Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

соотношения, с помощью которых функция

в любой точке выража­

ется через частную производную ut

и саму

<2.(х), стоящие под зна­

. Действительно,

полагая в формулах (22 0 , (23') х=х,1 а затем

складывая получившиеся равенства и вычитая, находим:

х,

(25)

х.4

i><>.

Первое из уравнений

(25) определяет (Цх) при х > х„ ,

второе - при

функция

u4(£, i-ix-si)

выражается через

значения

на

отрезке

[**±£J*£li

f

^

l ^ d ^ l l

l

] f

который

содержит точку х.

внутри себя. Два уравнения (25) можно записать

в виде одного уравнения,

введя в первом из них замену хо + ^=зс, а

во втором замену

х„-|-=х.

Уравнения (25) при этом приводятся к

одному уравнению

J (J,m-ut{f,2|x-xJ-|x.-il)^^(ф426)

СЦх)=

# х > - 4

се.

в котором

fix)

= 4 [ f"(2lx-xj)

+ £(2lx-xj)-sqn(x-xjj

(27)

Очевидно, что при выполнении необходимых условий для функций

£(Д £(4),

о которых мы говорили выше, функция

fix)

являет­

ся непрерывной.

Система уравнений

( 1 9 ' ) ,

(21),

(26) является

замкнутой

систе­

достаточно малых Т>о

для этой системы уравнений в области

<£>(Т) = <£>(х„,х0,Т).

имеет место принцип сжатых отображений.

Ч>=Ац>,

(28)

в

котором ср = (ср,,cpltcps)-вектор-функция

переменных х,4, компо­

ненты которой есть искомые функции

cpt - 1l(X,i),

<%= u^i),

q>3 =

9(0),

а

компоненты оператора

Л" 1Лц^,Л3)

определяются

равенствами

A<P=ij

% - f f l - % 8 , Ы * - * » > < * * , Л -

(29)

Рассмотрим область

©(TV = ©•fc.a^Tj, где Г

— произвольное поло­

жительное число. Очевидно, что оператор Л

переводит функции

ср е С(ЪСТ))

в функции также принадлежащие пространству

С(£хТ)\.

Покажем теперь .что при достаточно малом Т оператор

А осуществля­

ет сжатое отображение шара радиуса

М

с центром в точке

в себя. Тем" самым мы покажем, что уравнение

(28) имеет в области

ФГТ) ' йри достаточно

малом " Т , единственное непрерывное решение,

удовлетворяющее

неравенству

l<f>-Cf>.l<M.

(30)

Норму ср.„естественно

здесь определить

равенством

УПАхтах

l(f;(x,til.

(31)

Очевидно, что для элементов ср , принадлежащих шару

S(tpc,M), имеет

место оценка

1Ц>1*

icpj

+ M

<= JC.

(32)

Покажем, при Т< Т* где

Т*

определяется равенством

т

= т п 1 э Г ' Ш - Ш ' т } '

( 3 3 )

оператор Д является на шаре

8(<р0,М)

оператором сжатия.

Действительно, пусть сре £(сра,М).

Тогда ЛсреС(Й(Т))

и, кроме

того, для всех

(x,L) e<t>(T)

справедливы неравенства

* 4Xxlx-xJ&

2Ж*Т,

из которых следует, что для

T=s

Т

то есть

Лср е S(%Jtt).

Нам остается

показать,

что

оператор Л сжи­

мает расстояние между элементами шара

Sty,, М).

Для доказательст­

ва этого, возьмем произвольные два

элемента

<р',срге

S(<fi,,JU} и оце­

ним норму разности между их образами

d(f>\ Ay*.

Обозначим компо­

ненты элементов ip\ ср*

через

ipf, tpf,

1=1,2,3.

При оценке

iA(fl-A(f2l

воспользуемся

вспомогательными

неравенствами типа

которые имеют место для произвольных

tpl,cpze.

S(f.,M).

Используя

формулы

(29) находим

\Azyl-Ay\

J l%UV-^$,i4x-W-til<ptfl$,i-lx-SI)lds

Й

Отсвда следует,

что

и оператор

^

при Т< Т * осуществляет

сжатое

отображение шара

S(%,JU)

на себя. Тогда,

согласно теореме

С.Банаха,

уравнение

(28)

определяет

единственное

решение, принадлежащее этому шару.

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Т е о р е м а

2 . Пусть

Т,

М

- произвольные положительные

числа и функции

£(1),

удовлетворяют

необходимым услови­

ям,

устанавливаемым теоремой

I , пусть кроме того,

\\cpj =тах(±,

тлх^1Лх)1)}

(34)

где

функция

f(X)

определяется

формулой (27) . Тогда,

если Т<ГТ*

где

-"^{Зйш'

гш+тГЪ

(35)

1

система уравнений ( 9 0 , ( 2 1 ) , (26)

определяет

в области

<£>(Г) = { Сх,1) •• I x - x J

^1 ^

7-lx-x.l}

julx,i)-{l

4

М,

lut(x,ill

Й Д

О б )

\yx)-fm\

^

Л.

ций fad), fzd)

при oii^,T<T*

определяет решение

обрат­

ной задачи, то есть функцию с^Ш

на отрезке

/ x - x j 4 ^ .

Таким

образом, теорема

2 имеет локальный характер:

чтобы найти

с^{х) на

тором определяется о_(о}. .

Замечание I . При фиксированной 1%/J

зависимость Т от па­

раметра Л , как показывает формула ( 3

5 ) , носит

следующий харак­

тер. При малых Ж параметр Т *

такке

мал, далее о ростом М он

возрастает, достигая

некоторого

максимального

значения

Т**

, а

при дальнейшем росте

М убывает

от

7*** до

о

. Число

Т * *

харак­

теризует максимальный размер области

£)(Т),

внутри которой еще

симальную длину отрезка,- на котором может быть найдена

у(х)

при­

менением к

системе

уравнении

( 1 9 ' ) ,

(<Я), (26) метода

последова­

тельных приближений. Исследование показывает, что выражения

2ЙГ

JUL

(

3 7 )

имеют максимум при

Ж =

в то время как выражения

\M+l<pJ

'

ЬЛ+1%п

монотонно убывают с ростом М,

принимая при

M=*stpJ

значения,

совпадающие

б максимальными

значениями выражений ( 3 7 ) . Отсюда

сле­

дует, что максимальное значение Т**получается

при M^fifjl

и

оно равно

т " = Ч

т

>

вд)-

(

3 8 )

Решение уравнения

(28) принадлежит при этом шару

»<Р-<ЯЫ

l(fj.

(39)

Замечание 2 . Теорема 2 гарантирует сходимость метода последо­

вательных приближений к единственному решению, если размеры

об­

ласти ФСТ)

достаточно малы,

то

есть мал параметр Т . Оама

возможность применения метода

последовательных

приближений

для