Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Пусть обратная задача для уравнения (4; заключается в том,

что

известно

во все моменты времени

1>о

решение

задачи (4) - (6)

при

х = а

U(a,l)

= fd),

(V)

требуется

найти по функции

fd)

коэффициент

уравнения

(4)

у(х).

Нетрудно

показать аналогично

тому, как

это было сделано

раньше,

q(x). При этом для однозначного построения функции

qix) доста­

точно функцию $d)

задать на отрезке

С 4 ^ $ 2 ( £ - а) .

Необходи­

мые и достаточные

условия на функцию

fdl на этом отрезке, гаран­

достаточно потребовать непрерывности второй производной от

fd)

и выполнения

некоторых

условий

при

1=о.

Вид второго

из граничных

условий

(6) при этом

не

играет

никакой роли. Параметр к , входящий

в первое из граничных условий,

мы при желании

тоже могли бы

счи­

тать неизвестным, он определяется функцией

fd).

Но определив

у(х)

по значениям

fd)

на

отрезке

о « Ц

г(6-а),

мы можем най­

ти

u(a,i)

и,

следовательно,

•fd)

при любых

I

, в том числе и

при i>2(&-a)t

как решение прямой

задачи

( 4 ) - ( 6 ) . Это означает,

что

функция

/(/)

однозначно

определяется

своими

значениями

при

o^i

« 2{&-а).

В связи с

этим

сформулировать

конструктивно необхо­

димые и достаточные условия на функцию

fdl

при

ОЙ-^<°°, гаран­

тирующие

существование обратной

задачи,довольно

сложно. В дальней­

шем мы просто

будем считать, что

функция -fd)

является реализа­

цией

при" х~а

решения задачи

(4)-(.6), при некоторой непрерывной

функции

qlx)r

что равносильно

предположению о существовании реше­

ния обратной

задачи.

Исследование

обратной

задачи, подобной

( 4 ) - ( 7 ) ,

мы проводили

нения ( 4 ) , удовлетворяющие однородным граничным условиям ( 6 ) ,

в

виде произведения двух функций, одна из которых зависит только

от

переменной х , а вторая только от

переменной I :

U(x,l)=

y(x)-Td).

(8)

Т"(1) + Я Т(1) = о.

(9)

Из спектральной теории оператора L известно,

что отличные от ну­

рывности функции

у(х)

и конечности отрезка

[а,6]:

могут

суще­

ствовать только при дискретных значениях

A = j\n, которые

вещест­

венны и имеют точкой сгущения бесконечно

удаленную точку

Л = +- <^=.

Числа Я„ называются собственными числами оператора

L

,

а

отве­

чающие им решения

ynixj

уравнения (2)

при

Я = Я П

-

собствен­

тать, что yn(aj=i

(и, следовательно, t^{a) = A) .

Это всегда

можно сделать, так как собственная функция в точке

х = а.

не мо­

жет обращаться в нуль. Действительно, если предположить, что

цп^(а) = о1

то из граничного условия на левом конце следует,

что

ij^(a)~o,

и тогда

в силу единственности для уравнения

1ц

=Лпу

задачи Коши:

yjx)*=o.

задача отыскания собственных чисел

и соб­

этой

задачи

известно

(см., например, [18 , 88 ,

90, I 0 5 J ) , что каж­

дому

собственному

числу

Ап

соответствует ровно

одна

собствен­

ная функция

yjx),

все

собственные функции

у^Ос)

ортогональны на

[а,&]

между собой и образуют

полную систему в

L z [ a ,

Из того,

что собственные

числа

Яп

имеют точку сгущения

только на •<-•=-=>, сле­

дует также, что существует только конечное число отрицательных

собственных

чисел. При определенных условиях (например,

qix)>o)

их может вообще не быть.

Общее решение уравнения (9) представляет из себя произвольную

линейную комбинацию частных решений

sin. (T^l,

cos /Л^!

:

7 ^ )

^A^sinffiJ.

+ 6 л с о 5 { л \ 4 . .

(Ю)

Для простоты мы будем

считать, что

Л=о

не является собственным

числом оператора

L . Воспользуемся

теперь полнотой

системы собст­

венных функций

ул(х)

для

построения решения задачи ( 4 ) - ( 6 ) . Рас­

(4) вида

u^ixAl^T^il-j^m:

Шх,{)

=

(Ansin{7'n{+dn.cosiKnl)-Urilx)t

( П )

n-i

i

и подберем коэффициенты

dn,

&к

так .чтобы были выполнены началь­

ные условия

( 5 ) . Используя ортогональность собственных функций

на

отрезке [а,

&~]

и условие y a ( a ) = i , находим

n - i {Tjp*

4

ма-Лиувилля, то есть

Ап,

lltjjl,

n. = i,2,...

.

Тогда

по формуле

(13),

положив в

этой

формуле

s c = a , мы можем найти данные

обратной

задачи ( 4 ) - ( 7 ) :

Покаже:; теперь,

что

верно

и обратное;

если

известна

функция

•fd),

являющаяся проекцией

решения задачи (4) - (6)

на

многообразие

ос=а,

1^0,

то можно найти данные

обратной

задачи Штурма-Лиувилля. Тем

самым будет

доказана

эквивалентность

задачи

(4) - (7)

и обратной

за­

дачи Штурма-Лиувилля. Действительно,

пусть

U(x,i)

-

решение

за­

дачи

(4) - (6)

и

-f(l)=

uta,t).

Тогда в силу

изложенного

выше,

/(1)

предсгавима

в виде

(14), но при этом

и

IFyJl

неизвестны. Из

форкулы (14)

видно,

что отрицательным

значениям

Ла (которых

конеч­

ное число) отвечают

члены ряда,

неограниченно

растущие

при

^ - » - ~ :

( А < о ) .

Поэтому, исследовав

асимптотику

функции

при

=»=, мы можем

сразу

найти

Я а

и

luj,

для

Л л < о ,

если таковые имеются. Будем

считать, что ыы это

сделали. Тогда, переходя в случае необходимос­

ти к НОЕОЙ функции

•fdi,

являщейся

разностью между

fcl)

и час­

тичной суммой ряда,

стоящего

в правой части равенства

(14), и

отве­

чающей отрицательным

Л а

, и производя перенумерацию

A M

мы можем

считать, что в формуле (14) все

Лп>о.

Рассмотрим

синус-преобра­

зование Фурье функции

ftl)

: