1] МЕТОД КАЛМАНА - бЬЮСИ 417
и, |
значит, |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
J |
F (t, s) f (t , s) ds = |
M Ѳ, J f(t, |
s)dW2(s) |
+ |
о |
|
о |
|
|
|
|
|
+ M |
J f |
s) |
|
У ~ ms) |
|
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
J f ( ^ s ) - ^ j- M [ e ( (es ~ m s)]ds, |
|
|
|
|
|
0 |
|
где мы воспользовались тем, |
что в силу независимости про |
цессов Ѳ и W2 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
МѲ, J f (t, s) dU72 (s) = |
МѲ,М J f (t, |
s) dW2(s) = 0. |
|
о |
|
|
|
0 |
|
|
Далее, в силу (10.1) |
|
|
|
|
|
M (Ѳ/1&~s) — exp j |
J |
a («)*,} Qs |
(Р-п. и.). |
Поэтому |
|
|
|
|
|
МѲ, (Ѳ, - ms) = М {М (Ѳ,I Г 3) (Ѳ, - |
tns)} = |
|
=exp j J a (и) du j M0S [Ѳ,, — ms] =
—exp j J a (u) du j M [Ѳ* — msf = exp | J a (u) du j ys,
и, значит, |
|
|
|
t |
|
/(/, s) |
exp J |
a (и) du | ys ds. |
J F (t, s) f (t, s ) d s = J |
0 |
0 |
|
1 s |
1 |
Отсюда |
в силу произвольности |
функции /(/, |
s) получаем |
|
|
t |
W » \ , AA (s) |
|
n t . s ) ~ |
^ U a |
( s )
14 P. ІИ. Липдер, A. H. Ширяев
418 |
ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ |
[ГЛ. 10 |
Таким образом,
Отсюда по формуле Ито для mt, |
получаем уравне |
ние |
(10.10). |
|
|
|
|
|
§ 2. Мартингальный вывод уравнений |
|
|
|
линейной нестационарной фильтрации |
|
для |
1. |
Как уже |
отмечалось в § |
1, уравнения (10.10) |
и (10.11) |
mt и yt могут |
быть выведены |
из общих уравнений |
филь |
трации, полученных в восьмой главе. Приведем этот вывод, что послужит также конкретным примером использования общих уравнений.
Будем использовать понятия и обозначения, использован ные при доказательстве теоремы 10.1. Положим также
Gt = a {to: Ѳ0 (со), go И ; r,(s ), Г 2(х), 0 < ^ < Г ,
ф* = exp ^ J а (и) du^ .
Тогда в силу (10.5)
— Фо \ Qo+ \ t â T ' b(s)dWl (s)Y
где процесс |
0 = (0/; |
Gt), 0 ^ |
t < |
T, c |
|
|
|
t |
|
|
|
|
ë ,- O o - k f |
(Ф оГ'гФ М іМ я) |
(10.53) |
|
|
о |
|
|
|
является квадратично интегрируемым мартингалом. |
|
Выведем |
сейчас |
уравнения |
для fht = М (Ѳ^ 1 и |
yt — |
= М (Ѳ, - mt)2, из которых легко затем будут найдены и урав нения для
Я** — Ф$ОТ4> Ѵ / = ^ ( Ф о ) 2 Ѵ г |
(10.54) |
§ 2] |
|
МАРТИНГАЛЬНЫИ ВЫВОД |
|
419 |
|
|
|
|
|
В силу |
(10.53) |
(Ѳ, |
W2)t = 0 (Р-п. н.), 0 < / < 7 \ |
Поэтому |
согласно общему |
уравнению фильтрации (8.9) для nt (Ѳ) == |
= М (Ѳ/ I &~)) |
{— mi) |
получаем |
|
|
эт, (Ѳ) = |
зт0 (Ѳ) + |
|
ns (в2) Фо5Л (д) - (я, (Ö)f ф(\A (s) (- |
(10.55) |
|
B(s) |
dWs, |
|
|
|
|
|
где щ (Ѳ2) = |
M (Ѳ21£ І ) |
и |
|
|
dis — А (s) ms ds
В (s)
является винеровским процессом (относительно (^ |), Заметим, что
(О2) фоЛ (s) — (я5 (Ѳ))2 ф(|Л (5) = |
|
|
|
|
|
= ФоЛ (s) \ns(Ѳ2) — (я, (Ѳ))2] = |
ф0М (s) М [(Ѳв — msf \ Г*}. |
(10.56) |
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М К |
« |
, -)2*1^ . Ц |
= |
М |
[ Ѳ , |
- Й (=,ѵГ,). |
(10.57) |
Пусть |
@~1,п— о-алгебры, |
введенные |
при доказательстве |
леммы |
10.1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т\ = |
М (Ѳ, I SF\' „), |
|
у<"> = М (Ѳв - |
|
Из |
теоремы |
о |
нормальной |
корреляции (гл. 13) |
следует, |
что Р-п. н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М[(Ѳ, - m f ) 2 j У 6 |
я] = |
М [Ѳ, - |
m‘» f. |
(10.58) |
Воспользуемся этим фактом для доказательства равенства |
М[(Ѳ* — OTs)2| ^ І ] = |
М [0*— msf |
(Р-п. н.), из которого очевид |
ным образом будет следовать и (10.57). |
|
|
В силу теоремы |
1.5 и (10.58) |
|
|
|
м[(0.- |
“.УI <Н]= м (Ч I <Н)- |
< = |
|
|
= lim М (ѳ; I Г J „) - lim (m »f = lim М [(0,—m<«f\ Г |, „| = |
п |
|
|
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
= |
limM[0s — m ^ f = lim у^. |
(10.59) |
С другой стороны, |
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ys = М (Ѳ, - |
msf = M f(0. - |
mW) + (m™ — ms)]2 = |
|
|
|
= |
y(sn>+ M (m[n) — msf |
-f 2M (0S — m[n)) (m[n) — ms), |
420 ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ [ГЛ. 10
и, следовательно, |
согласно доказательству леммы 10.1 |
I ys— I ^ М (т™ — ms)2 + 2 |
Ѵ^М (0S — msn)y( |
M (m(sn) — ms)2 ^ |
M (msn)( |
— тау + 2 |
V МѲ2М |
— mä)2 -> 0, n -> oo. |
Вместе c (10.59) это доказывает равенство |
|
M [ ( 0 s — |
nisf\&~l] = |
M [0 S — |
rrisf, |
P -п. H ., |
азначит, и равенство (10.57).
Сучетом (10.57) и (10.54) правая часть в (10.56) переписы
вается так:
|
|
|
\2 I /17-11 |
|
|
|
- • - / |
сх -1 |
|
ФоЛ (s) М |(Ѳв — fhs) I 0",| = |
|
ФоЛ (s) у (0 = A (s) уs \ T'o) |
Поэтому согласно (10.55) |
|
|
у, -— |
|
|
|
|
|
A (t)I |
|
|
|
|
|
; |
|
w |
’ L AW. |
|
(10.60) |
|
|
|
dmt — — |
|
r dW,. |
|
|
|
|
5 |
( 0 |
Фо |
|
|
Применяя теперь |
формулу |
Ито к произведению |
— |
получаем уравнение |
(10.10): |
|
|
|
|
|
dm, |
гіфо |
уИ (0 |
|
|
|
VtA (0 |
dWt = |
d t |
dt + - B j i T dWt == a{t) (^thtjdt + |
-ß ^ |
|
|
|
|
|
|
(0 |
|
у A (t)
=a if) mt dt + -ßTjif (dlt — A (t) mt dt).
2.Чтобы из (8.9) вывести уравнение (10.11), заметим, что согласно (10.53)
|
|
t |
|
|
t |
|
|
Ѳ? = Ѳ®+ |
2 J Ѳ5 (ф50) ' ! Ь (s) dW, (s) + J b2 (s) (ф50)-2 ds. |
|
Поэтому в силу (8.9) |
|
|
|
|
|
Щ(Ѳ2) = л0 (Ѳ2) + |
Jt b2 (s) (фо) |
2 ds + |
|
|
|
|
|
|
А (s) ф£ |
М[ѳ2(Os — ms) Ig~l\dWs. |
|
|
+ |
5 (0 |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку процесс (0S, £s), |
0 ^ s |
T, |
гауссовский, то |
|
Значит, |
t |
|
t |
|
|
|
|
|
А (s) Фо _ |
|
Щ(Ѳ2) = л0 (Ѳ2) + |
Ь2 (s) (фо) |
2 ds -f |
2 |
|
5 ( 0 |
tnsys dWs. (10.61) |
