Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.06.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

го отсюда следует, что малым по норме изменениям функций у я ф соответствуют малые изменения решения.

Заметим, что та же самая задача, если считать <f и ср просто непрерывными функциями, а для решения сохранить прежнее простран­

ство

С I'D), будет некорректной, так как не будут выполнены ус ­

ловия

корректности I ) и 3 ) .

Приведем теперь пример задачи, некорректной по существу, ког­ да никакое требование на гладкость исходной информации не приво­ дит к корректности задачи. Пример такой задачи был построен Адамаром, чтобы подчеркнуть важность третьего из условий коррект­ ности.

Пусть

а = и (ж, ц] -

решение уравнения Далласа

 

в долуполосе

у>о ,

-7Г<х<тг, удовлетворяющее условиям

ut-зг. у) = и 1я, у) =

tt(x,o) = о,

и^х,о)=ётлт

пх. (12)

Нетрудно проверить,

что решением этой задачи является функция

 

 

•utx,p

=~e'm-suinx-sk

nij.

(13)

Можно показать, что решение поставленной задачи единственно. При

п-^~=

функция

emsinn.x,

представляющая из себя данные

за­

дачи ( I I ) , (12) , стремится равномерно к нулю вместе со всеми про­

изводными. Тем не менее решение задачи

( П ) , (12) , как видно

из

формулы

(13), при любом фиксированном

у>о

и достаточно боль­

шом п

имеет вид синусоиды со сколь угодно

большой амплитудой.

И, следовательно,

сколь угодно

малому

изменению данной задачи со­

ответствуют отнюдь не малые вариации решения. Итак, рассмотрен­ ная задача Коши для уравнения Лапласа поставлена некорректно.

Из приведенных примеров видно, что существуют, вообще говоря, два сорта некорректных задач. Задачи, которые являются некоррект­ ными в одних пространствах, но могут быть сделаны корректными при другом выборе пространств. Такие некорректные задачи естественно назвать слабо некорректными. Наряду с этим существуют некоррект­ ные задачи (как,например, рассмотренная задача Копш для уравне­ ния Лапласа), когда ни в каких функциональных дространсгБах.норма которых использует конечное число производных, задача не явля­ ется корректной. Задачи подобного-сорта будем называть сильно не-

37

корректными задачами. До сравнительно недавнего времени считалось, что некорректные задачи не имеют физического смысла. Это мнение, однако, опровергается развитием прикладных наук. В настоящее вре­ мя известно большое число практически важных задач, которые не являются корректно поставленными в смысле данного определения. К числу таких задач относится и большинство многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений, на важность которых было указано во введении. В связи с этим А.Н.Тихоновым было предложено [153] новое понятие корректности, которое является физически оп­ равданным для многих прикладных задач,некорректных в классичеоком смысле.

для подхода А.Н.Тихонова к вопросу корректности характерно,

что рассматривается некоторое множество JllcU,

существенно более

узкое, чем все

пространство U.

Чаще всего

это

некоторое

компакт­

ное множество. Пусть образ множества

Ж при отображении с помо­

щью оператора

d

в пространстве

F

есть

множество

й. ,

то есть

1& = ДШ].

Задача

(7)

называется условно

корректной

(или

коррект­

ной по А.Н.Тихонову),

если для него

выполнены следующие условия:

1)априори известно, что решение задачи существует и принад­ лежит некоторому заданному множеству Ж функционального прост­ ранства U;

2)решение задачи единственно на множестве Ж;

3) бесконечно малым вариациям / « Я , не выводящим решение за пределы множества М , соответствуют бесконечно малые вариации решения.

Множество Ж называется множеством корректности задачи.

Отметим некоторые особенности данного определения корректнос­ ти, отличающие его от классического. При классическом определении корректности предполагается, что данные задачи / принадлежат некоторому метрическому пространству F. Первое из требований классичеокого понятия корректности требует доказательства, что

при любом {е F

уравнение

имеет решение « е U.

Это обычно делается установлением теоремы

существования. Соответствующее требование корректности задачи по

Тихонову постулирует

существование решения задачи, принадлежаще­

го некоторому заданному множеству JILc

U , на некотором множестве

данных. Относительно

этого последнего

множества не делается

ни­

каких предположений,

структура его не

описывается. Тем самьм

на-

38

добность в доказательстве теоремы существования снимается.

 

Требование единственности решения задачи на множестве Л

со­

впадает о классическим требованием единственности

задачи в

про­

странстве решений

U.

 

 

 

 

 

 

Перейдем н третьему требованию. При классическом понятии кор­

ректности решение

задачи существует

при любом

/е.Р

и принадлежит

пространству U. Естественно

поэтому

потребовать,

чтобы малому

изменению элемента

/ по метрике пространства

F

 

соответствова­

ло малое изменение

решения по

норме пространства

U.

Корректность

задачи по Тихонову

совсем не

требует

знания множества данных, но

постулирует принадлежность его решения к некоторому множеству^/. Естественно при этом, что малое изменение данных задачи по метри­ ке любого наперед выбранного пространства может привести к тому,

что решение задачи

вообще не существует или существует, но не при­

надлежит заданному

множеству JU. В связи с

этим разумно модифици­

ровать требование

непрерывной зависимости решения от данных зада­

чи, потребовав эту

непрерывную зависимость

только для таких ва­

риаций данных, которые не выводят решение

за пределы множества Ж.

Это и отражено в третьем требовании корректности.

Посмотрим, почему же понятие корректности по А.Н.Тихонову оказывается довольно естественным при рассмотрении многих задач и особенно при изучении обратных задач для дифференциальных урав­ нений. Расомотрим, например, обратную задачу о колебаниях струны. В том случае, когда плотность струны меняется от точки к точке, процесс колебаний струны описывается уравнением ( I ) , в котором

с = сбс). Пусть мы рассматриваем задачу определения функции

cfoc)

по некоторым известным функционалам от решений прямой задачи

(I)-

( 3 ) . В качестве таких функционалов здесь естественно рассматри­ вать смещения отдельных точек струны в различные моменты времени. При этом физика задачи подсказывает, что решение следует искать в классе функций положительных, ограниченных сверху и снизу неко­ торыми константами, которые можно указать, зная возможный набор материалов, использованных при конструировании струны. Возможно, что известны и другие свойства струны, например, что плотность ее меняется непрерывно, либо куоочно-непрерывно. В результате мы

заранее можем указать множество Л

, которому должна принадлежать

функция

c(xj . Если теперь данные

задачи взяты из конкретного фи­

зического

эксперимента «о

струной,

у.которой с(х)&М,

то у нао

не может быть сомнений в

том, что

существует реальная струна, ха-

 

 

3.9.

 

рактеризуемая функцией

с(х)

, отвечающая этим данным. Здесь .од­

нако, мы должны несколько

оговориться. Дело в том, что данные мы

снимаем с определенной

погрешностью & и поэтому вместо

элемен­

та /

мы получим

элемент

J

, причем

tf-fll<8.

Элемент

\ .вооб­

ще говоря, не будет принадлежать множеству

Н.=ЛШ1 Поэтому .воз­

вращаясь к физическому

эксперименту,

следовало бы сказать так: у

нас не может быть сомнений, что существует

такая

струна

(такая

функция сед ),

что рассчитанные для нее теоретически данные ^

физического эксперимента

/

не будут

отличаться

от измеренных /

более,

чем на Ь . Если мы теперь уверены,

что данные физического

эксперимента позволяют однозначно найти струну из указанного клас­

са ( с(х)еМ),

и кроме того есть

непрерывная

зависимость задачи от

изменения данных на множестве

то мы, решая задачу с экспери­

ментальными данными, получим ответ, близкий

к действительному. В

самом деле,

рассмотрим__в пространстве F

шар

Slf, 8)

радиуса

8

с центром в точке

/

. Нам известно, что в этом шаре есть, по

крайней мере,

один

элемент

/е R , и, следовательно,

существует

его прообраз

с(х)е

 

М.

Если же в этом шаре

S(f,S)

есть

еще и

другие

элементы,

принадлежащие

й., то все они удалены друг от

друга

не далее,

чем на Z&. Поэтому,

если

S

мало (.точность

экс­

перимента высока), то в силу непрерывной зависимости

с от

/ на

множестве

ft,

их прообразы

разнятся

также мало. Это означает,что

какое бы решение

с(х)&Л1

мы не взяли,

если

Ыс-Ц<8, то с(х)

близка к истинной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ситуация, аналогичная рассмотренной, характерна для многих

обратных

задач геофизики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многие

задачи,

являющиеся некорректными в классическом

смыс­

л е ,

являются

условно

корректными. В частности,

рассмотренная вы­

ше задача

Коши для уравнения Лапласа

является

условной коррект­

ной

(см.[75])

на множестве функций

и(х,у)

 

 

 

o ^ y ^ i ) ,

принадлежащих, при каждом фиксированном ц ,

пространству

 

L2[-7r,3T]

и удовлетворяющих дополнительному

условию

 

 

 

lulcc,i)fL

 

= | u*lx,i)dx

< <Рг,

 

 

 

 

2

-я

 

 

 

где *Р - заданная постоянная.

 

 

 

Отметим, еще, что для случая,

когда

оператор

А является

непрерывным

, а

Л

-

компактное множество,

из общих теорем

функционального

анализа

следует,

что выполнение

условий I ) и 2)

40

Смотрите также файлы