Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 293

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2]

 

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

 

439

 

 

 

 

 

 

 

 

где

K(s) — неубывающая

непрерывная

справа

функция,

0 ^ / C ( s ) < l ;

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J-M \Aiit, |)Ѳ ДЛ <

оо;

 

(11.9)

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

М1Ѳ( | <оо ,

 

 

 

(11.10)

 

 

Р

J A\(t, Q m \d t<

оо

l,

 

(11.11)

где

m, = М (Ѳ, [

 

 

 

 

 

 

 

 

Следующий

результат

является

основным

в данной главе.

 

Т е о р е м а

11.1.

Пусть

выполнены условия

(11.4) — (11.11)

и с вероятностью 1 условное распределение

(а) =

Р (Ѳ0 ^ а |£0)

является гауссовскимj , N (т0, у0), с 0 ^ уJ0=<

оо.

 

удовле­

 

Тогда случайный

процесс (Ѳ, I) =

(Ѳ„ %t),

 

 

творяющий

уравнениям (11.2),

(11.3), является

условно-гаус­

совским, т.

е. для любых і и 0

^ < ... <

условные

распределения

 

 

с„ ) = р (ѳ« < X.0’

являются (Р-п. н.) гауссовскими.

Доказательство этой теоремы, данное ниже в § 3, опирается на ряд вспомогательных результатов, собранных в следующем параграфе.

 

 

§ 2.

Вспомогательные

предложения

 

1.

Пусть

—

 

обозначает любой

из про­

цессов g = (lt, @~t)

и л и І = ( l , @~t), где £ является наблюдаемой

компонентой процесса (Ѳ, £) с дифференциалом

 

 

dlt = [A0(t, У + Л, (t, I) ѲД dt + В (t, I)dW2 (t),

(11.12)

а І есть решение уравнения

 

 

 

 

d i = B (t,l)dW 2(t),

lo = lo-

(11.13)

В

силу

предположений*) (11.4) — (11.11) и теоремы 4.6 это

уравнение имеет (и притом единственное) непрерывное решение.

Обозначим

 

 

 

 

S0 (t, X) =

а0 (t, X) -

Л0

(t, X),

(11.14)

S, (t, X) =

а, (t, X) -

Ai

(t,x)

(11.15)

*) Ha протяжении всего этого параграфа предполагаются выполненными условия (11.4) — (11.11).

440

у с л о в н о -г а у с с о в с к и е с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы

[ГЛ. II

и рассмотрим уравнение (относительно Ѳ,,

Ѳ, = Ѳ0 + [Йо (s, Л) + äi (s, л) 0J ds +

 

 

 

 

+ | м * . л ) ^ і ( * ) +

|4 г § Н ) у йтъ-

ОЫб)

Л е м м а 11.1. Уравнение (11.16) имеет (и притом единствен­

ное)

непрерывное, ИГ®0’ Ѵ‘' Т1-измеримое при каждом t решение Ѳ„

0 ^

t ^

Т,

задаваемое формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

В (s, г!)

 

 

Qt =

Фі (л)

Ѳо +

J ф7!(л)йо(5, л)<^+

 

 

 

 

 

 

о

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

I Ф^ ' (л) М *'.ч> df\

,

(11.17)

где

 

 

 

 

ехр I J й, (s, л)^5 I .

 

 

 

 

 

 

Ф/(л) =

 

(11.18)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нетрудно проверить, что в силу пред­

положений

(11.4) — (11.6)

определены все

интегралы,

входящие

в (11.17) и (11.18).

 

 

 

 

 

Применяя теперь формулу Ито, убеждаемся, что задаваемый

правой

частью (11.17)

процесс

Ѳ„

удовлетворяет

уравнению (11.16). Так что для завершения доказательства леммы надо установить лишь единственность решения этого уравнения.

Пусть

Д< — Ѳ* — Ѳ* — разность двух непрерывных решений

уравнения

(11.16). Тогда

t

 

 

 

А/ =

J йі (s, л) Asö!s

 

 

о

и, следовательно,

t

 

 

 

IM

I «1 (s* л )Ц А ,|* .

 

о

 

§2]

 

в с п о м о г а т е л ь н ы е п р е д л о ж е н и я

 

441

Отсюда

по лемме 4.13

получаем:

|Af| — О (Р-п.н.) для лю­

бого t,

 

Значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р{

sup

|Д, | > 0 } = 0.

 

 

 

 

 

 

 

о< *

 

 

 

 

 

Лемма доказана.

 

 

 

 

 

Wu 1

 

Пусть

г| = £. В этом

случае Ѳг является

-изме­

римой случайной

величиной. Согласно лемме 4.9

существует

функционал Qt (а, х, у),

определенный на ( [О, Т\ X R} X Сг X Ст)

и являющийся при каждых t и a &t+ X ^+-измеримым,

такой,

что для

почти всех О г ^ ^ Г

 

 

 

 

 

 

 

 

è/ =

Q,(0o, w u D

Р-п.н.

 

 

 

Пользуясь введенными выше обозначениями (11.14) и (11.15)

уравнение (11.2) можно записать в следующем виде:

 

dQt =

[щ (/, I) +

5, (/, I) Ѳ,] dt + h

(t, I) dWx (t) +

 

dlt.

Сравнивая это уравнение

с (11.16), замечаем, что в силу леммы

11.1 для

почти каждого t, O ^ t ^ T ,

 

 

 

 

 

 

0t =

Q,(0о,

r „ Ö

(Р-п.н.),

 

(11.19)

Отсюда и Из (11.3)

вытекает,

что процесс l = (lt, З'і), O ^ t ^ T ,

допускает стохастический

дифференциал

 

 

 

äh =

[А0 (t, I) + At (t, I) Qi (0O, Г „ I)] d t + B

(t, l) dW2 (t).

(11.20)

2.

Рассмотрим

теперь

два случайных процесса

(а, ß, |) =

= [ К , %, У> Ff] и (а, ß, D *= [ (а,, ß„ У , т \ ,

о < t <

Т, задавае­

мых уравнениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dat = 0,

а0 — Ѳ0,

 

 

 

 

 

 

 

dßt^dWtit), ßo = 0,

 

 

 

 

(11.21)

 

äh = [Ао (t, S) + Ai (t, l) Qt (а, ß, l)]dt +

В (t, %)dW2 (t)

 

и

 

 

dat =

0,

 

a0 =

90,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d h ^ d W iit) ,

ßo =

0,

 

(11.22)

 

 

 

dh — В (t, l)dW2{t), Io =

io.

 

 

соответственно.

Рѳо, wt>i) и Ца.ді

 

 

 

 

Пусть ра. ß, i( =

( = Цѳв, ip>l)—меры,

отве­

чающие процессам

(а, ß, |)

и (а, ß, |).

 

 

 

442

у с л о в Но -г а у с с о Вс к й е

СЛУЧАЙНЫЕ п р о ц е с с ы

[Гл. ІІ

Л ем м а

11.2. Меры ца, р, і

и Ца. ß, I эквивалентны,

 

При ЭТОМ

Ра, ß, 5

Ца, ß,

f•

 

 

 

 

 

 

d[ia, ß, 1 и

„ а

ъ\

. 1. / „

а

__ rfPa, ß. I

ф/ (а, ß, I) = djTa.ß.Ѵ"(^

а’ ^

^

^ 1(а> Р' ^

d p a .ß , I

задаются формулами

(11.23)

(U а, ß, g)

Ф, (a, ß, I) =

exp \

jd o i£.6) + ^

6

) Q»(?.J , J )

^

_

 

 

 

_

_1_

Г [Л (s,j) +

y4,(s,i)Q, (a, ß, g)]2

d s

-

(11.24)

 

 

 

2

J

 

 

B2 (s, I)

 

 

J

 

 

Ф/(а, ß, I) =

exp {

-

JdoA 6) + ^

e

) Q*(a, P, l)

^

+

 

 

 

 

I

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

1

f

[A0 (s,

D +

A ^ s ,

t ) Q s ( a , p, I)]2

 

J

 

(11.25)

 

^ T J

 

 

 

В2(s, I )

a s y

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отметим сначала, что (см. гл.

13,

§ 1)

О

 

0

 

 

0 \ +

 

/ 0

0

о \

 

 

 

О

 

1

 

 

0 ]

=1

0

1

0

 

(11.26)

.0

 

О

 

В2 (t, х) J

 

V 0

0 В ~%

х) )

 

 

Поскольку О, — Qi (Ѳ0, W, g) =

Qt (a, ß, g) при почти всех 0 ^

^ Т

Р-п.н. и выполнены условия (11.2)

и (11.3),

то

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

ß, g)]2 dt < o о

Л

 

 

 

[А0 (t, D + AtiU l) Qt(a,

f = 1.

 

 

 

 

 

 

 

B2(t,

g)

 

 

 

 

 

 

 

Тогда в силу многомерного аналога теоремы 7.20 pa, р, \ <Сра, ß,f.

Согласно лемме

4.9

существует измеримый

функционал

Qt (a, X, у),

определенный

на ( [О, Г] X R1X СтX Сг) и являю­

щийся при каждых t

и а 3&t+ X .^-измеримым и

таким, что

при почти

всех

 

Р-п.н.

 

 

 

51

 

 

 

 

0? = Q/ (Oo, r I,g),

 

где Ѳ|, 0

т , — решение уравнения (11.16) при

T) = g.

По лемме 4.10 при почти всех О ^ ^ ^ Г Р-п.н.

§ 2]

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ

ПРЕДЛОЖЕНИЯ

443

 

Значит, процесс | — (h> @~t)>

имеет

также диф­

ференциал (ср. с (11.20))

 

 

dlt = [Aa{t, І) + Л, (t, I) Q,(00, Wi, l)]dt + В (t, |) dW2(t).

Поэтому и

p 1 ГШ и

І) Qt ( а , p,j)l» d t < 0 0 j = I

Отсюда в силу многомерного аналога теоремы 7.19 и леммы

4.10получаем требуемое утверждение.

3.Пусть (Ѳ, I)—случайный процесс, подчиняющийся уравне­

ниям

(11.2),

(11.3).

Обозначим {mt {x),ét+)

такой

функцио­

нал*),

что при

почти

всех О ^ ^ ^ Г

 

 

 

 

 

 

 

 

mt (|) =

N1 (Ѳt \ Т ))

Р-п.н.,

 

 

и пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W,

 

dis

 

А о (s, І) + Лі (s, I) m s ( l) ^

n j 27)

 

 

B ( s , £ )

 

 

B ( s , l )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а 11.3.

Случайный

процесс W = (Wt, &~t), O ^ t ^ T ,

является винеровским.

Из

(11.27)

и (11.3)

получаем

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

W,7( =

w 2 (t) +

J 4 £ f f

[Qs - ms (I)] ds.

(11.28)

Отсюда с помощью формулы Ито находим,

что

 

 

euws +

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

e^wt _

i z

J

 

eizW“ [Ѳи — mu(|)] du +

 

 

 

 

+

iz JelzW“ dW2(«) -

4

J

etZWudu■ 0 L29)

Как и при доказательстве

теоремы

7.17,

из

(11.29)

выводим,

что Р-п.н.

 

 

 

 

 

Z2

 

 

 

 

 

 

M(eiz^ t - w s)\g-l) =

 

 

 

 

 

 

e- T d - s) .

 

 

Лемма доказана.

') См. лемму 4.9,

Смотрите также файлы