|
|
|
|
|
|
§ |
И |
МЕТОД КАЛМАНА - БЬЮСИ |
|
403 |
а |
наблюдать можно |
лишь значения \ t, |
0 |
несущие |
в себе неполную |
силу наличия в (10.2) |
множителя А (t) и |
помехи J В (s) d W 2(s)^j |
информацию о значениях Ѳ,. |
Требуется |
в каждый момент времени t оценивать (фильтровать) «опти
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мальным» |
образомзначения Ѳ, |
по |
реализации |
^ = { ^ , |
0 < s < |
/}. |
|
|
|
понимать |
оценивание, |
наилучшее |
Если |
под оптимальным |
|
в среднеквадратическом смысле, то оптимальная |
(в момент |
времени |
t) |
оценка |
для |
по |
|
совпадает |
с условным |
математическим |
ожиданием *) |
|
|
|
|
mt = |
M (Qt 13F\) |
(10.6) |
(в обозначениях гл. |
8 m, = |
nt (Q)). |
Ошибку оценивания (филь |
трации) |
обозначим |
Ѵ ,= |
М (Ѳ ,-т ,)2. |
(10.7) |
|
|
|
Метод, |
примененный Калманом |
и Бьюси для |
нахождения |
mt и yt, |
позволил им получить для этих величин |
замкнутую |
систему рекуррентных уравнений (см. |
(10.10) — (10.11)), что ока |
залось весьма удобным при практической реализации опти мального «фильтра».
Рассмотренный Калманом и Бьюси процесс (Qt, %t), O ^ t ^ . 7 , является гауссовским. Как следствие этого оптимальная оценка
mt = M(0t |^"|) |
оказывается |
линейной (см. далее лемму 10.1). |
В следующей |
главе дается |
существенное обобщение схемы |
Калмана — Бьюси. Там будет показано, что в так называемом условно-гауссовском случае для mt = M (0JiF|) и yt =
= М [(Ѳ<— пг{у 1 т а к ж е можно получить замкнутую систему
уравнений (см. (12.29), (12.30)), хотя оценка mt будет уже, вообще говоря, нелинейной.
Вслучае (10.1), (10.2) уравнения для mt и у( могут быть легко выведены из общих уравнений фильтрации, полученных
вгл. 8. Это будет проделано далее в § 2 и 3.
Вп. 2—4 настоящего параграфа будет изложен (с некото рыми модификациями и уточнениями) тот вывод уравнений фильтрации для mt и yt, который был первоначально предло
жен Калманом и Бьюси. Как |
уже отмечалось во введении, |
в основе |
этого |
вывода лежит |
представление (10.24) (в случае |
т0 = 0). |
В п. 5 |
будет дан иной |
(более простой) вывод этих же |
*) Всюду далее будут рассматриваться только измеримые модификации условных математических ожиданий.
404 ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ [ГЛ. 10
уравнений, использующий то обстоятельство, что т, можно
представить в виде (10.52), |
где W — обновляющий процесс. |
2. Т е о р е м а 10.1. Пусть |
(Ѳ„ lt), O ^ t ^ T , — двумерный |
гауссовский процесс, управляемый системой уравнений (10.1),
(10.2). Пусть выполнены условия |
(10.3), (10.4) |
и |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
(' А2 (t) dt < |
оо, |
|
|
(10.8) |
|
о |
|
|
|
|
|
|
B2( t ) ^ C > |
0, |
|
0 < f < 7 \ |
|
(10.9) |
Тогда условное математическое |
ожидание |
m , = М (Ѳ, | |
и среднеквадратическая ошибка |
фильтрации |
у/ = |
М(Ѳ/ — m,)2 |
удовлетворяют системе уравнений |
|
|
|
dm, = |
V Л (t) |
— A{t) m,dt), |
(10.10) |
a (t) m ,d t+ |
|
|
у, = |
2a (t) у, — Ав ц -^ |
- + |
b2 (t) |
|
(10.11) |
c m0= M(OoUo), |
Yo == M (00 — m0)2. |
|
|
|
Система уравнений (10.10), |
(10.11) имеет единственное не |
прерывное решение (для у,—в классе неотрицательных функций).
3. Доказательству предпошлем ряд вспомогательных утвер
ждений. |
|
|
Пусть |
£ = (£„ |
О ^ ^ ^ Г , — гауссовский |
|
Л е м м а 10.1. |
случайный |
процесс |
с |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
І, = |
Ео+ J asd s + |
J |
B(s)dWs, B2( s ) > C > 0, |
0 < 5 < Г , |
(10.12) |
|
|
о |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
где |
винеровский |
процесс |
W = (W„ &~t) |
не зависит от |
гауссов |
ского |
процесса |
а — (и„&~,), Q ^ . t ^ . T , |
с |
М (а/ | | 0) = 0 и |
|
|
|
|
|
|
Р ( j |
a2sd s < оо j |
= |
1. |
|
(10.13) |
0 ^ |
Тогда, |
если |
случайная |
величина т) = rj (со) |
и процесс £ = (£,), |
t |
Т, |
образуют гауссовскую систему, |
то для каждого /, |
0 < г < 7 \ |
найдется функция G(t,s), |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
t |
G2 (t, s) ds < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
oo |
|
|
(10.14) |
§ О |
МЕТОД КАЛМАНА - БЬЮСИ |
405 |
такая, что (Р-п. н)
М(ті | ^ ) = М(тіІ£0) + { G(t, s) dt,. |
(10.15) |
о
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего заметим, что из усло-
т
вия (10.13) вытекает, что J* Ма]dt < оо (лемма 7.2). Пусть
о
0 = t f < t f < ... <tfn = t — двоично-рациональное разбиение отрезка [0, t], t f — ^ - t . Обозначим
=....
|
= сг{ ® : |
%Лп), |
І . ( п ) - І А п ) , • • • , |
!.(«) — |
|,(л) X- |
|
X |
*0 |
*\ |
*0 |
{2п |
У - ' і |
Тогда, поскольку |
п f Ѳ~\, |
то по теореме 1.5 с вероятностью 1 |
|
М (тіІ^|, |
|
|
|
|
(10.16) |
Последовательность случайных величин [(Ы(г\\@~\ п))2, п = 1 ,2 ,...} равномерно интегрируема. Поэтому из (10.16) следует, что
|
1. i. m. M(rii^-f J |
= M (T!l^). |
(10.17) |
|
|
П -> оо |
|
|
|
|
|
По теореме о нормальной корреляции (теорема 13.1) для |
каждого п = 1, 2, |
... |
(Р-п. н.) |
|
|
|
|
П) = |
|
|
2П—1 |
|
|
|
м ( Л I |
м ( Л |
I І о ) + |
2 О я (t, t |
f ) |
( і о . 1 8 ) |
с некоторой (неслучайной) функцией |
Gn(t, tf), |
0 ^ j ^ . 2 n~l, |
Обозначим |
|
|
|
|
|
< s < tflr |
|
|
Gn (t, s) = Gn (t, tf) , |
t f |
|
Тогда равенство (10.18) может быть переписано |
в следующем |
виде: |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
М ( л і П « ) = |
М( ^ о ) + І |
s)d\ |
(10.19) |
406 |
ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ |
[ГЛ. 10 |
Из (10.19) и независимости процессов а и W следует, что
м [М (ч |ІГ ‘ |
„) - |
М(Л I П „ f |
= М { J |
[0 „ (f, |
s) - ІЗт (t, s )J ü J |
= |
|
|
f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
M j J [G„ (/, s) — |
Gm (t, s)] as ds |
+ |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
+ |
M jJ |
[Gn(t, s) — Gm{t, s)]ß(s)<ilFsJ |
= |
|
|
= |
M I J [Gn{t, s) — Gm(t, s )]a ^s j |
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
Jt |
[Gn(t, s) — Gm (t, s)]2 B2(s) ds. |
(10.20) |
Но в сил'у |
(10.17) |
lim |
|
M [M Ы\ |
n) — M (t) | |
m)l2 — 0. |
По- |
этому согласно |
(10.20) |
и неравенству ß 2( s ) ^ C > |
0, |
O s^ s^ T , |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f [Gn(i, s) — Gm(t, s)]2ds=^0.
nt m-> oo J
Иначе говоря, последовательность функций {Gn(t, s), n — 1, 2, ...} является фундаментальной в L2[Q,t\. В силу полноты этого пространства существует (при данном t) измеримая по s, 0 ^ 5 ^ / , функция G (t, s) е L2[0, t] такая, что
lim j [G(f, s) — G„ (t, s)fds = 0,
( 10. 21)
lim [G (t, s) — Gn(t, s)]2 B2(s) ds = 0
Поскольку же M J a2ds< oo, то и з (10.21) вытекает, что и
|
|
2 |
lim |
М { |
[Gn{t, s) — G(t, s)]a^. c?s| = 0 . |
П-> oo |
*' |
I |
