Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 310

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 1]

Следовательно,

МЕТОД КАЛМАНА - БЬЮСИ

407

 

 

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S t

 

 

 

 

что вместе с (10.17), (10.19) доказывает представление

(10.15).

С л е д с т в и е

1.

Пусть

W — (Wt, @~t),

0 < ^ < Г , — винеров-

ский

процесс

и гі =

rj (to) — (гауссовская)

случайная

величина

такая, что (т),

W) образует гауссовскую систему.

Тогда Р-п.

н.

для любого t,

0

t ^ Т,

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M(ril # 7 ) =

Мті + J G{t, s)dWs,

 

 

(10.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

где

G(t,

s),

0 ^

s ^

t,

— детерминированная

функция

с

j G2(t, s) ds <

oo

(cp. c

(5.160)). В

частности, если

случайная

о

 

 

т] STf-измерима,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

величина

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ті= Мті +

j G(t, s)dWs.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е

2.

Пусть выполнены условия теоремы 10.1,

m0 =

0.

Тогда

для

каждого t,

Q ^ t ^ T ,

существует функция

G (t,s),

O

^ s ^ t ,

такая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J G2 (t, s) ds <

oo ,

J G2 (t,

s) B2(s) ds < oo,

 

 

 

 

t

о

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

(10.23)

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

J G (t, u) G (t, v) А (и) A (V) M (Ѳц, Ѳа) du dv < oo,

 

 

 

 

о

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и для /п* = М (0 * |^ |) справедливо представление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mt = J

G(t, s)dls.

 

 

 

(10.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Из

леммы

10.3

будет

вытекать,

что

у функции G (t,

s),

участвующей

в представлении

(10.24.),

существует

модифика­

ция, измеримая по паре переменных.

предположения теоремы

10.1

Л е м м а

10.2.

Пусть

выполнены

и

пг0 — 0 (Р-п.

н.).

Тогда для каждого t, O ^ t ^ T ,

функ­

ция

G (t,

s), 0

s ^

t, удовлетворяет

интегральному

уравнению

408

 

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

 

[ГЛ. 10

Винера — Хопфа: при почти всех и, 0

 

 

K{t, и) А{и) =

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

=

J G (t, s) А (s) К (s,

и) А (и) cis + G (t, и) В \ и ),

(10.25)

 

о

 

 

 

 

 

где K(t, и) = МѲгѲи.

 

прежде всего,

что

из пред­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Отметим

положения т 0 =

0 (Р-п. н.) следует,

что МѲ0 = Мпг0 — 0, и в силу

(10.5) МѲ, = 0,

0

 

 

 

 

Далее,

интеграл J G{t, s)A(s)K{s, w)ds существует

и коне-

 

 

о

т

 

 

 

 

/

 

 

чен, поскольку J G2( t,s ) d s <

оо, J A2(s)ds < оо,

а ЛДх, п)огра-

 

0

о

 

 

 

ничена, как непрерывная (по паре переменных) функция, допу­

скающая

согласно (10.5) представление

 

 

 

 

S

 

U

 

 

 

 

К (s ,и) =

ехр J а (z) dz +

j a

(z) dz

МѲ02 +

 

 

 

 

- о

 

0

 

 

 

 

 

 

+

s Л и

 

 

 

 

 

 

J

exp

— 2 j

a (у) dty

b2 (z) dz,

(10.26)

 

 

 

0

 

o‘

 

 

 

где s A и =

min (s, w).

 

 

 

 

 

 

Перейдем теперь к выводу уравнения (10.25). Пусть ^ е [0 , Т]

и f{t, s),

0

— ограниченная измеримая

(по s) функция.

Рассмотрим

интеграл I (t) — j f ( t , s ) d l s. Эта

случайная

вели-

 

 

 

 

о

 

 

 

 

чина [^-измерима, и,

как

нетрудно

проверить,

 

Гt

М J f (t, s) d\s < oo. L 0

Поэтому

t

M (0* — mt) j f (t, s) dts= 0, 0

T. e.

M0f j f(t, S ) d t s

t

 

Mmt J f(t, s)dls.

(10.27)

о о

§ 1]

МЕТОД КАЛМАНА - БЬЮСИ

409

 

Поскольку случайные величины Ѳ* и [ f(t,s)B (s)dW 2{s) неза­

висимы, то t

МѲг J f (t, s) dls=

МѲ, J f (/, s) А (s) Ѳ, ds +

 

 

0

t

 

 

0

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ МѲ/J f(t, s)B(s)dW 2(s)=MQt J f{t, s)A(s)Qs ds =

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

= I f(t, sM (s)M M sü!s=

f f(t, s)A(s)K{t, s)ds. (10.28)

 

о

 

 

 

 

0

 

 

С другой стороны, используя

представление (10.24),

находим,

что

t

 

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mmt J f(t, s)dS>s= M

J G(t,s)dls J / (t, s)d%s =

 

 

= M J

G (i, s) А (s) O^ ds + I

G(t, s)B{s)dW2{s)

X

 

 

t

 

 

 

о

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.29)

 

X

J f (t, s)

А (s) Qs d s +

 

2

 

J f (t, S) В (s) dW (S)

 

Воспользуемся снова независимостью

J G(t, s) A (s)Qs ds и

t

 

 

 

t

 

 

0

 

 

 

 

 

 

t

 

J f(t,

s) В (s) dW2(s),

j

f(t, s) A(s)Qsds и

J G(t, s) B(s)dW2(s).

0

из (10.29)

 

0

 

 

 

0

 

Тогда

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

Mmt J f (t, s) dls =

M j

J G (t, s) A (s) Ѳ,Ѳ„ A (и) f (t, u) du +

0

 

t

 

0

0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ M J G (t, s)B{s)dW2{s) J f(t, s) B{s)dW2(s) —

 

0

t

 

 

 

0

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

— I

I G {t,

s) Л (s) К (S, и) A (и) / (t, u) ds du +

 

 

о

0

 

 

+ Jt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G{t,

u) B'2(u)f{t, u) du.

(10.30)

410

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

[ГЛ. 10

 

Сравнивая (10.27), (10.28) и (10.30), а также учитывая про­ извольность функции f(t, и), получаем требуемое равенство

(І0.25).

Л е м м а 10.3. Пусть t е [0, Г] фиксировано. Решение G (t, s), O ^ s ^ ^ , уравнения (10.25) единственно*) (в классе функций, удовлетворяющих условиям (10.12)) и задается формулой

где

 

 

 

G(t, s) =

G (s, s),

 

 

 

(10.31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G(s>s) = ^

f

 

 

 

 

(10.32)

а cpj

является решением

дифференционального уравнения

 

 

й<РI

 

 

A 2 (t)

 

 

 

(10.33)

 

 

 

dt

а (t) - 4tß2 (t) Ф,

 

1-

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Установим

сначала единственность.

Пусть Gi(t, s),

г =

1,2, — два решения уравнения (10.25)

такие,

что

 

t

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J Gг

(t, s) ds <

oo,

J g\ (t, s) В2 (s) ds < oo.

 

 

 

о

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Тогда А(t, s) =

G1(lI, s) — G2(t, s)

является решением уравнения

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J A (t,

s) A (s) К (s, u) A (u) du +

A (t, и) B2 (u) =

0.

(10.34)

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножая обе части этого уравнения

на A {t, и) и

интегрируя

по и от 0 до t, получаем

 

 

 

 

 

 

t t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J J A (/, s) A (s)К (s, u) A (u) A (t, u) ds du +

 

 

 

о о

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

J A2 (^ и) В2 (и) du = 0.

(10.35)

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

В силу неотрицательной определенности корреляционной

функции К (5, и)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J J [A (t, s) A (s)j к (s,

u) [A (u) A (t,

5)] > 0.

 

 

 

 

о 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*)

Два

решения

Gj (t, s) и

G2 (t,

s) считаются

совпадающими, если

G’ i (t,

s) =

G2(t, s)

для

почти

всех

s,

 

 

 

 

 

§ И МЕТОД КАЛМАНА - БЬЮСИ 411

Поэтому

 

 

t

 

 

I Л2 (t, и) В2 (и) du = О,

 

 

о

и так как

 

inf В2(и)>0, то A(t,u) = Q для почти всех и,

о

о <и<г

 

также, что уравнение (10.33), определяющее функ­

Заметим

цию ф*, имеет, и притом единственное, непрерывное решение.

Это следует из теоремы 4.10 и того

факта,

что

т

sup

 

МѲ? т

I a (t) I dt +

о < t <

т

J А2 (t) dt < оо;

 

С

 

о

S

 

 

константа С определена в (10.9)

Установим теперь справедливость формулы (10.32). Из (10.25)

находим

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G{t, t) В2 {t) =

K{t, t) А (t) — I

G(t, s)A(s)K(s,

t)A(t)ds =

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

=

МѲ? A(t) — J G (t, s) А (s) МѲ5Ѳ, А (t) ds =

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

M

 

 

 

Qt A{t).

(10.36)

Поскольку

МѲ; J G (t,

s) В (s) dW2 (s) = 0,

то

правая часть

в

(10.36) равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М Ѳ, - J

G {t,

s) А (s) Ѳв ds -

J G (t, s) В (s) dW2(s) Qt A(t):

 

M

Ѳt — J G (t, s) d% Qt A(t) =

M [0( -

mt\ Qt A (t) ■

 

 

 

 

 

 

M (0, — mtf A {t) +

M (Qt - mt) mt.

(10.37)

Ho M (Ѳ* — mt) mt A (t) = 0, a M (9f — mt)2 = yt. Следовательно,

в силу (10.36)

и (10.37) G (t,

t) В2 {t)— yt A (t),

что и доказывает

(10.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнения (10.25) будем искать в предположении,

что функция

G (t, s)

почти

всюду

дифференцируема

по

t

Смотрите также файлы