Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 301

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

426 ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ [ГЛ. 10

Пусть матричный процесс D

= (Dt, SFt), Dt — \\ Dtj (/) ||(nXft), таков,

что для почти всех t, 0 ^ . 1

^ . Т , Р-п.

н.

Dtm = BtBu

(10.84)

Тогда *) найдется k-мерный винеровский процесс W — ([W: (і), ...

Wk (/)], t) такой, что для

каждого t, Q ^ . t ^ . T ,

Р-п. н.

t

t

 

J Bs dWs =

J Ds dWs.

(10.85)

оо

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть исходное вероятностное про­ странство столь «богато», что на нем существует ^-мерный

винеровский

процесс

Z =

{zt,

t),

 

не зависящий

от

винеровского процесса

W.

Положим

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Wt = J D tBsdWs +

J (E -

D fD s)dzs,

(10.86)

 

 

 

о

 

 

 

0

 

 

 

 

где E — единичная

матрица

порядка

(k X k),

a D t — псевдо­

обратная матрица к Ds (гл.

13,

§ 1).

 

 

 

 

Процесс

W = {WS,

 

0 ^ - t ^ . T ,

является винеровским,

поскольку в силу теоремы 4.2

он — (векторный)

квадратично

интегрируемый мартингал

с

непрерывными

траекториями

и

м Wt - Ws) (Wt -

w8yi

 

 

г t

 

 

 

 

=

M

J D tBuB l(D tT du I T s +

 

Г

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ M

J (£ -

DtDu) (E - DtDuy du I T s

E(t — s)

(P-п. H .),

где последнее равенство справедливо потому, что

D tB u B t{ D ty = D tD uDu{Dty = DtDu{DtDuy = {DtDuf = D t D a,

а

(Е - DtDu) (Е - DtD uy = { Е - D tD uf = Е -

(см. гл. 13, § 1, п. 3).

*) Предполагается также, что исходное вероятностное пространство достаточно «богато».

§ 3]

УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)

427

 

 

Установим теперь справедливость равенства (10.85). По­

скольку

DS{E — DtDs) = Ds — DsDtDs = 0

(Р-п. н.), то в силу

( 10. 86)

 

t

t

 

3

 

 

 

 

 

I

D„ dWs=

J DsDtBs dWs

(Р-п. h).

Далее,

о

 

0

 

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

J DsDtBs dWs =

J BsdWs -

J (£ -

DsDt) BsdWs.

 

о

 

о

0

 

Положим xt =

J [В ~ D tD s] BsdWs. Тогда

 

 

t

о

 

 

 

 

 

 

 

 

m tx) =

M J (E - DsDt) BsB*s(E — DsDty ds =

 

о

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

=

M J {E — DsDt) DsD*s(E — DsDt)* ds = 0,

 

 

 

0

 

 

поскольку (E — DsDt) Ds = 0. Следовательно, xt= 0 (Р-п. н.), и ,

значит,

t

t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

J Ds dWs=

j

DsD tB sdWs= j

BsdWs.

 

 

0

0

 

 

0

 

 

Лемма доказана.

т е о р е м ы 10.3.

Покажем,

что най-

Д о к а з а т е л ь с т в о

дется такая

блочная матрица

 

 

 

 

 

 

 

/4 (0

d2(0\

 

 

 

 

 

\ 0

D2(t)J

 

 

размеры блоков которой

совпадают с размерами соответствую

щих блоков

матрицы

 

( Ь х (0

Ь 2 (0 \

 

 

 

,

_

 

 

и при этом

7“

U ( 0

B2{t)l

 

 

 

DtD*t =

BtBt.

 

 

(10.87)

 

 

 

 

Ясно, что (10.87) эквивалентно системе матричных уравнений

 

dx {t)d]{t) +

d2(t)dW) =

(b°b)(t),

 

 

 

 

<0(0 D*2(t) =

(boB) (0,

( 10.88)

Dz(t) Dl(t) = (BoB)(t).

428

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

[ГЛ. 10

Матрицы

Dt, 0 ^ - t ^ T , с требуемыми свойствами

строятся

следующим образом. Положим (опуская для простоты индекс t)

 

 

 

 

 

 

D2 = DI = {BoB)1'2.

 

 

(10.89)

Тогда,

поскольку

матрица В ° В

не

вырождена,

из

второго

равенства

в (10.88)

получаем

 

 

 

 

 

Далее,

 

 

 

 

d2 = {boB){BoB)-{12.

 

 

(10.90)

 

 

did* = (b°b) — {boB)(B° В Г 1(b о В)\

 

 

(10.91)

 

 

 

 

 

 

По лемме

13.2 матрица

(Ь ° Ь) — (Ь ° В) (В ° В)~1(Ь ° В)

является

неотрицательно

определенной, и

в качестве d x

можно

взять

матрицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

di =

d\ = {(b ob)— {bo В) (В о В Г 1(Ь о В)*\Щ.

 

(10.92)

Итак, блочная

матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dt =

di ІО

d2(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

D2{t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обладающая

свойством (10.87), построена. '

(10.63)

имеет

По лемме

10.4 для системы уравнений (10.62),

место также

представление

 

 

 

 

 

dQt =

[flo(/)+fli (/)0t+fl2 it) l t \ d t + d x( t ) d W i ( t ) + d 2( t ) d W 2(t),

(10.93)

dh =

[Ao Ю +

Л, (t) Ѳ, +

A2 (t) Ы dt + D 2 {t) dW2 {t),

 

 

(10.94)

где

Wi

и

W2— новые

 

винеровские

процессы,

независимые

между собой.

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < Д < 7 \

Определим теперь случайный процесс v — {yt,

 

являющийся решением линейного стохастического дифферен­ циального уравнения

dvt = {[«о (0 — ^2 W D2 1(*) Ао(О] + [«1 (t)—d2 (t) D~l (t) Ai (*)] v, +

+ [a2{t) - d 2{ t) D - \t) A 2{t)\lt\ d t + d 2{t)D;l {t)div v0= 0 . (10.95)

В силу сделанных в п. 1 предположений, формул (10.89), (10.90) и (10.92) и замечания к теореме 4.10 уравнение (10.95) имеет, и притом единственное, непрерывное решение ѵ = (yt, tFf).

Положим

t

Ѳ< = Ѳ, — ѵ„ It = It — J [Л0 (s) + Ai (s) vs + A2 (s) У ds. (10.96)

о

§ 3]

УРАВНЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИИ (МНОГОМЕРНЫЙ

СЛУЧАЙ)

429

В силу (10.94)

и невырожденности

матриц D2{t)

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W2 (t) =

J Б ; ' (s ) [dgs -

(A0 (s) + A{(s) 0s +

A2 (s ) у ds]

(10.97)

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cp. с доказательством теоремы 5.12).

 

 

 

 

Из

(10.95) — (10.97) находим

 

 

 

 

 

dQt =

fa, (0 — d2 {t) DJ' (t) Ay (0l 0t di +

dy (t) dWy (t),

(10.98)

 

d\t =

At (/) 0, dt + D2 it) dW2 (t).

 

 

 

 

(10.99)

Из

построения

процесса

| = (|<), 0 < ^ < Г

(см.

(10.96)),

следует, что

9~\ э

9~\.

Покажем,

что

в

действительности

a-алгебры

$Г\

и

 

совпадают при

всех t,

0 < n s ^ 7 \

 

Для доказательства рассмотрим линейную систему уравнений

d%t — [А0 (t) +

Ay (t) vt +

А2 (t) Id dt + d%t,

go =

SQ,

(10.100)

dvt =

f«o( 0

+ ay( 0

v( + a 2 ( 0 £<]dt + d2 (t) D~l (t) d\t, vo= 0, (10.101)

получающуюся из (10.95), (10.96).

У этой линейной системы уравнений существует, и притом единственное, сильное решение (см. теорему 4.10 и замечание

к ней), что влечет за

собой

включение 9Г\ З’ .ѲГ\, О ^ И ^ Г .

Там самым,

=

0 < ^

^ Г , и

'й, = М (Ѳ,[;Г!)=М (Ѳ1|Г «).

Поэтому

mt = М (0t | У |) = М [Ѳ, + v( I T \ \ = tht + vt (10.102)

и

Qt — fht — (Ѳ, — vt) — {mt — vt) = Ѳ, — mf.

Отсюда

— (10.103)

Согласно теореме 10.3

dmt — [a, (t) — d2(t) D2 }(t) A{(^)| mt dt +

 

+ y X

((0D 2 (t) D \ (t))"‘ (d\t -

Al (t) m t dt),

(10.104)

= [a, V ) - d2(0D 2 X(0A (0] Yt + Yt [a, W~ d2(0

(0A (*)]’ -

 

- y tA\(t){D2(t)D'2(t))~{ A {{t)yt + d x{t)d\if).

(10.105)

Отсюда

с учетом

того, что m , = rht -\- v t

и y t — y t,

после про­

стых преобразований приходим к искомым уравнениям

(10.81)

и (10.82)

для Щ( и y t.

 

 

 

Смотрите также файлы