Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 297

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§

4]

ПОЧТИ ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР

435

с

Го = Ѵо U

 

 

 

 

 

О®(0 = «, (0 -

[(& ° ß) (0 + ѵИІ (0] [(ß 0 В) (t) +

е2£ ]-’ Л, (0,

b ] ( i ) - b l (t)~[(boB)(t)+^A](t)][(BoB)(t)+e2E r X

1= 1, 2.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

a2(t)=z О,

Л2(/) =

0, то, оче­

видно, т< =

Хи 0 ^ . t ^ . T ,

и в

силу леммы 10.5

выполнены

свойства (10.121) оценки тгѵ Чтобы в рассматриваемом случае

вывести уравнение

(10.122),

положим V \= Q t — ku Тогда

 

 

 

 

dV*t = а

(/) V* dt +

2

b) (/) d r , (0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

и в силу формулы Ито

 

 

 

 

 

 

 

 

I/?(к?)*=

Ео(Ио)* +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

а (s) VS (Ѵ£У +

К (НУ (а*ЫГ +

У 61 (s)(&? (»))'

ds +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і—1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 öi(s) dr, (s)

+

J ]£(tf(s)dr,(s))(Vl)\

 

 

 

 

 

 

t=!

 

 

 

 

0

(=1

 

 

Отсюда после усреднения получаем для Г, = МЕ?(у?)

уравне­

ние (10.122).

 

 

а2( і ) ф 0 ,

A2(t) Ф 0.

Введем в рассмотрение

Пусть

теперь

процессы

v =

(v(),

|

= (!,), 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V/ =

J [а1 (s) vs -f а2 (s) У ds,

 

(10.123)

 

 

 

 

 

 

о

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

[/M SK

+

H2(S)gs]rfs,

 

(10.124)

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

и положим

Ѳ, — Ѳ,— vt. Тогда

из

(10.62), (10.63)

и

(10.123),

(10.124)

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ddt =

[ с (t) +

а, (t) Ѳ,] dt +

bx(t) dWi (t) +

b2(t) dW2(f),

(10.125)

d l =

[A0(t) +

Ai (t) 0,1dt +

ß, (0 rfr, (0 +

ß2 (0

(0

(10.126)

c 0o — 00, | q— Io-

436

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

[ГЛ. 10

Если оценивать Qt по Ц, то согласно (10.120) (при а2(/)==0,

Л2(/) = 0) соответствующая оценка т] задается уравнением

dm] = [а0 (t) +

а, (/) т]J dt +

 

+ [*»£(*) + yM; W] (В oB(t) + e2E)~l [dl - (A0(t) +

Al (t) m’) dt],

ml = mo-

 

(10.127)

Из

(10.123)

и (10.124) нетрудно

вывести (ср. с доказатель­

ством

теоремы

10.3), что сг-алгебры

и <Г|, 0 ^ / < 7 \ совпа­

дают.

Поэтому, обозначая

mt = М (Ѳ( | £Г&), находим,

что

mt =

M(Ot |^ f) = M(§t +

v<| ^ )

=

M(0t |^ f ) + vt =

mt + vt.

Положим m] = m]-\-vt.

Тогда

mt — m] — m t — т]

и, следо­

вательно, оценка mt обладает указанными свойствами (10.121).

Искомое уравнение (10.120) следует из равенства

т] — т]~|- ѵ(

и

(10.127), (10.123) и (10.124). Уравнение (10.122)

справедливо

и

для

случая a2(t) Ф 0 , Л2 (/) Ф 0 , поскольку

0t — т] —

— Qt — mt = V) и нетрудно проверить, что МУ*(У®)* =

0 < t <

Т.

 

Г Л А В А 11

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

§ 1. Предположения и формулировка теоремы об условной гауссовости

1. Пусть (Ѳ, |)==(Ѳ<1У ,

— случайный

процесс

с ненаблюдаемой первой компонентой и наблюдаемой

второй.

При использовании уравнений оптимальной нелинейной фильт­ рации (8.9) для нахождения яДѲ) = приходится сталки­

ваться с существенной трудностью, заключающейся в том, что для отыскания я ,(Ѳ) требуется знать условные моменты старших порядков

я, (Ѳ2) = М (Ѳ2 I я, (03) = М (Ѳ21 ...

Возникающая таким образом «незамкнутость» уравнений (8.9) заставляет искать дополнительные соотношения между момен­ тами старших порядков, которые позволили бы получить замк­ нутую систему уравнений.

В случае, рассмотренном в предшествующей главе, случай­ ный процесс (Ѳ, £) был гауссовским, что дало дополнительное

соотношение

(11.1)

щ (Ѳ3) = Зя, (0) щ (Ѳ2) — 2 [я, (Ѳ)]3,

позволившее для апостериорного среднего я, (0) =

М (Ѳ(| 3"^) и

апостериорной дисперсии yt(0) = nt (Ѳ2) — [я, (Ѳ)]2 получить из (8.9) замкнутую систему уравнений (10.10) — (10.11).

В настоящей главе будет рассмотрен один класс случайных процессов (0, £) = (0,, £,), 0 ^ t ^ Т, которые хотя и не являются гауссовскими, обладают тем важным свойством (обеспечиваю­ щим, в частности, равенство (11.1)), что Р-п. н. условное рас­ пределение / у (х) = Р {0f X I IFf] является гауссовским.

Для таких процессов (мы их называем условно-гауссовскими) решение задач фильтрации, интерполяции и экстраполяции становится столь же эффективным, как и в случае гауссовского

438

у с л о в н о -г а у с с о в с к и е

СЛУЧАЙНЫЕ п р о ц е с с ы

(ГЛ. II

процесса (0, |), рассмотренного

в гл. 10. Детальное

исследова­

ние этих задал содержится в следующей главе.

 

2.

Перейдем к описанию рассматриваемых процессов и фор­

мулировкам основных предположений.

Будем считать заданными некоторое (полное) вероятностное

пространство (Q,

, Р) с неубывающим непрерывным

справа

семейством сг-подалгебр

 

0 ^

t ^ Т,

и пусть Wx= (Wx(t),

,),

W2 — (W2{t),STt) — независимые

между

собой винеровские

про­

цессы. Случайные

величины

Ѳ0, g0 предполагаются не завися­

щими от винеровских процессов Wx и W2.

 

про­

Пусть (Ѳ, £) = (Ѳ„ It)’ 0 ^ . t ^ . T , является (непрерывным)

цессом диффузионного типа с

 

 

 

 

dQt = [a0(t, Q +

cti (t, QQt]dt +

 

 

 

 

 

 

 

+ bx(t, |) dWx(t) + b2 (t, l) dW2 (t),

(11.2)

filit = [A, (t, D +

A] (t, l) Ѳ/] dt + В (t, £) dW2(0-

(11.3)

Каждый из (измеримых)

функционалов at (t, x), At {t, x),

bs{t, x),

B{t, x), i = 0, 1, j — 1, 2,

предполагается неупреждающим (т. e.

^-измеримым, где

SSt — cr-алгебра в

пространстве Сг

непре­

рывных функций x — {xs,s ^ . T } ,

порожденная значениями xs,

Предполагается,

что для

каждого х е Сг

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

tf(t,x) + B *(t,xj\dt< co .

(11.4)

Наряду с условием (11.4), обеспечивающим существование интегралов в (11.2), (11.3), будут предполагаться выполненными

следующие условия:

 

 

 

для каждого х е

СГ

 

 

 

т

 

 

 

J [Ло(/, х) -f A2i(t, x)]dt <

оо;

(11.5)

о

В2 (t, х) >

 

 

 

inf

С > 0,

 

(11.6)

для любых X, j

e C r

 

 

 

 

t

 

 

 

I В (t, X) - В (t , y ) f ^ L 1j \ x s -

ys fd K (s) +

L2)xt - y t I2,

(11.7)

 

Q

 

 

 

 

t

 

 

 

B2(t, X) < Lx j (1 + x‘l) dK (s) + L2 (1 + xf),

(П.8)

0

 

Смотрите также файлы