Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 304
Скачиваний: 0
§ 3] |
УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |
(МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ) |
421 |
||||||
Из (10.60) и (10.61) получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
dyt = |
d \щ (Ѳ2) — (m,)21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л (0^ |
|
|
Ajt)yt |
dWr |
|
|
|
= />2(/)(фо) 2dt + 2 ~ ^ - m ^ tdWr-2fh, |
|
в mV |
|||||||
|
|
B{t) |
|
' BUWo |
|
||||
|
|
|
= |
ö2(0 (^ ) 2d t - § ^ ( y l ) 2~2dt. |
|||||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
Yt' |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
dyt = |
(ф£)2 dyt + |
2 (ф*)2 yta (t) dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= & ( 0 dt — |
(Фо)4y |
2t dt + |
|
a2 (t) y t (Ф*)2dt = |
|
|||
|
|
|
= b2(t) dt — |
Y\ dt + 2a (t) yt dt, |
|||||
что совпадает с искомым уравнением (10.11). |
|
можно было |
|||||||
3. |
З а м е ч а н и е . Уравнения |
(10.10) |
и (10.11) |
||||||
вывести из уравнений для (Ѳ„ |
g,) |
и |
без |
введения |
процесса |
||||
(0*, It)>0 < / < 7 \ |
Однако тогда, |
например, |
пришлось бы заме- |
||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
нить |
предположение |
J | а(/) Jüf/< оо |
более ограничительным |
||||||
|
т |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условием J а2 (/) с//< |
оо. |
|
|
|
|
|
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Уравнения линейной нестационарной фильтрации. Многомерный случай
1. В настоящем параграфе будет дано обобщение тео ремы 10.1 в двух направлениях: во-первых, в коэффициенты сноса, входящие в систему (10.1), (10.2), будут введены слагае мые, линейно зависящие от наблюдаемой компоненты g,; во-вто рых, будут рассматриваться многомерные процессы Ѳ, и g,.
Итак, |
пусть рассматривается |
k + /-мерный гауссовский слу |
||||||
чайный процесс |
(Ѳ„ It) = |
[(Ѳ, (/).......... |
Ѳ* (0), |
(Si (0. |
li (0)]> |
|||
0 < / < 7 \ |
c |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
[a0 ( 0 + |
|
|
|
|
|
|
|
d$t = |
a\ (t) Ѳ/ + |
<h (t) Ы d t + ^ b i (t) dWt (/), |
(10.62) |
|||||
|
|
|
|
|
|
г=і |
|
|
dlt = |
[A0 (t) + |
Ai 01) Ѳ, + |
A2(t) lt) d t + ^ B i |
(t) dWt it). |
(10.63) |
|||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
В (10.62) и (10.63) 1Гі=[Г„(/), |
..., |
Wlk(t)], |
W2=[Wat(t), |
W2lif)\- |
||||
два независимых |
винеровских |
процесса. Гауссовский |
вектор |
|||||
422 |
ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ |
[ГЛ. 10 |
начальных значений Ѳ0, | 0 предполагается не зависящим от про
цессов W1 и W2. Измеримые (детерминированные) вектор-функ ции
do Ю— [% (0. |
•••> |
«oft (01, |
А |
(t) — [Л01 (t), |
Aqi (^)] |
|||||||||
и матрицы *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
o , w = K ( 0 | №xft). |
|
|
|
|
|
lU o ’ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л і (0 |
=11 |
|
|
A2(t)=\A?j(t)\lxl)> |
|
|||||||
|
|
Ьі (0=11 МУа) ІЦЖЙ), |
Ы 0 = І І bfi (t)\ikxly |
|
||||||||||
|
|
ВЛі)М \вУ (і)\\1хк? |
5 2(0 = |
|M2/(0 lax/) |
|
|||||||||
предполагаются обладающими следующими свойствами: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Т |
р к |
|
|
I |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
J |
^ |
I аоі (t) I + |
2 |
(А / (О)2 |
< оо, |
(10.64) |
||||
|
|
|
|
о L>=i |
|
|
і=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
г k |
к |
|
k |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
Li=i i=i |
|
i=i i—i |
|
\аи w i |
d t <°°> |
(10.65) |
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
J [ i iUi? m f + S £ US' w)2]d t < |
(10.66) |
|||||||||||
г ft |
ft |
о L/==i /=i |
|
|
i=i/=i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
£ |
w y (o)2+ |
i |
i |
(&sy (o)2+ |
i |
s |
а д |
(о)2+ |
|
||||
.1=11=1 |
|
|
|
i=l 1=1 |
I |
1=11=1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
dt < oo; |
(10.67) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
£ |
£ |
( m 2/ w )2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 i=1 |
|
|
|
|
||
npw всех |
f, 0 < K 7 , |
|
матрицы Bx(t)B\(t) + B2{t)B2(t) |
равно |
||||||||||
мерно невырождены, т. e. наименьшие собственные значения
матриц |
В\ (t)B\{t) + B2(t)B2(t), 0 |
равномерно |
по |
t |
больше |
нуля**). |
|
|
|
Согласно теореме 4.10 система уравнений (10.62), (10.63) |
||||
имеет единственное непрерывное решение. |
|
|
|
|
*) Индексы (pX.q) указывают порядок матриц |
(первый индекс, р, — |
|||
число строк, второй, q, — число столбцов). |
|
|
|
|
**) Можно показать, что при этом элементы (ßj(<) |
-\-В2 (t) в \ |
(<)) |
» |
|
Q - ^ t ^ T , |
равномерно ограничены. |
|
|
|
§ 3] |
|
УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ) |
423 |
||||||||||
Пусть mt = |
М (Ѳ, I &~t) — вектор |
условных |
математических |
||||||||||
ожиданий, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
К ( 0 ........ mk(f)] = [M(0,(01^?), . ... |
М(Ѳ*(/)|0І)], |
|
||||||||||
llYi/(^)|l(Axfe)= Y/ — матрица ковариаций |
с |
|
|
|
|
||||||||
|
|
У„(0 = |
М [(Ѳ, ( t ) - m t (t)) (в, (t) - |
т, (/))]. |
|
|
|||||||
Вектор mt = |
[mi{t), . . . , |
mk(t)\ является, очевидно, ^ -и з м е |
|||||||||||
римой |
оценкой |
вектора |
Ѳ#= (Ѳх(/), . . . , Qk (t)), оптимальной |
||||||||||
в том |
смысле, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Sp yt ^ |
2 Уц (t) < |
Sp М [(О, - |
ѵ,) (Ѳ( - vty] |
(10.68) |
|||||||
для |
любого |
^-измеримого |
вектора |
ѵ, — [ѵ, (/), |
. . . , |
ѵА(/)] |
|||||||
k |
Mvf (t) < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с 2 |
с». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
<=і |
|
|
|
|
|
|
|
£,), |
0 ^ t ^ |
Т, |
компоненты |
||
В силу гауссовости процесса (Ѳ,, |
|||||||||||||
вектора mt линейнйм образом зависят от наблюдаемых значе ний io = {is, (см. далее (10.73)). Поэтому оптимальная
(в смысле (10.68)) фильтрация (значений О, по |$) является линейной, но, вообще говоря, нестационарной. Как и для си стемы (10.1), (10.2), в рассматриваемом случае также можно получить замкнутую систему уравнений для mt и у\, опреде ляющих, как принято говорить, оптимальный фильтр.
2.Начнем с одного частного случая системы (10.62), (10.63),
являющегося |
|
многомерным аналогом системы (10.1), (10.2). |
|||||||
Т е о р е м а |
|
10.2. Пусть k - \ - 1-мерный |
гауссовский процесс |
||||||
(ѳ„ а |
о ^ t ^ |
Т, допускает дифференциалы |
|
|
|||||
|
|
|
|
dQt = |
a(t)btdt + b(t)dWx(t), |
(10.69) |
|||
|
|
|
|
dlt = A{l)Qtdt + B {t)dW 2(t) |
(10.70) |
||||
(г. е. |
пусть |
в |
(10.62), |
(10.63) а0(0 — 0, |
А)(0 — 0, |
a{{t) = |
a(t)> |
||
Ay{t) = |
A{t), |
a2(t) = 0, |
A2{t) = 0, |
= 0, |
ß ,(0 = 0, |
bl (t) = |
b{t). |
||
Ba(t) = |
B(t)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда mt и yt являются решениями системы уравнений |
|
||||||||
dmt = |
а (/) mt dt + ytA* (t) (B (t) В* (t))~l (.d l - А (t) mt dt), (10.71) |
||||||||
Y t = а ( 0 |
Y t + Y |
t f l * (О-ѴИ* ( 0 (ß ( 0 ß * (О)“ ' А (t) yt + b (t) b' (t) (10.72) |
|||||||
сначальными условиями
«0 = м (Ѳ01Іо). Yo = м [(Ѳ0 — mо) (Ѳ0 — т 0)*].
424 |
ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ |
[ГЛ. 10 |
|||||||
Система уравнений (10.71) и (10.72) |
имеет единственное реше |
||||||||
ние (для уt в классе |
симметрических |
неотрицательно опреде |
|||||||
ленных |
матриц). |
|
При |
£ = |
/ = 1 |
(10.71), (10.72) совпа |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||||
дают с уравнениями |
(10.10), |
(10.11), |
справедливость |
которых |
|||||
установлена в теореме 10.1. |
|
|
|
для вывода этих урав |
|||||
Метод Калмана — Бьюси применим |
|||||||||
нений |
и в общем случае k ^ \ , |
1. |
10.1, |
сначала |
показы |
||||
Как и при доказательстве теоремы |
|||||||||
вается, |
что (в случае |
mQ= 0) для каждого t, |
0 ^ . t ^ . T , |
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
mt= \ |
G{t, s)dls |
|
(10.73) |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
с детерминированной |
матрицей G(t, |
s) |
(порядка (& X 0).изме |
||||||
римой |
no s и такой, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
S p J G (t, s) G*(t, |
s)ds < o o , |
|
( 1 0 . 7 4 ) |
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sp J G(t, |
s)B(s)B* (s) G*(t, |
s)ds'< |
o o . |
(10.75) |
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее |
устанавливается, что |
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
G(t, Sy=q>lG(s, |
s), |
|
(10.76) |
||||
G (s, |
s) = |
у,Л* (s) (В (s) B* (s))-\ |
|
(10.77) |
|||||
|
|
||||||||
а матрица ф* является решением дифференциального уравнения
^ |
= |
|
|
Ф; = |
О078) |
|
Поэтому mt допускает |
представление |
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Ѣ = |
< J (ФЗГ1ѴИ* (s) (ß (s) В* («))“ ' dls, |
(10.79) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
из |
которого |
(в |
случае |
пг0 — 0) выводится уравнение |
(10.71). |
|
£ = |
Случай |
т0фО (Р-п. н.) разбирается так же, как |
и при |
|||
/ = |
1. |
|
|
|
Ѳ, — mt |
|
|
Для получения уравнения (10.72) вводится вектор 6, = |
|||||
и затем для btb\ с помощью формулы Ито находится интеграль ное представление, аналогичное (10.49). Беря затем математи ческое ожидание, получаем (интегральное) уравнение, эквива лентное уравнению (10.72).
§ 31 УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ) 425
Единственность решения системы (10.71) и (10.72) доказы вается, как и в скалярном случае. Заметим лишь, что вместо оценки (10.50) следует воспользоваться оценкой
0 < S PY, <
|
|
Yo + J (Фо) |
1b ( |
b' |
(s) [(Фо) |
ds I (Фо)* |
|
|||
где L — некоторая |
постоянная, |
а Фо — фундаментальная мат |
||||||||
рица, являющаяся |
решением s)матричного ']уравнения < L < оо, |
|||||||||
|
|
doi |
|
t |
n |
E(iiXk)- |
|
|
||
|
|
~~df~a{t) Фо, |
Фо = |
|
|
|||||
3. |
Перейдем теперь к рассмотрению общего |
случая. |
|
|||||||
Будем использовать следующие обозначения: |
|
|||||||||
|
|
(bob) (t) = |
ft, (t) b\ (t) + |
b2 (t) b'2 (t), |
|
|
||||
|
|
(b о В) (t) = |
ft, (t) B\ (t) + |
b2 (t) Bt (t), |
|
(10.80) |
||||
|
|
(BoB)(t) = Bl (t)B\(t) + B2(t)BUt). |
|
|||||||
Т ео р е м а |
10.3. Пусть коэффициенты системы (10.62), |
(10.63) |
||||||||
удовлетворяют условиям |
п. |
1. |
Тогда вектор mt и матрица Y/ |
|||||||
являются решениями системы уравнений |
|
|
|
|||||||
dm, = [а0 (0 -f |
а, (t) mt + а2 (t) \t\dt + |
|
|
|
|
|||||
|
|
+ [(b о В) (t) + ъА \ (/)] ((В о В) (/))-' X |
|
|||||||
|
|
X [dlt - |
(Л0 (t) + A (t) mt + |
A2 (t) lt) dt], |
(10.81) |
|||||
Y, = |
а, (t) у, + |
Yta*i( 0 — |
|
|
|
оВ) ( 0 |
+ |
t AYi ( 0 Г+ |
|
|
- |
[(bо В) (t ) |
+ Ъ А \ (01 ((В о В) (t))~l [(ft |
bob(t) |
|||||||
с начальными условиями гп0= М(Ѳ0|£0) и |
|
|
|
|||||||
Yo = IIYц (0) II, Yi, (0) = |
M [(Ѳ, (0) - mt (0)) (Ѳ, (0) - m , (0))*]. |
|||||||||
Система (10.81), |
(10.82) имеет единственное решение |
(для yt |
||||||||
в классе симметрических неотрицательно определенных матриц).
Для доказательства понадобится следующая лемма.
Л е м м а 10.4. Пусть W = ( [Wx (t) , ..., WN(t)],Pt), 0
N-мерный винеровский процесс, B = (Bt, |
t) — матричный слу |
||
чайный процесс, где Bt — \\Bij(t)\\{nXN), и |
Р-п. н. |
||
т |
|
оо. |
(10.83) |
Sp о |
< |
||
J B ß ld t |
|
||
