Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.06.2024
Просмотров: 185
Скачиваний: 0
Используя формулы |
(15), (15'), этому равенству |
можно придать вид |
|||||
|
(, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(.1.7) |
|
|
I у, |
1 |
' |
" |
' ' |
" |
где интеграл, стоящий справа, |
понимается, |
как |
интеграл итилтьеса, |
||||
а функция р(Х) |
определяется |
равенством |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
Здесь |
£ ( Л - Л Л ) - |
функция Хевисайда, а |
символ |
означает ,что |
|||
|
|
|
|
|
|
|
л к < А |
суммирование проводится по тем |
п, |
для |
которых |
Я„_<Л. Функция |
|||
j>(A) |
называется спектральной функцией. Из формулы (18) видно, |
||||||
что она является кусочно-постоянной функцией, имеющей в точках |
|||||||
Я =Л„ |
конечные |
скачки, равные |
~ - |
(см. рис.9/, и непрерывна |
|||
в этих |
точках спсава. |
|
|
|
|
|
|
л ь |
|
|
|
|
11Уз11; |
|
|
|
|
№11 |
|
|
|
1!п,|(г |
|
|
|
|
о |
х 3 |
К |
|
|
|
Рис.9 |
|
|
|
Функция j>(A) |
таким образом, несет в себе информацию и о |
собст |
||
венных числах |
и о нормировочных коэффициентах |
lyjl |
Поэтому |
обратная задача Штурма-Лиувилля обычно формулируется следующим об
разом: задана |
спектральная функция |
р(А) |
оператора |
L |
, требует |
|||
ся найти этот |
оператор. |
|
|
|
|
|
|
|
Отметим некоторые интересные свойства собственных функций опе |
||||||||
ратора Штурма-Лиувилля, |
связанные с функцией |
/>(А), |
|
Пусть |
||||
<?(a?)eLzLa.,e>J- |
|
Тогда |
построенный |
для нее |
ряд Фурье |
по |
собствен |
|
ным функциям уп(х> |
оператора/- |
: |
|
|
|
|
ПО
0 " 0
где |
коэффициенты Фурье, |
определенные формулами ( 1 5 ' ) , сходит |
ся |
в среднем к функции ^fir). |
Таким образом, |
Используя спектральную функцию р(И\ этой формуле можно придать вид
|
|
|
|
|
|
д{х) =^ ?ЦК)-у&гЛ) dj}(\). |
|
|
|
|
(19) |
|||||||
Формула |
(19) |
является двойственной |
к формуле |
(15) . Если формула |
||||||||||||||
(15) |
функции |
<^(х)е L2[a,ij |
|
ставит |
в соответствие |
образ |
Фурье |
|||||||||||
^ЧД), |
то |
формула |
(19) показывает, |
как |
по |
образу |
Фурье |
найти ори |
||||||||||
гинал. Подставим |
выражение для |
^(Я) |
из формулы |
(15) в формулу |
||||||||||||||
(19) . |
Тогда |
получим, что для |
любой функции |
q(x)a |
h^la^l |
выпол |
||||||||||||
няется равенство |
|
^ |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
д(х) |
= jy(x,M |
•Jylx,, |
Л)$(ха) |
dxa |
cLpd). |
|
|
(20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
-СО |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Символически |
это |
равенство |
можно записать |
в виде |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
О - О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
у fx, Я) |
y(xOJl) |
djHl) |
|
= |
§Чх-:хО. |
|
(21) |
|||||
Действительно, если обе части равенства |
(21) |
умножить на |
произволь |
|||||||||||||||
ную функцию |
д(Хо)£ 1*г[а,ё] |
|
и проинтегрировать по |
х„ в пределах |
||||||||||||||
от а |
до |
ё> , |
то мы получим равенство |
(20) . Формула |
(21) |
выражает |
||||||||||||
свойство |
ортогональности по |
Я |
функций |
у fx, Я), |
отвечающих |
раз |
||||||||||||
личным х |
и |
х„ |
е Са,В]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим также, что с помощью спектральной |
функции JD(A) фор |
|||||||||||||||||
мула |
(14) может |
быть представлена в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
fU)=J |
|
|
|
|
|
dpiA). |
|
|
|
|
(22) |
- о о
При этом связь между функцией -fd) и />(Л) проявляется более отчетливо.
2 . Сингулярный случай. Спектральная постановка обратной за дачи сохраняет смысл и в том случае, когда отрезок {a,ll становит ся бесконечным (|=<*эГ или (в случае конечного fa,О) функция
I I I
0(х) |
|
|
неограниченно растет при |
х - ^ £ . |
В этих |
случаях |
граничное |
|||||||
условие |
в точке |
сс=а |
задается |
в виде |
( I |
) , |
а граничное |
условие в |
||||||
точке |
х=$ |
монет либо задаваться, |
либо |
не |
задаваться |
совсем.По |
||||||||
следнее зависит от поведения функции .<£(х) |
при хс-*В, В зависимос |
|||||||||||||
ти от |
поведения |
q(x) |
могут реализоваться два |
различных случая: |
||||||||||
I ) |
предельной точки, |
2) предельного круга |
( C M . [ 9 0 J ) . |
В |
первом |
|||||||||
из этих случаев не нужно задавать никакого граничного условия |
||||||||||||||
при |
х= |
£г |
во втором |
случае такое |
граничное условие |
необходимо |
||||||||
для однозначного выделения решения. В обеих случаях |
существует, |
|||||||||||||
по крайней мере, одна спектральная функция |
j>(A) |
(в |
случае пре |
|||||||||||
дельной |
точки - |
равно |
одна), монотонная |
на |
(-•=-=•, «<0 |
|
(j3t°°) = o) |
|||||||
и такая, что имеют место равенства |
(15), ( 1 9 ) , |
(21) |
и равенство |
|||||||||||
Парсевачя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^f(x)dx |
= |
^ ^ ( Я ) |
&ра) |
|
(23) |
||||
|
|
|
а |
|
|
™" |
|
|
|
|
|
|
для любой финитной функции |
q(x)eLz[ai&']. |
|
Финитность |
д(х) |
озна |
|||||||
чает, что |
д(х)=о |
на участке |
|
при некотором конечном £'. |
||||||||
|
В дальнейшем мы будем рассматривать только случай |
|
счи |
|||||||||
тая, |
что |
qix) |
непрерывна |
на fa,°<=>. В этом |
случае, если |
|
||||||
|
|
|
|
|
qlx)>-K |
х\ |
|
|
|
|
(24) |
|
где |
к - |
некоторая положительная |
постоянная, |
то имеет место |
слу |
|||||||
чай предельной |
точки |
(см. [90] , |
стр.149) |
и достаточно задать |
гра |
|||||||
ничное условие |
только на левом конце х= а. |
Спектральная |
функ |
|||||||||
ция |
р(А) |
в этом случае только |
одна. Мы будем в дальнейшем всю |
|||||||||
ду считать, что выполнено условие |
(24) . |
|
|
|
|
|
||||||
|
Покажем, что и в случае |
|
между |
обратной задачей для |
||||||||
уравнения |
(4) |
при условиях |
(5) |
и первом |
из |
условий (6) |
существу |
ет связь, аналогичная случаю конечного отрезка. В частности.функ
ция |
{(i)=a(a,i) |
|
связана |
|
с |
j>(A) |
формулой (22) . Представим для |
|||||
этого решение |
задачи (4) - (6) |
в виде |
|
|
|
|
||||||
|
|
u(x,l) |
= |
j |
й(АЛ) |
у(х,А) |
dptA), |
|
|
(25) |
||
где |
ulA,i) |
- преобразование |
Фурье по функциям |
ylx,A) |
(у(х,А)- |
|||||||
решения уравнения |
1~у = Ау |
|
при условиях у(а,Л)=1, |
y'la,A)-h |
): |
|||||||
|
|
|
йа,Ь |
|
= |
j |
u.lx,l)- |
у(зс,А) dx. |
|
|
(26) |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
Последнее возможно |
в силу |
формул ( 1 5 ) , |
( 1 9 ) , так |
как функция |
|
112
ulx,i) |
|
финитна при каждом фиксированном |
I |
(uex,i) |
= o |
при |
||||||||||||||
[•х-а)?± |
) |
|
и непрерывна в |
области |
ж - а « 4 . |
Поэтову формулы |
||||||||||||||
125), |
(26) |
имеют место. Для |
|
|
|
|
из равенства |
(4) |
следует |
|||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
й и |
+ |
Л й |
= 0 |
|
|
|
(i>0), |
|
|
|
(27) |
|||
а из равенств |
(5) - |
граничные |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
й(А,о>=о, |
|
|
|
|
< Z t |
( A , o ) = J . |
|
|
|
(28) |
|||||
Решение уравнения (27) при условиях (28) имеет вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Поэтому для |
решения |
ulx,i) |
из формулы |
(25) |
получаем |
представле |
||||||||||||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* и п Ш |
, „ _ Л ч |
|
|
|
|
|
(29) |
|||||
Отсюда, полагая |
х = а |
и используя |
условие |
yta,7L)=it |
|
|
приходим к |
|||||||||||||
формуле |
( 2 2 ) , |
связывающей данные обратной |
задачи для |
уравнения |
||||||||||||||||
(4) - (6) |
со |
спектральной |
функцией |
jo(A). |
|
По функции |
jo(A) |
мы мо |
||||||||||||
жем найти, таким образом, функцию |
$(.1) |
|
и, |
наоборот, |
|
по функции |
||||||||||||||
fd), |
обращая синуспреобразование Фурье, |
найти |
jo'fA). |
|
||||||||||||||||
Единственность решения обратной задачи Штурма-Лиувилля |
на |
|||||||||||||||||||
[0,00) |
|
следует |
из теоремы В.А.Марченко, |
который показал, что в |
||||||||||||||||
случае совпадения с точностью до произвольного множителя спект |
||||||||||||||||||||
ральных функций двух дифференциальных операторов L |
(отвечающих |
|||||||||||||||||||
различным |
fyffi |
и- различным h ) |
эти дифференциальные операторы |
|||||||||||||||||
совпадают. Мы можем теперь доказать |
единственность |
этой задачи |
||||||||||||||||||
и другим путем. Так как по функция |
|
|
|
как мы уже убедились |
||||||||||||||||
ранее, |
функция |
q(x) |
(в постановке |
|
( 4 ) - ( 7 ) ) |
находится однозначно, |
||||||||||||||
а между |
$tl) |
и |
^э(Л) |
существует |
взаимно-однозначное |
|
соответст |
|||||||||||||
вие, то |
o,fe>Q |
находится однозначно по j>iX). |
|
Вопросы, |
связанные |
|||||||||||||||
с построением |
по функции * jo(A) |
функции |
|
<£(х), |
изучены в работе |
|||||||||||||||
И.М.Гельфанда |
и Б.М.Левитана |
[ 4 2 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . Обратная задача для одномерного уравнения теплопроводности. Обратную задачу Штурма-Лиувилля можно использовать для исследова ния обратных задач, связанных с уравнением' теплопроводности.Рассмотрим следующую задачу вполне аналогичную задаче (4)-(.7). Тре-
113
буется найти функцию у(оо на [а, в], входящую в уравнение
если известно, что решение граничной задачи для уравнения (30) при начальных условиях
|
|
|
a № , o ) = t e - a ] |
(31) |
||
и граничных |
условиях (6) есть заданная функция ( 7 ) . |
|
|
|||
Решение этой задачи можно свести к обратной задаче Штурма- |
||||||
Лиувилля для |
оператора |
L , определяемого формулами ( I ) , |
если |
по |
||
заданной функции |
<fd) |
построить функцию jo(A). Найдем |
для этого |
|||
овязь между |
/rf; |
и |
j>(A). |
Выразим решение задачи (30) через |
||
собственные |
функции оператора |
L . Представляя решение |
-и(х,1) |
в |
||
виде |
|
|
^ |
|
|
|
Шх,1) |
= | й(Л,1)-у{х,Ю |
dpCA), |
|
(32) |
|||||
|
|
- е ю |
|
|
|
|
|
|
|
из равенства (30) |
получим для |
образа Фурье функции u(x.,i) |
урав |
||||||
нение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
+ Я £ |
= о. |
|
|
(33) |
||
Начальное условие (31) |
переходит |
в |
условие |
|
|
||||
|
|
|
и(.Л,о)=1. |
|
|
(34) |
|||
Решение уравнения |
(33) при условии (34) легко находится |
|
|||||||
|
|
й(Л,{)= |
|
|
е~М. |
|
|
||
Поэтому из формулы |
(32) |
следует, |
что |
представление для |
и(х.,1) |
||||
через собственные |
функции оператора |
L |
имеет |
вид |
|
||||
|
a f e M J - J e * |
у№,Я) |
djxto. |
|
(35) |
Конечно, эту формулу |
мы могли бы получить и применяя обычный ме |
|||||||||
тод разделения переменных, как это сделано в п.1 для уравнения |
|
|||||||||
конечной струны. Полагая в формуле |
(35) |
х = а , |
получаем формулу, |
|||||||
связывающую |
{(.I) со |
спектральной |
функцией оператора |
L: |
|
|
||||
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
ша,1) =/d) |
= | е " я |
dpiXi. |
|
|
(36) |
||||
Формула (36) показывает,что |
{U) |
есть образ Лапласа при |
i>o |
обоб |
||||||
щенной функции j>'(/l). |
Зная функцию |
/ri), нетрудно построить по |
||||||||
ней функцию |
jOtflLTaK |
как по |
р(А) |
|
коэффициент |
q,(x)eC[a& |
нахо |
|||
дится однозначно,то отсюда следует,что |
функция pi) |
однозначно |
оп- |
114