Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 306

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

412

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

[ГЛ. 10

как если у

Это предположение не ограничивает общности, так

уравнения (10.25) существует такое

решение, удо­

влетворяющее условиям (10.23), то в силу доказанной единствен­ ности оно и будет искомым.

Установим прежде всего, что функция К (t, и) почти всюду

дифференцируема

по t ( t ^ u )

и

 

 

 

 

 

 

dKf t U) =

а (t) К (t,

и).

*

(10.38)

Действительно,

в силу (10.1)

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

ѲгѲ„ = ЪІ +

J а (ѵ) Ѳ„Ѳ0 dv + Qu j b (ѵ) dW , (о).

 

 

 

 

 

 

и

 

и

 

 

Беря от обеих частей

этого равенства

математическое

ожида-

 

 

 

 

t

 

 

 

 

ние и учитывая, что

MO« J b2(v)dv < <х>, находим

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

К (t, и) = К (и, и) -f j а (V) К {и, о) dv.

 

(10.39)

 

 

 

 

 

U

 

 

 

Это и доказывает справедливость уравнения (10.38).

функции

В предположении указанной дифференцируемости

G (t,

и) продифференцируем по t левую

и правую части урав­

нения (10.25). Принимая во внимание (10.38), получаем

 

а (t)

К (t,

и) A(u) = G (t, t) А (t ) К (t, и) А (и) +

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

+

J — ■j f - 1- А (s) К (s, и) А (и) ds +

В2 (и).

 

(10.40)

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Но

согласно (10.25)

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

К (t, и) А ( и )= J

G (t> s) А ($) К (5, и) А (и) ds + G (t, и) В 2 (и)

G(t t) = -У.*А (Q

B2(t) •

Поэтому (10.40) преобразуется к следующему виду:

J{[aW - w

 

dG (/, s)

] G((' s)

dt

А (s) К (s, и) А {и) ds -f-

 

 

 

 

 

 

+

[a (t) -

Yt А 2

(<)

 

 

дG (t, и) ,

В2(1)

G (t , u ) ------ ^ —-[ В2 (и) = 0. (10.41)

 

 

 

 

 

§ 1] МЕТОД КАЛМАНА - БЬЮСИ 413

Отсюда ясно, что функция G (t, s), являющаяся решением урав­ нения

 

 

dG(t,s)

Г

/іЧ

ytA2(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

■[а (t)

B * ( t )

J G (t, s),

t ^

s,

 

c G (s, s) =

ys

 

удовлетворяет

и уравнению (10.41). Лемма

10.3

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

10.1.

Предположим

вначале, что та = 0

(Р-п. н.). Тогда

в

силу лемм

10.1 и 10.3

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

m =

f G(t, s) dls =

{ G (s, s) ф* dls =

q>‘

Г / - л - 1 B2(s) ■dL, (10.42)

 

о

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гУtrr,s\~ '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) dW2 (t),

поскольку ф]=Фо(фо)

*• Учитывая, что d%t= A (t) Ѳ, Л + ß

с помощью

формулы Ито из (10.42)

находим

 

 

 

 

,

^Фо

 

!

ysA(s)

 

 

 

 

y.A (t)

 

 

(10.43)

dmt =

i r

(фо)

B2(s)

d^s

d i

 

В 2 ( t )

d

 

Ho

 

 

L 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dФо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

dt

 

 

 

B2(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

t

1 v H

 

 

 

 

 

 

YtA\t)

 

 

 

с?Фо

 

( s )

 

 

 

a(t)

mt,

 

~df

(фоГ'

dls

 

 

B2(t)

что вместе

с (10.43)

приводит

(в

случае

дг0 =

0)

к уравнению

 

 

 

Г

 

Y, А2 (0

1

 

 

 

У* А(t)

 

 

 

 

dmt = [а (t) -----Щ dt

+

ß2 (f)- dlt,

 

 

 

совпадающему с искомым уравнением (10.10).

 

 

 

Пусть Р{/и0^= 0}> 0 .

Введем процесс

(0f, | г) 0 ^ . t

^ T , с

 

 

 

 

 

 

 

l a(s) d s

 

 

 

(10.44)

 

 

 

 

Ѳ( = Ѳ( — m0e°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

J а ( и) d u

 

 

 

 

 

 

 

 

Іг — m o J

A (s) e°

 

ds.

 

(10.45)

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѳо

ѳо

mo>

(10.46)

 

dQt =

a (t) Qtdt + b (t) d W x(t),

 

dlt = A (0 ѳ< dt + ß (1) сЛ^2 (Д

|o ~ ^o*

414

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

[ГЛ. 10

 

Обозначим mt =

М (б< | ^ГІ)

и yt =

М (О, — mtf .

Поскольку f0 =

£o> то в силу (10.45)

 

 

 

V ) = 5Г|,

0 < / < Т,

 

и, следовательно,

 

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

[

а (s) ds

J a (s) ds

rht = M (Ѳ* I

=

М (ѲП

— moe°

 

— mt— m0e°

(10.47)

Согласно доказанному

dmt =

a(t)

VtA2(t)

HZ/

 

 

B2(t)

 

Заметим, что

 

t

 

 

 

 

 

 

Ja(S)ds

Y/ = М(Ѳ,—mt)2=

M 0/ — m0e°

 

Y/Zl (0

 

 

~f~ 7ВЙ7Г 4<-

(10.48)

c

a (s) ds

M 2

I

J =

mt — m0e°

 

= M [®t — mt]2 = yt.

Поэтому (10.48) с учетом (10.45) и (10.47) можно переписать следующим образом:

t

a (s) ds

 

 

t

 

J

АҢ1)

ѵл

J

а (s) ds

dmt—m0a(t)e°

dt

 

 

ВЦі) . mt— m0e°

dt-\~

 

 

V (0

 

j

a (s) ds

 

+

d\t — m0A (t) e°

dt .

 

ВЦІ)

 

 

 

После простых преобразований отсюда получаем требуемое

уравнение (10.10)

для mt = М (О/ 15Г\).

М [Ѳ/ — mt]2. Обо­

Выведем теперь уравнение (10.11) для yt =

значим б/ =

Ѳ/ — mt. Из (10.1), (10.10)

и (10.2)

получим

dbt = a (t) бt dt + b (t) dW{ {t) -

у./!2(/)

y , A { t )

 

 

bt dt +

dW2 {t).

Отсюда с помощью формулы Ито находим

 

 

 

( г

„

t

 

Ѵ-Л?(5)

 

öz = öo + 2

a(s)

vH'(s)

 

 

ds +

B2(s) J 6s ds +

ö2(s) +

B2(s)

о

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 j

bsb (s) dWl (s) +

2 j

6s 1Y W ' d W 2 (s),

(10.49)

 

o

-

- d

 

 

 

§ П

 

 

Ме т о д к а л м а н а -

б ь ю с и

 

415

Замечая,

что

М6^ = yt

и

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

I

 

 

 

 

М I

bsb{s)dWl(s) = 0,

М j

t>sy^ - d W

2(s )^0 ,

 

 

О

 

 

 

О

 

 

 

 

из (10.49)

получаем

 

 

 

 

 

 

Y t = Yo +

2

a(s) —

yH ?(s)

ysds -f-

b2(s) -f

Yl A 2(s)

ds.

 

 

 

 

. В2(s)

 

 

 

B2 (s)

 

После очевидных упрощений это уравнение приводится к иско­ мому уравнению (10.11).

Докажем теперь заключительную часть теоремы, касаю­ щуюся единственности решения системы (10.10), (10.11).

Если решение уравнения Риккати (10.11) единственно, то

единственность

решения уравнения (10.10) следует из его ли­

нейности, что

доказывается аналогично теореме

4.10.

Установим единственность (в классе неотрицательных функ­

ций) решения уравнения (10.11).

этого урав­

Всякое неотрицательное решение уг, 0 < Х ^ Т ,

нения удовлетворяет, как нетрудно проверить, интегральному уравнению

 

 

J

а (s) ds

Yo

+ J exp

—2

Ja

(и) du

B2(s)

 

Y t = e x p

2

 

 

 

 

 

X

 

 

 

0

 

j

(

0

 

V

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

b2 (s)

vU 2(S)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

в силу (10.3)

и предположения МѲо < оо получаем

 

 

 

 

 

 

Yo + exp 12

[\a{u)\du \ j

b2(u)du

 

 

 

 

 

 

 

V o

 

 

Jo

 

 

где L — некоторая постоянная.

 

 

 

 

< L <

oo,

(10.50)

 

 

 

 

 

 

(10.11).

Пусть теперь Yi (t)

и y2(t)— Два решения уравнения

Положим Д(/)=ІѴіМ — Y2 (О I- Тогда согласно (10.11),

(10.50),

(10.3), (10.8)

 

и (10.9)

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д ( г ) <2

| { | а ( 5)| +

-^ Л 2 (s)}A(s)ds.

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда по лемме 4.11 вытекает,

 

что А(/) = 0.

 

 

Теорема

 

10.1 доказана.

 

 

 

 

 

 

 

416

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

[ГЛ. 10

5.

Метод

Калмана — Бьюси существенно

основывался на

возможности представления условных математических ожида­

ний mt — М (Ѳ* I

üFt) в виде

 

 

 

t

(1 0 .5 1 )

 

 

mt = J G (t, s)d%s

 

 

о

 

(мы предполагаем здесь и далее, что т0 = 0, а значит, в силу

(1 0 .5 ) М(Ѳ<| @~о) = 0). Однако в рассматриваемом случае, когда процесс (Ѳ, £) является гауссовским, условные математические ожидания mt могут быть представлены также в виде

t

т,= I F(t, s)dWs,

о

t

где

J F2(t, s)ds < оо,

а

процесс

W= {Wt,&~)),

О

 

 

о

 

и определяется

равенством

 

 

является винеровским

 

 

 

 

Wt =

Г

(s)

 

Г Л(5)

 

 

 

 

 

J В

 

J ß(s) m,ds

 

 

(см. теоремы 7.12, 7.16 и 7.17).

 

 

О

7\

Покажем, что вывод уравнения (10.10) для mt,

становится значительно проще,

если отправляться не от (10.51),

а от представлений (10.52).

 

 

 

 

 

 

 

Будем следовать схеме, принятой при

доказательстве

тео­

ремы

10.1.

t, 0 < * < 7 \

и пусть f(t,

 

 

 

Зафиксируем

s), 0 < s < / > — изме­

римая ограниченная функция.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

М (Qt - m

t) J

 

f{t, s)dWs = 0,

 

 

т. е.

(ср. с (10.27))

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

МѲ,

I fit,

s ) ^ r s =

| Fit, s)f(t, s)ds.

 

 

 

 

о

 

 

 

0

 

 

 

 

По определению

обновляющего

процесса

W ~ (W t,

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Wt = W 2{t) + j

-J^-(O s- m

s)ds,

 

 

0

Смотрите также файлы