Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл (19,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 298

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

430	ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 10
430

Единственность решения уравнения (10.82) следует из спра ведливости аналогичного факта для уравнения (10.105) и тео ремы 10.2. Единственность решения уравнения (10.81) вытекает из его линейности, теоремы 4.10 и замечания к ней.

§ 4.	Уравнения для почти оптимального					линейного фильтра
		в случае вырождения матриц Во В
1.	Снова	рассмотрим	k + /-мерный			гауссовский процесс
(Ѳ„ It) = [(0, (0, • •., Ѳ* (і)),			(£, (/), . . . , h		(/))],	0 < t <	Т, описывае
мый уравнениями (10.62), (10.63).					(ß ° В) (t) =		В\ (t) В\ (t) -f-
Предположим теперь,			что	матрицы
Bi(t) Blit)		вырождаются*).		В этом случае уравнения (10.81),

(10.82), с помощью которых определялись условное математи

ческое ожидание		=	и матрица	yt = М [(Ѳ, —	X
Х(Ѳ, — rn,Y\ в		случае	положительно определенных матриц
(ß о В) (і),	теряют	смысл,	поскольку входящая в правую		часть
этих уравнений матрица [(ß°ß)(^)]-1 не существует.
Если	коэффициенты		уравнений (10.62),	(10.63) разрывны,

то пг, и у/ ПРИ вырожденных матрицах (B°B)(t) не обязательно непрерывные функции времени и, следовательно, они не опре деляются уравнениями типа (10.81), (10.82).

В ряде частных случаев можно вывести уравнения для mt и yt при вырожденных матрицах (Boß)(t) (например, когда коэффициенты уравнений (10.62), (10.63) являются постоянными или достаточно гладкими функциями времени).

С прикладной точки зрения эти уравнения для mt и yt при вырождении (BoB)(t) не представляют ценности, потому что, как правило, содержат производные по времени от реализаций компонент наблюдаемого процесса или же от их линейных комбинаций**), которые нельзя вычислить без больших по

грешностей в реальной ситуации.						процессы nft
Ниже	для	каждого	е Ф 0	будут построены
и у?>		которые	в определенном		смысле	близки к mt
и yt. Эти	процессы определяются из уравнений типа (10.81)
и (10.82)	для	неотрицательно		определенных матриц (B°B)(t),
0 < / < 7 \	и	задают фильтр,		который,	следуя терминологии,

принятой у специалистов по некорректным задачам, можно

было	бы назвать «регуляризованным» фильтром.
2.	Пусть а2(/) = 0, А2 (t) = 0.		Наряду с	процессами Of,
введем процесс £8 ==		0 ^ t ^ Т, с
	l) =	l t + t W t,	8^=0,	(10.106)

*) Этот случай возникает, напрчмер, в задачах линейной фильтрации стационарных процессов дробно-рациональным спектром (§ 3 гл. 15).

**) См. [43], [ПО], [172].

§ 4]

ПОЧТИ ОПТИМАЛЬНЫЙ

ФИЛЬТР

431

где

Wt = \W\І0,

•••.

^ііО],

f < 7 \ — винеровский

процесс,

не

зависящий от (Ѳ0, | 0)

и процессов Wu W2.

Поскольку а2(/) =

О, Л2(0 = 0, то из (10.61), (10.62) и (10.106)

следует, что процесс (О,,

O ^ t ^ T ,

удовлетворяет системе

уравнений

dQt =

[а0 it) +

а, (1) Ѳ,] df +

Ьхit) dW, it) -f b2 (t) dW2 it),

(10.107)

dl] =

[ A 0 it) +

A i it) 0t] + B, (t) dW{ (t) +

B2 it) dW2 it) +

sdWt,

решаемых при начальных условиях Ѳ0 и ?о = Io-

(10.108)

Обозначим н®= М (в; I T f ) , у] =

М [(Ѳ, — /г®) (Ѳ, — nf) *].

По

лемме

10.4 и теореме

10.3 п®и у] определяются из уравнений

dn® =

[а0 it) + а, it) /г®] dt +

+ [(* ° В (0+ѵМ І W] [(5 о В) it) + е2Е Г '

\dft- { A , (/)+Л, it) /ф dt],

Y? — a \(0 Y? + YK it) +

ib°b) it) —

(10.109)

[(* о В) it) + у\A\

(/)] [(В о В) it) +

e2£]_I [ib ° В) Ц) +

y»tA\

І Ю Л Ю )

пе =

т о=М (Ѳ 0| | 0),

Yo= Yo = M[(00- / n 0)(00 — m0)*],

где

E = E(ixi) — единичная

матрица.

Зададим процессы А?=А®(|), А? =

At (IF), О ^ / ^ Г ,

с А/ =

==[Аі (0 ........ А| (/)], А/ =

[А?(/), .... А* (О] с помощью следую

щих дифференциальных уравнений:

d%t== \&о it) -f- ßi it) А;] dt -f-

+ [(* ° В) it) + у]А\ (0] l(ß ° В) (/)+ е 2^ ]“ 1

—(Л0(0-h-41(0

dt],

А1 =

т0,

(ЮЛИ)

dA/ =

öi it) А? dt +

[ib о В) it) +

y]A] it)] [(В о В) it) +

вгЕ\~' [е dWt -

АхЦ) А*dt],

Ао = 0.

(10.112)

Нетрудно проверить, в силу (10.108),

(10.111) и (10.112),

что

для

каждого O s^ H ^ r

л? =

„?(£*)= A?(É) +

A?(IF).

(10.113)

Определим матрицу ö®=

[|öf/ (0|l(fe x k) = Nl[(0t — А*)(Ѳ/ — At) j.

432		ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ				[ГЛ. 10
Л е м м а		10.5.	Пусть	выполнены	условия (10.64) — (10.67).
Тогда для		любого	t, O ^ t ^ T ,
1)	МЯ,‘ =МѲ<,
2)	Y „ ( 0 < 6^.(0 < Y h (0,			*■=!> ....	k,
3)	Y* = lim6® =		lim Y#>
	e-»0		e->-0

4) lim M [тД О — X) (Of — 0, i = 1, . ... k.

E->0

Имеем

(см.

10.106):

(s) =

| г (s)-f-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

+ e#'i (s). Для каждого

M [g£(s) J

является

оптималь

ной, в среднеквадратическом смысле,

оценкой

для

| {(s) по

{|„, 0 < ы < ф

Поэтому

М % (s) -

М (I,

(s) I F f ) ] 2< М [ |f (s) -

(s)]2 =

е2М ( # t (s)f = e2s -> 0,

е-*0.

Отсюда нетрудно вывести, что для всякой случайной вели

чины е . являющейся линейной

функцией

от L , L ,

. ... |

іп

Далее,

если последовательность

(еп,

п — 1,

2, . . . )

случайных

величин

еп, определенных выше, имеет

предел

среднем

квадратическом

(е = l.i.m. еп),

то

ПшМ \ е — M (e|5r f ) l 2 =

(10.114)

е - м )

/ J

поскольку

М [е — М (е I P f ) ] 2<

< 3 (М [е -

e„Y + М Р„ -

М (е. | S™')]2 +

М [М {е

e ^ f ) f ) «

< 6М [е -

e,Y +

ЗМ [*„ -

М (е„ I ГГ)]'.

и, следовательно,

lim М [е — М (е I ^*f)]2 ^

6М \е — еп]2 -»0,

п-> оо.

Заметим теперь, что компоненты mi(t),

і =

1, . . . ,

k, слу

чайного

вектора mt =

М (Ѳ, |

являются пределом

в среднем

квадратическом последовательности случайных величин типа еп,

п =	1, 2, ...	Действительно, если	^ га = а{©:	£0, \| 2_„, ...
... ,	^ .г л, -	£,}, то по теореме о	нормальной	корреляции

§ 4]		ПОЧТИ ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР					433
(см. гл.	13) компоненты		т\п)(і), і — 1,	... , k,	вектора		m'tn} =
= М (Ѳ, I	n)	линейно	выражаются	через		\|	...
• ••.	• ••,	i r При этом согласно теореме 1.5 т[п) (t)-+ mi (t)
с вероятностью		единица.	Но М [/л<«)(^4<МѲ^(/)			равномерно
по всем п. Поэтому по теореме 1.8 lim				М\т. (t) — m{V (*)]2 = 0.
Итак, в силу (10.114)			имеем
	lim М [mi (t) — М (mi (t) \| P f ) ] 2=				0.		(10.115)

Из определения процесса f (см. (10.106)) следует, что для любого 0< Д=^ Г совпадают сг-алгебры Р \ ^ е и Р \ ^ , откуда,

используя независимость процессов (Ѳг, £,) и (Wt), 0 < П ^ Г , находи-м, что Р-п. н.

М (Ѳ, I П		£') = М (ѳ, Isrt- ») = М (0 ,1srt) = m„
откуда в силу свойства условного						математического ожидания
получаем
	М (mt I P f ) =			М [М (Ѳ, I Р \ l°) I P f ] =				я*.	(10.116)
Но тогда	в силу (10.115)			и (10.116)
		1ітМ [П;(0 — т,{Щг — (к							(10.117)
		Ё->0		L		J
Из (10.117) легко выводится,					что
				limy?=Yf*					(10.118)
				е->0
Установим теперь утверждение 1) леммы. Для этого рас
смотрим	процесс	[Ѳ*— А?],			определяемый,		в	соответствии
с (10.107)	и (10.111),		уравнением
			t
[б/ —1Я/] =	[Ѳо — то] +		J (öi (s) — D (s) A{(s)) [0S — As] ds -p
			o		2	t
					2	t
					+ 5 j	1 [bt(s) + D{s)Bl (s)]dWl (s),
					i= 1 0
где D(s) = [b°ö(s) +			Y ^*(s)](ßoß(s) + 62£)_1,				согласно кото
рому, очевидно,		t
M[б* — А?] =		t
M[б* — А?] =		J (ax (s) — D (s) Лі (s)) M[Oj — A®] ds,							(10.119)
		0

и, следовательно, M[б/ — A/] s= 0.

434

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

[ГЛ. 10

Итак, утверждение 1) леммы доказано.

Из

несмещенности Я®(МА® = МѲг)

и (10.113)

вытекает,

что

Ѵи (0 =

М [Ѳ, (/) — п,

(Z)]2 =

= М[Ѳ, (t) - Я?(t)]2 + М [А! it)}2>

М [0, (/) -

Я®(Z)]2 =

бгг (t),

что вместе с (10.118) доказывает

утверждения 2)

и 3) леммы.

Наконец,

mt (О]2 = м [(Ѳг (t) -

Уи (!) =

М [Ѳ, (t) -

А? (/)) +

(Я?(0 -

« г (*))]2 =

поскольку

= б ! , ( 0 - М [ Я г ( 0 - т , ( 0 ] 2,

М[(0г (*)-Аг (/ ))(я ?(/)- тг (/))] =

М fМ (Ѳг (t) -

Я* (0 I T lt) (я! (0 -

отг (f))] =

M [ЯІ (t) - пи tf)]2,

что

доказывает

утверждение 4),

так

как

6®г (t) -> уг. (t),

е->0.

Из леммы

10.5 вытекает,

что

при

а2(0 = 0,

Л2(0 = 0

в качестве почти оптимальной оценки Qt по

можно

вы

брать Я®, где процесс Я® вместе с

у®

определяется

из уравне

ний (10.111) и (10.110).

Если же а2{і) Ф 0, А2(£)Ф^, то по аналогии с уравнением (10.111) определим Ьг] как решение уравнения

dm] = [а0 (і) + а, (t) т] +	а2 (t) \|,] dt +
+ [{Ьо В) it) + у?Л; (Щ [(В о В) (і) +		г Щ - 1X
X [dlt -	(Л0 (/) + Л, (/) т? +	Л2 (/) у Ä], (10.120)

где т® = от0, а у® по-прежнему находится из уравнений (10.110).

Т е о р е м а	10.4. Пусть выполнены условия (10.64) — (10.67).
Тогда процесс (т]),		0 < ^ ^ Г ,	определяемый из			уравнений
(10.120) и (10.110), задает оценку вектора Ѳг по						обладаю
щую следующими свойствами:
		М т' =	МѲг,
lim	М \m](t) — m, (<)\|2 =		0,	i =	1, . . . , &,	(10.121)
E-»0	L	J
Уu (t) < M [Ѳ, (t) -		m* (t)f < y*, (0,		/ =	1..........k.

Матрица среднеквадратичных ошибок Г® = М [(Ѳг — mt) (Ѳ< — rtitf]

определяется из	уравнения
І1 =	аѣ(t) Г? + Г] (ае (t)J + S (Ь) {{)) (b\ ())	(10.122)

Смотрите также файлы

Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи.pdf

Месенжник Я.З. Кабели для нефтегазовой промышленности.pdf

Методы анализа лакокрасочных материалов..pdf

Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf

Нестеров Ю.Ф. Теория и расчет судовой тепловой изоляции.pdf

Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно