Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

+

J d>exjutx.xotl)dx„+

\d{^^x0,i}u(x,i,(x1>X)dxo,

.

0 0

О

- « о

то есть выражается через пару

фундаментальных решений и.Ьл,х„1) и

u f a ; ^, at,i„),

связанных с

уравнением

( 2 » ) . В данном случае,

Шх,I, х„I.) =

и (ос, ж0,i-ij,

которая является

следствием того,

что коэффициенты уравнения (2»)

не зависят

от параметра I .

Формула

(17)

остается справедливой также для уравнения вида

" и

=

%и

*7<fc4.

где

i f - линейный дифференциальный оператор эллиптичеокого

типа

с переменными коэффициентами в

п

—мерном пространстве ае =(ос4 ,

х г7

эсл ),

если интегралы,

входящие

в формулу

( 1 7 ) , понимать

как интегралы по

п-мерному

пространству.

2 . Исследование обратной задачи. Перейдем теперь к постановке

обратной задачи для уравнения ( I ) . Рассмотрим для уравнения

( I )

задачу с данными Коши вида

(3»), и пусть относительно

решения этой

задачи известны в точке

х0

функции

u(xJ}=lU),

< W ^ , & = £ ^ .

(18)

Требуется по функциям

£{4),

fjl)

найти функции

q(x).

Будем считать, что функция

ojx)

непрерывна,

и в этом предпо­

ложении проведем исследование поставленной

задачи. ж ^

Естественно,

что при непрерывной функции

q(x)

функции

fiU)

и

fal)

не мо­

гут

быть произвольными, они должны удовлетворять некоторым требо­

сейчас и перейдем. Положим в уравнении

( I )

q(x.)-tt(x,l)

=

f(x,i)

и применим к уравнению (1) при условиях

( 3 ' ) формулу

( 4 ) . Исполь­

зуя свойство (6)

й - функция,

получим

ofx.fl

= | c t t - l x - x j )

4- i

|j

(До ^(|,т) ct| etc

(19)

Д(Х,±1

В этом уравнении

ef-t-|х x„ij

— функция Хевиоайда, определя­

емая формулой

т>о,

£ПГ) =

Г 1,

f

т<о.

( О ,

ласти плоскости xti.

Итак, задавая непрерывную

функцию ^(х), мы

находим единственное

непрерывное решение ul-x,{).

Тем самым урав­

функции qte)

Б функции

UlX,i):

Ац, = и.

Рассматривая теперь значения функции и ее

частной производной по

х в

точке х„

, мы получаем для отыскания

<^ операторное урав­

нение

вида

но неизвестной функции

и(х,1)

и некоторых ее

частных производ­

ных, а также

и функции

tyoc)

и затем покажем,

что к этой системе

в достаточно

малой области плоскости x,l,

1>о,

окружающей точку

(ж0 | о),

применим принцип сжатых отображений. Тем самым мы .решая

ции Щх,1)

и ty(x).

Покажем прежде всего,

что ttlx,(l=o

вне области

<£)={(3^h i>lx-xjj.

Действительно, для точек (х,4)ё<£) ин­

тегральное

уравнение (19)

принимает вид

однородного уравнения

u(x,i) = f j"j

qj^-ua.-odl

dx,

*

M

(x,4) ё <£>,

рода, имеет только

нулевое решение

ufa^ij^o.

Учитывая

это,

мы будем рассматривать решение

«.(осД)

только

в области <£>.

в

этом случае решение

U 9 ) принимает вид

Здесь

'Ю/Ьг.э:, ^)

- область,

представлянцая из

себя прямоуголь­

ник (см.

рис.2):

ajx,i)=^

j

(Ц&иЦ, 4 - l x - i l ) Mjnlt-od

d | ,

(20)

x - f ^

(x,-Ue<£>,

ajx1l)

= {

7

^

j

^ ) « ( M - № - t l )

d f ,

(21)

Формулы ( 2 0 ; , i.2I)

позволяют

по

решению

a foe, 4),

найденному

из

уравнения ( 1 9 " ) ,

найти частные

производные

,

щ

. Можно,

одна­

ко, рассматривать

уравнения

( 1 9 " ) ,

(20),

(21)

и как

систему

урав­

нений относительно

функций

и,

и^,

щ.

Дифференцируя равенства

( 2 0 ) , (21) по переменной

I , получаем

**ё^

(гг)

(23)

|

%(i)ui\,i-\x-K\)i\l

ЗЦМ

fsc,i)e<£>.

Уравнения

( 2 2 ) , (23)

можно преобразовать,

используя явное

значение

и(х,1)

в

точках

границы области © . Переходя в формуле

(19») к

пределу при

Н х - х . |

и замечая, что при этом площадь

области

<Ь(х,х„1)

стремится к нулю, находим

« ( х , /СС-XJ) = -£.

Используя

это

равенство,

запишем уравнения

( 2 2 ) , (23) в виде

(23)

3C + 3C„W

2

при непрерывной функции

у(-х)

Из уравнений ( I 9 ) - ( 2 3 ) ясно, что

функция

ufcc,^

и ее частные производные до второго порядка

включительно непрерывны в области *£>. Отсюда, в частности,

следу­

ет ,

что функции

^ U) = и ('XCII)

обязана

иметь непрерывные

производные по I

до второго порядка включительно, а

функция

•fz(i) = ux{xni)

-

до первого порядка. Кроме того,

из

уравнений

( 1 9 ) - ( 2 2 ' ) ясно,

что функции

fijl)

и

fzib

должны

при

i=o

(прячем значения их при i=o

понимаются как пределы

функций

u(x.,l),

их(х.,У

при

1-^+о )

удовлетворять

до ­

полнительным условиям

/, М = %,

/ > = Ь<°> ~ />> = о.

(24)

Т е о р е м а

I . Для существования решения поставленной

об­

ратной задачи в классе непрерывных функций

q(x)

необходимо.что­

бы функции

fjl),

foi)

11>о)

были гладкими, а именно,

существовали бы непрерывные производные

ft"tl)

и fzd),

а

при

£=о

значения этих функций и их дврвых производных, понимаемые

как

соответствующие

пределы при 4 —-»-+о,

удовлетворяли

услови­

ям (24),

В дальнейшем мы покажем, что условия на

fid),

fid),

необхо­