

Pë £

 

 

 

 

 

и по лемме 4.13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

\Хß(/,

S)— Xß(^,

s) I = 0

(Р-п. н.).

 

 

 

 

ße£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этим доказана единственность решений прямой системы

уравнений (9.74).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установим теперь представления (9.75).

 

Y =

(ys, @~s),

Рассмотрим

 

для

этого

случайный

процесс

s ^ / ,

с г/5==Ррѳ5(^, s). В силу марковости процесса Ѳ-=(Ѳ5, @~s)

М{у3\$ 'и) = ЪЛ[ре)%{і,

s) I &~u\ =

M [pß0s (t,

s)|0„] =

 

 

 

=

2iEP{iy(t,

s)pyQu{s,

u) =

p ^ u(t, u) = yu

(P-п. H.), M > S .

Поэтому процесс F =

(ys, @~s),

0 ^ . s ^ . t ,

является

квадратично

интегрируемым

мартингалом.

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

при

t ^ s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" ß(*’

s)=Mf6(0,,

ß )|^ !] =

M[M(6(0(, ß) I STs) I ^ \ \

=

 

 

= M [M (6 (0„

ß) 105) I <rf] =

M (p ^ s (i, s) I <r!) =

M \ys I sr]],

то по теореме

8.5

 

 

 

 

0) + JS au(I) dWu,

 

 

 

 

 

 

Яр (t, s) =

я 0 (t,

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

au(I) — Bül (І) [М (pßeu (t,

u) Au(Ѳи,

I) 1

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- M ( p ß 6 ü (^ w) I 2ГІ‘) M (Au (Ѳи,

| ) І # І ) ] .

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4]

 

ПРИМЕРЫ

 

 

399

 

§

4. Примеры

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

1. Пусть Ѳ=

Ѳ(<а)— случайная

величина,

прини­

мающая два

значения ß и а с вероятностями р и 1 — р соот­

ветственно. Предположим, что наблюдению

подлежит

случай­

ный процесс it, / ^ 0, с

 

 

 

 

 

 

d\t == Ѳdt -f- dWj,

=

0.

 

 

Тогда апостериорная вероятность

я (t) =

Р {Ѳ = ß | £Г]}

удовле­

творяет согласно (9.17) уравнению

 

 

 

 

du (/) =

(ß — а) л (0 (1 — я (0) [dlt — (а + я (() (ß — а)) dt},

 

 

я (0) =

р.

 

 

(9.80)

В частности,

если ß = 1, а = 0, то

 

 

 

 

 

dn (t) — я (t) (1 — я (t)) [d%t— я (t) dt\

(9.81)

с я (0) = р.

 

 

 

 

 

 

Если ф(0==^ ~ ( ^ £)—плотность Радона—Никодима мерыр,,

отвечающей процессу | с Ѳ= 1 по мере ц0, соответствующей процессу I при Ѳ= 0, то из формулы Байеса следует, что при

р < 1

 

 

я(/) = т^ Ф ( 0 / ( і

+ т ^ 7 Ф ( 0 ) .

(9-82)

В

рассматриваемом

случае

 

«отношениеправдоподобия»

(см.

теорему

7.7) ф(^) =

е х р [|,—

и, следовательно,

 

 

 

 

dq> (t) =

ф(t) d\t.

(9.83)

Представление (9.81) можно было бы также вывести из

(9.82) и (9.83). И наоборот, (9.83) легко следует из

(9.81) и

(9.82) .

что апостериорная

вероятность n(t) (так

же как

Отметим,

и ф (0) является достаточной статистикой в задаче различения

двух простых гипотез*) Я0: Ѳ= 0

и Нр. 0 =

1.

процесс, прини­

П р и м е р 2. Пусть

Ѳ„

0, — марковский

мающий два значения 0 и 1 с Р (Ѳ0 = 1) = р,

Р

(Ѳ0 = 0) = 1 — р

и единственным переходом из 0 в

1:

 

 

^оо==

^оі ==

 

— 9,

 

— 0.

Пусть наблюдается

случайный

процесс

 

 

 

/

 

 

 

 

Qs d s + W t

О

) Подробнее см.', например, [169], гл. 4.

400

ФИЛЬТРАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 9

 

(к такой схеме приводится так называемая задача о «раз­ ладке», [169], состоящая в скорейшем обнаружении момента Ѳ изменения коэффициента сноса у наблюдаемого процесса в предположении, что

Р{ Ѳ>ПѲ > 0} = е - и ,

Р(Ѳ = 0) = р.

 

В рассматриваемом случае апостериорная вероятность

 

я(0 = Р(Ѳ4= 1 1^1)

( = Р { Ѳ < П ^ } )

 

удовлетворяет (согласно (9.17)) уравнению

 

dn (t) — Я (1 — я (t)) dt + я (t) (1 — я (t)) (d\t — я (t) dt)

(9.84)

с я (0) = р.

Поэтому n(t) является

опти­

Заметим, что n(t) = М (Ѳ, |^*|).

мальной (в среднеквадратическом смысле) оценкой значений Ѳ* по наблюдениям ^ = { i s, s=S^}.

П р и м е р 3. Пусть Ѳ„ t ^ 0, — марковский процесс с двумя состояниями 0 и 1.

Предположим,

что

Р (Ѳ0 = 0) =

Р (Ѳ0 =

 

1) =

-j , плотности

вероятностей перехода

Яар (t) не

зависят от

t и

 

 

 

Я0о =

Я,

Я0і = Я,

Я10 == Я,

Яц =

Я.

 

(Процесс

Ѳ„ t ^ 0, называется «телеграфным сигналом».)

Пусть

наблюдаемый процесс

g,,

t ^ 0,

допускает

диффе­

ренциал

 

dl, = Qtdt + dWt,

Іо =

0.

 

(9.85)

 

 

 

Апостериорная

вероятность

я {t) — Р

(Ѳ, =

1 \@~\),

являю­

щаяся в данном случае оптимальной (в среднеквадратическом смысле) оценкой значений Ѳ„ удовлетворяет стохастическому уравнению

dn (t) = Я (1 — 2я (t)) dt +

я(^) (1 — я (t)) (äh — я (t) dt) (9.86)

с я(0) = у .

 

 

Аналогично, ©„ (/, s) = Р

(Ѳ, = 1 |9s = 1,

удовлетворяет

уравнению

 

 

t

 

 

cou (t, s) = 1 + Я J [1 — 2сои {и, s)] du + j

t

+ J G>n {u, s ) [ l — co„(«, s)][dlu — ü)tl (u, s)du\.

(9.87)

§ 4]

ПРИМЕРЫ

401

 

 

Обозначим для s <

* л, (s, t) = Р (Ѳ, = 1 )

Тогда из (9.55)

видно, что л, (s, t) является оптимальной (в среднеквадратиче­ ском смысле) оценкой 0s по g*,

Пусть теперь

для

я, (f,

s) = Р (Ѳ. = 1 |£-|Ѵ

Тогда со­

гласно (9.74)

 

 

 

 

t

^

а>

 

 

 

s) = n(s) +

 

 

 

 

 

я, (/,

Л J

[1 — 2я, («,

s)]d«.

 

Отсюда находим

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я,(/, s) =

я (s) e~2^

- s>+ у(1 — e-sAH-s)),

(9.88)

В силу (9.75)

 

 

 

 

 

 

 

 

М *. 5) = я | (г‘, 0) +

 

 

 

 

 

 

 

+ j [pn{t,

u) — p,o(f,

и)] л (и) (I — n(u))\dtu — л (и) du].

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Нетрудно найти из (9.12), что

 

 

 

 

Рп(*.

=

 

 

 

 

 

piQ(t, u) =

l ( 1-е-гл«-»)).

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*9 (t, s) — ~

+ у J n ( « ) ( l

— я{и)) e - 2%V-u)[dla — л (и) du]. (9.89)

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Величина я, (t,

s) является

экстраполяционной

оценкой Ѳ,

по go,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г Л А В А

10

 

 

 

 

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ

 

 

 

 

 

ФИЛЬТРАЦИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1. Метод Калмана—Бьюси

 

 

 

1.

На

вероятностном пространстве

(Q,

 

P) с

выделен­

ным на нем

семейством

cr-подалгебр ( ^ ) ,

t

T, рассмотрим

двумерный

гауссовский

случайный процесс (Ѳ/;

lt),

0 ^

^ Т,

удовлетворяющий стохастическим дифференциальным уравне­

ниям

 

 

 

dQt =

a{t)Qt dt + b{t)dWx(t),

 

 

(10.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dl, =

A(t)Qt dt + B(t)dW2(t),

 

 

(10.2)

где W\={W\ (t),

t) и W2={W2{t),

i)—два

независимых

вине-

ровских процесса и Ѳ0, £0 £Г0-измеримы.

функции

a(t), b{t),

Будем

 

предполагать,

что

измеримые

А (t), В (t)

таковы, что

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J I a(t) [dt < оо,

 

 

 

 

 

(10.3)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

А {t) \ dt < оо,

J В2 (t) dt < оо.

 

 

 

 

 

 

J I

 

 

(10.4)

 

 

 

о

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Из теоремы 4.10 следует, что линейное уравнение

(10.1)

имеет, и притом единственное, непрерывное решение, задавае­

мое формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳ, = exp

J

а (и) du

 

 

 

а (и) du 1 b{s)dWi(s)

.(10.5)

З а д а ч а о п т и м а л ь н о й л и н е й н о й н е с т а ц и о н а р н о й ф и л ь т р а ц и и

(Ѳ, п о р а с с м о т р е н н а я К а л м а н о м и Б ы о с и , с о с т о и т в с л е ­

д у ю щ е м . П у с т ь п р о ц е с с О*, О ^ ^ ^ Г , н е д о с т у п е н н а б л ю д е н и ю ,

Смотрите также файлы