Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

n(z*)

<

п(о).

(28)

Из формулы (25) видно также,

что при выполнении этого

условия,луч

действительно

будет иметь точку

z *

точкой

заворота,

если

при

o<z<z*+e

(е>о)

функция

m z )

монотонно

убывает.

Действитель­

но,

если условие

(28) выполнено,

то, положив

p=n(z*)t

мы можем

убедиться

с одной

стороны, что такой луч, выходящий из точки

ос°

действительно

существует,

так как

nfz*)

с другой

стороны,

записав

в окрестности точки %* уравнение

луча

в виде

sin{l°,z)

=

ntz*)

п(%)

получаем,

в силу

монотонного

убывания

ntz),

что луч существует

только для zuz*.

Точка (г' z*) (см. рис.4)

является при этом

вер­

шиной луча,и луч симметричен

относительно этой точки. Участок лу­

ча,

отвечающий

изменению

т

от 0 до %*, описывается уравнением

(22) . При этом

P

d Z

'

р = Ш2«).

(28)

' • = 5J V r r t z ) - p 2

Участок луча,

отвечающий

значениям

г>г*

описывается

уравнением

\-ЕPdz-

(29)

Z

Г

Z*

Z*

t ( № ) , z ) = l

+ \

(30)

J Упг (г)-р*

J

\r?(z)-p*

о

1

Отсюда

.

z(j},o}=2\-0=M=i.

(3D

о

'

Итак, в предположении, что коэффициент

n ( z )

убывает при возра­

стании

z

от о

до

z'+e,

мы показали, что луч с параметром

p = n(z*/(

вышедший из начала координат,

заворачивает на линии

г-z*

и возвращается на прямую

z = o . Предположим теперь,

что на

отрезке Lo,И] (Н>о)

производная

от функции

п.(%) непрерывна

и отрицательна:

n'(z)<o,

0= £ Z*/7 .

(32)

Тогда из предыдущих рассуждений

ясно, что для любого

z*elo,H]

есть луч, внходжцмй из начала координат,

который

заворачивает при

z = z *

При этом чем меньше угол

а

между

осью

z

и касательной

к лучу в начале координат,

тем меньше значения

параметра

луча

р

^nioisinoi

=

nlz")

и,

следовательно,

больше

z* . Значению

р = п(о)

соответствует, очевидно,

х*=о,

а значению

р=п(Н)-та-

чение

z"= Н . Мы покажем ниже, что в предположении (32) сформули­

рованная выше обратная задача имеет единственное

решение. Но преж­

де, чем это сделать,

уатановим,при

каких условиях на зункцию

п(г)

решения уравнений Эйлера являются

кратчайшими линиями в метрике

( 2 ) . Из вариационного

исчисления известно, что для того,

чтобы

некоторая

кривая

Г(х°х),

удовлетворяющая

уравнениям Эйлера бы­

ла кратчайшей линией в метрике

(2) достаточно,

чтобы эту кривую

можно было окружить полем экстремалей функционала

( I ) , то есгь

таким семейством решений уравнений

Эйлера

Г(х°$),

которые

не

пересекаются друг с другом (за исключением точки

х° , из которой

все

они выходят). Очевидно, что условие

(32) еще не гарантирует,

что лучи

fVjo),

проходящие

в полосе o « z $ H , не пересекаются

под меньшим углом к оси

% и, следовательно,

заворачивающие при

больших значениях, могут

тем не менее пересекать лучи с большим

углом

выхода (см. рис.5). Чтобы лучи,

отвечающие разным углам вы­

хода,

не пересекались друг с другом,

необходимо и достаточно, в

силу

симметрии луча

относительно его вершины

( i*, z* ) ,

чтобы лу­

чи с меньшими углами

выхода имели бы большие

значения

1 * или,

что одно и то же, большие значения р . Так как меньшим

значениям

угла

выхода соответствуют и меньшие значения параметра

луча р ,

Рис.5

Воспользуемся для этого

формулой (28) . Перейдем в интеграле

от

переменной интегрирования %

к переменной

J = n ( z ) .

(33)

В силу условия (32) существует

и обратный переход

от

к

z :

г=У1Г^,

(34)

причем функция Ж{ср

непрерывно дифференцируема

и

df'(^)=j^^ <0.

Преобразуем последний из интегралов, проведя интегрирование

по

частям:

р

Заметим теперь, что для всех лучей, вершины которых лежат в поло­

се o^zsW,

значения параметра р^пЮ) = (^0. Кроме того

Jf'lyJ <0.

Поэтому при выполнении неравенства

& « J [ M «

< 3 6 >

будет

выполнено неравенство

j j j < 0 ,

что и обеспечивает регуляр­

ность

семейства лучей

/7/)),

проходящих внутри полооы

о^г^Н.Пре-

образуем условие (36) ,

записав его

в терминах функции

n(z) •.

(Inntz))"

i.

d z l

^ « r t n ( Z ) j '

tt'(Z)

~

[ ( & l f l ( « ) ' ] S

Так как

n'tz)<o,

то условие

(36)

эквивалентно

условии

Ш

П(2))">о.

(37)

Итак, условие

(37)

является достаточным условием регулярности

се ­

мейства лучей

Г(р). При выполнении его каждая из кривых

Г(р)

яв­

ляется единственной кривой, соединяющей точки ( 0 , 0 ) , 1р,о)

плоско­

сти 7 , z ,

и она является кратчайшей

в метрике

( 2 ) . Условие

(37)

например, вполне достаточно, чтобы семейство кривых

Г(р)

было ре­

гулярно для р достаточно

близких к нулю. Действительно,

из фор­

мулы (35) видно,

что при

р —г qo=n(0)

интеграл стремится к нулю

(при условии непрерывности

n"(z>), а внеинтегральный член

отремит-

оя к - о о . Поэтому

при

р

достаточно

близких к <j0

будет выполнять­

ся *

ся неравенство

< о.

Но значениям

р , близким к

<£„,

отвечают лу ­

чи, для которых р

близко к нулю. Отсюда и следует

сказанное

вше .

Невыполнение условия (37)

может привести к тому, что при

р

доста­

(32)

только при одном значении z=o, то можно найти такие функции

n(z\

для которых все лучи собираются в одну точку. Примером та­

кой функции является функция n^=^f{ji

(А>о1

Нетрудно прове­

рить,

используя формулу (28) , что все лучи, выходящие из начала

координат, в этом случае фокусируются

в точку %

оси г.

Перейдем теперь к решению обратной

задачи. При этом мы будем

предполагать, что выполнено условие (32) и кроме

того функция

Т„(р)

(см. формулу (24)) непрерывно дифференцируема. Последнее

Покажем, что в этом случае,

используя

имеющуюся информацию ( то

есть функцию

г0 (р)),

нетрудно

найти параметр р , отвечающий

кривой

Г(р).

Действительно,

в силу

соотношения (21)

и мы, зная

то(р),

находим соответствующий кривой Г(р)

параметр

луча. Тем самым каждому значению р

ставится в соответствие

опре­

деленное

значение р . В результате

мы находим р

как функцию

р--

J>-J>(p).

Так как выше мы установили, что p-n(z*),

то мы тем самым знаем и

функцию 'n(z)

в вершине луча

Г(р).

Однако нам неизвестно

соот­

ветствие

между

р

и

г ' , Если бы его удалось найти, то задача бы­

ла бы решена.• Действительно,

тогда

найдя с помощью дифференцирова­

ния функции

т„ [р)

параметр р

, мы нашли бы затем по р

значе­

ние z*, а затем и

n(z*) = р.

А так как При выполнении условия

(32) г* может принимать всевозможные

значения из отрезка

[о, Н], то

тем самым нашлась бы функция

ntz)

при o<,z<H. Итак, задача сво­

дится к отысканию соответствия между

р и z* . Обозначая,

обрат­

ную функцию по отношению к

n(z) = о,

через jV[o),

из соотношения

n(z')=p

находим

z*=Jflp).

(39)

Для отыскания функции Jf(p)

можно использовать

соотношение между

р и р . С одной стороны, как мы уже говорили, функция

_р(р)

нам

известна, с другой

стороны

р=2г*.

Поэтому, используя

формулу

( 2 8 ) , получаем