Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

ную корректность и методам

решения условно корректных

задач (см.

[ 1 6 , 57-59, 63, 7 1 , 72, 7 6

, 7 9 , 82, 86, 87, 99-102,

146-149,156,

1 5 7 ] ) .

Г л а в а

2

ОДНОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

§ I . Обратная задача для уравнения колебаний струны

Рассмотрим обратную задачу для уравнения

уш-и,

( I )

заключающуюся в отыскании функции

у (х). К уравнению ( I ) ,

как мы

"«

= и~х

+

{<ХЛ)

(2)

и задачу Копш для

него:

и(х,о)

= о,

ujx.o)

=

ijitx).

(3)

Решение

этой

задачи,

как известно

[114,138,160]

, дается формулой

x+i

Шх,1) = |

\

dt

+±j]{{f,T)di

dr

( 4 )

x-l

Mx,i)

где

Alx,l)

- треугольник

с

вершиной

в

точке

(осД| •.

А(х,1)= {

(1т):

о<

т < 4 - / э с - | |

} .

Для существования вторых частных производных

и и ,

и х х

доста­

точно потребовать

от

функции

ф(х)

существования ее первой

производной,

а от

функции

/far,I)

существования

ее частной про-

изводной

по переменной

I .

Однако

формула

(4) дает решение

урав­

нения

(2)

при условиях

(3)

также

и в том

случае, когда функции

ср(х)

и

/(х,1)

являются

просто непрерывными или даже кусочно

непрерывными. Но при этом мы получаем не

обычное решение

задачи

Коти,

под

которым подразумевается

решение

задачи, имещее

вторые

частные производные, а так называемое

обобщенное решение.3^ Если,

например, функция ф1х)

кусочно-непрерывна, то решение

и(х,1]

задачи ( 2 ) , (3) остается

непрерывным,

а частные производные

явля­

ристиках,

выходящих из точек разрыва функции ф(ос).

Используя формулу

( 4 ) , можно построить такие обобщенные реше­

ния задачи ( 2 ) , ( 3 ) ,

которые не являются даже непрерывными. Пусть

вначале

^(я,|) = о.

Цра этом формула (4) принимает вид:

цательных функций

</>пИ,

n = j,2,...t

которая обладает

следующи­

ми свойствами:

1)

ij)n(-x,i = o

вне

некоторого

отрезка [а^-а.^,

х 0 + а п ] 1 при­

чем последовательность ип

сходится к нулю при п—««^

2)

последовательность

\<l>(l)di

~

i.

J

/1 —+- о

о

Последовательность

функций

обладающая свойствами I )

и 2)

называется

& -образной последовательностью. Предел

такой после­

довательности {ф„}

носит название

S- функции,

сосредоточен­

ной в точке

ж„ , и обозначается

через

£ ( зг-х0 ).

Заметим,

что

-

(xJ-Sfx-xJclx

=

J.

(6)

хё£а,Й.

Действительно,

если

х„е(а,й),

то

начиная с некоторого

номера

Л отрезок

Гх„-а^,

х0 + ап]

содержитоя в отрезке

[а,ftj

и, сле­

довательно, для

п>Л

j/fx)^(xj£/x =

f/(btf^ftcjcfec

=

/ ( x ^ o ^ e j j ^ c / x — W ^ c J ,

Если же

x 0 efa,&7,

то начиная с некоторого

номера

JT

отрезок

[а^-а^,

х„ + а.п]

не имеет с

отрезком

fa, &]

общих точек

и

поэтому,

в

силу

свойства I )

последовательности

с/)^ ( х ) :

J /(х)- </>„W с/х = о,

п>

If.

Свойство

S

- функции, определяемое

равенством

( 6 ) , можно было бы

принять за

определение

^-функции. Так

это

обычно и делается (см.

[ 4 3 ] ) .

Рассмотренная наш

§ -функция входит в класс

так называе­

мых обобщенных функций.

Если рассмотреть

теперь последовательность

функций

tijx,{),

отвечающих

8-

образной

последовательности

функций

<р„,(ос)

:

^

^

[

^

Й

,

(7)

то получим последовательность решений задачи Коши для уравнения

(2)

( / ( x , i ) = o ) .

Переходя

к

пределу при п - * « , получим

функ­

цию

Г i

/a:-x0 |<i,

а ( х х „ , Л = i

( 8 )

L

о,

/x-sc„| > ± ,

которую естественно назвать обобщенным решением уравнения

при условиях

tlfr.o) = о,

иг[а:,о) =

8"(х-х„).

( 3 ' )

u ( x , x . , ^ ) - 4

# ( £ - a q M

=

(9)

Легко понять,

что выражения, определяемые формулами

(8) и (9) от­

личаются лишь формой записи. Оба эти выражения не определяют

зна­

чения функции

и(х, ха, I)

на характеристиках

х = х 0 ± £ ?

выходя­

щих из точки

(х., о).

Будем понимать

под значениями

u(x,x„,t)

в

точках этих характеристик их предельные значения,

вычисленные

со

стороны области

l>

Ix-xJ.

В данном случае:

и(ж, ха, ioc-xj)

= 4^.

Функция

и(х, х„,4)

называется фундаментальным решением за­

дачи Коши для уравнения ( 2 ' ) . С помощью ее решение

задачи Коши

для уравнения

(2 0 с данными

и(х, о) = ср/х),

ut Кг, о) = <|>{х)

(10)

записывается в виде

а(хД) = J^j

q>(xD\u{x,xl,,l)dx.

+-j ф(ха)и{х1х0,1)

dx^. ( I I )

Легко

проверить,

используя формулу (8) , что функция

alx,l),

опре­

деляемая этой формулой, совпадает с решением задачи

(2 0 , (10),

определяемым формулой Даламбера. Это и показывает, что

ufol)

есть

решение задачи

(2 0 ,

(10) . Конечно, для уравнения

(2 0

представ­

ление

( I I ) для решения задачи Коши просто совпадает

с формулой

Даламбера,

однако

оказывается, что формула ( I I ) является универ­

сальной в том смысле, что она справедлива для дифференциальных

операторов

более

общих, чем оператор,

определяемый формулой ( 2 0 .

Рассмотрим,

например, уравнение

ин = a W l - i ^ + ^ O - ^ +с(х,4}-<н.,

(12)

где

a(x,i)eC2 ,

кх,1)еС,

c(x,l)

е С,

и пусть

ufx . x . ji)

есть

фундаментальное решение задачи Коши для уравне­

ния (12) , то есть

решение уравнения (12) с начальными данными (3*).

Тогда

решение

задачи Коши для уравнения (12) с данными общего ви­

да (10) дается

также формулой ( I I ) .

Рассмотрим теперь уравнение (2) при нулевых данных Коши. Тог­

да решение

задачи Коши имеет вид

ufc,i)-±\\fc,T)A\dx.

(13)

Нетрудно также построить некоторую последовательность функций

{ £ ( х ^ ) }

которая является двумерным аналогом

8-

образной

последовательности

{фпШ}.

А именно, пусть

^Jx,i)

— кусочно-

непрерывные неотрицательные функции, обладающими свойствами:

1)

^fac,^=o

вне некоторой области

/х-эс,,|1 +

+ И-^1*<

причем последовательность

оСа сходится к нулю при

2)

Последовательность

интегралов

\\l(x,i)dxdl

-

1 .

Предел

последовательности

функций

носит

название

$ -

функции,

сосредоточенной

в точке

(x„,lj

и

записывается

8(з:-х.,

1-IJ.

Основное

свойство

S(сс-х,,

i-lj

заклю­

чается в том, что для всех непрерывных функций

ftx,i)

имеет

место равенство:

Я f(x,U-§(x-xJ-i.)d*dl=<

1 О,

_

(14)

*

( о ; , 0 б © .

Здесь через 5

обозначена замкнутая область с

кусочно-гладкой

границей,*Й - открытая область, отвечающая 33

. Решение уравне­

ния (2)

с

сосредоточенным в

точке

(a^,lj

воздействием

вида

Six-х0,

i-ij

и нулевыми данными Коши имеет вид:

ft,

i-i.>lx-XJ,

tt(ccloc.,lj

=

1

(15)

[

О,

i-i.<lx-xj,

ж называется фундаментальным решением для уравнения

( 2 ' ) . Решение

уравнения

( 2 ) ,

отвечающее нулевым данным Коши,выражается

через

фундаментальное решение по формуле

ulx,l)

= j

dia

j

/(х0А). u{x,i,*.Aj

с/х0.

(16)

Используя

равенство

( 1 5 ) , легко

формулу

(16} преобразовать

к виду

(13) . Формула

(16)

остается .однако .справедливой

и для

более

общих