Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

по отношению к функции

J f ' ( p ) .

да)

= 2 J

(41)

Уравнение (41) легко решить в явном

виде,

используя прием Абеля.

Умножим обе части равенства на

и проинтегрируем ло p в

пределах от

У до

^„ f ^ s ^ J . Тогда получим

J "

J>ip)dp

_

f° d p

f

2 p j T f o j

rfg

(42)

Заметим, что

мы можем при этом считать

известным, так как

В повторном интеграле,

стоящем в правой части равенства

( 4 2 ) , из­

меним порядок интегрирования. Это легко

сделать,

если

заметить,

что область

интегрирования в переменных

р,

имеет вид

прямоуголь­

•

dp

с 'ipjf'lq)

J

4и*~

J

93

9

Откуда, учитывая, что

</V?0j=o,

находим

W

4

J f

| ,

* > « , . .

:

<43,

Эта формула и устанавливает

соответствие

(39) между г * и

р.

Об­

условий решения обратной задачи является условие

монотонного

убы­

вания производной

то (р)

с ростом р . Действительно,

ранее

мы выяснили, что с ростом f

параметр

р убывает

(при условии

ре­

гулярного поведения семейства

лучей

Гул),

но параметр р

как

раз и равен значению этой производной. Функция

т„(у°) таким

об­

разом должна быть обращена выпуклостью вверх.

тим также следующее. Полученное

решение обратной задачи имеет

смысл в том случае,

когда функция п(%)

имеет отрицательную про­

изводную и такова,

что функция

T(j3,o)

непрерывна и монотонно

если допустить

существование у функции zjj»

точек возврата. В

результате мы получим, что

годограф может иметь некоторое количе­

ство "петель"

(см. рис.7).

В этом случае в интервале расстояний

jod < f><J>Z каждому значению'

jo соответствуют три кривые Г(_р) , удовлетворяющие уравнениям

Эйлера. На каждой из этих кривых реализуется локальный минимум

функционала ( I ) . Естественно, что кратчайшая линия здесь тоже,

только одна, она отвечает глобальному

минимуму функционала ( I ) .

графе действительно

реализуется в реальных условиях распростране­

ния продольных волн

в мантии Земли. Сейсмологи даже могут в

от­

хода сигнала по лучу как функция угла прихода луча в эту

точку.

Решение одномерной обратной задачи в этом случае также не

пред­

ставляет затруднений.

Изложенный выше метод

решения обратной кинематической

задачи

в предположении

n'lz)<o

принадлежит Г.Герглотцу и Е.Вихерту.Ояи

же отметили, что

если не

требовать выполнения условия ( 3 2 ) , то за­

ции niz)

имеет вид, изображенный на рис.8, то она может быть

найдена

по

функции TO(J>)

однозначно только на отрезке [о, z 1 ] . В

П

годографу

% (jj), был выяснен в работе М.Л.Гервера и В.М.Маркуше-

вича

[ 4 5 ] . Авторы показали, что на участке

[z±,

z j функция

n(z)

может быть задана "почти" произвольно, кроме того сама точ­

ка

гг

также не может быть определена. Область

x ^ z ^ z ^ называ­

ется в сейсмологии волноводом, прямая z= z

оеью волновода. Свя­

зано

это название о тем, что если выпустить из некоторой точки х°

(z x

< z°<z2)

луч под достаточно малым углом наклона к оси вол­

новода, то луч будет виться (подобно синусоиде)

вокруг оси волно­

ное решение на отрезке 1о,г°1, то,пересчитав

годограф

на

плос­

кость

z = z°, мы придем к прежней задаче. Оказывается,

что на от­

резке

[o,z°]

обратная кинематическая задача

тоже, вообще

гово­

ря, не имеет.единственного

решения. В работе

[47]

показано, что

однозначность

имеет местб,

если на участие, [о, z°]

функция nrz )

функции ncz),

то по таному,набору годографов функция

п(г) может

быть найдена

однозначно. -

Из других работу связанных с одномерной обратной

задачей .от­

метим работу

[46], в которой выяснены необходимые и достаточные

условия того,, чтобн функция

была годографом по отноше­

нии к одномерной ореде со скоростью

V№=TUX)

> и

Работы [ 8 ] ,

L

.

I h—f+iw*

а )

I ц'т-куш=о,

y'd) + И yd) = о,

где А, И - конечные действительные

числа,

qioc) - непрерывная на

[а,Ы

функция

( а и

I - считаются конечными). Требуется

найти

у(зс), если известны собственные числа

Л а

этого дифференциаль­

ного оператора, то есть такие

Л , при которых существуют нетриви­

альные решения операторного

уравнения

и известны

соответствующие

им нормы

Цуп1

собственных функций

% Ш = ytx, ЛJ ,

(у (а, Л„) = / ,

уча, ДЛ)

= к) :

(3)

а

Мы покажем сейчас, что между этой обратной

задачей и рассматри­

вавшейся нами ранее задачей о колебаниях струны существует

тесная

связь. А именно, рассмотрим дифференциальное уравнение

" «

=

« т а - ^

а

(4)

в области

<£) = [ f x , ^ ) :

аах4&,

о«U<=•<=} при следующих начальных

и граничных условиях:

Шэс,о) = о,

Щ(х,о) = &(х-а),

(5)

u.xia,i)-hma,h=o,

и

(t>,l)+ Ни(Ц)=о.

(6)