Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

ределяет

коэффициент

ц(а:)еС[а,£]

уравнения 60). При £->-«>° формулы

(32)-(36)

сохраняют свой смысл,при этом спектральная функция J>(A),

которая

завиоит от

стремится к спектральной

функции,отвечающей

случаю

Отсюда

следует,что

в случае

функция

также

однозначно

определяет

коэффициент

^(ос).

лена следующими обстоятельствами: I ) область пространства

z , х

(% = ( z t , z z t z n ) ) ,

в котором рассматривался волновой

процесс,

пространство z ; 2)

коэффициенты уравнения зависели только от ос;

3) данные обратной

задачи были заданы на всей гипершюокоети

x=a>nsi при 4»о.

Естественно, что в аналогичной постановке

может быть исследована и одномерная задача в пространстве Z, ос

му уравнению (30) . Однако, эти постановки обратных

задач отличают­

ся тем недостатком, что для определения одной (или нескольких)

функций одного переменного мы задаем функции (п-и)

переменного

zit...,

z^J. Более естественно было бы для определения функции

о/яу,

например, в области х » о , задать

решение как функцию i

в

фиксированной точке пространства ас, z

. Ряд результатов в такой

постановке получен для уравнений гиперболического

типа

(см,

f23 ,

125,

130, I 3 3 J ) . Однако непосредственное исследование

таких

за­

типов,

заключающихся в .отыскании коэффициента ф 1х)

при младшем

члене

уравнения по информации о решении уравнения в

фиксированной

Пуоть в области

пространства

ос, z , представляющей собой

прямое произведение отрезка [а.,&] оси

ос ( & может быть и беско­

нечным) на область 50о пространства

х

( z =

(zi,zx>...,zj)задано

дифференциальное уравнение

|^

= Л1ки + и х

х -

q,ec)tL,

(37)

U(oc,z,o)

= o,

ii4 /'x,z,0)=S(z-zo )S(x-a)I

к=а,,

(Зо;

и(х,%,о)

= 8(x-z°)-o(x-a)t

.

а граничное условие

имеет вид

uja,z,i)-h

u(a,z,l)=o,

u^tf, %,{) +HutS, z,i)

=o,

(39)

И

г 0

-

Здесь

Г, -

граница области

£>e , а

I

-

некоторый линейный диффе­

ренциальный оператор первого порядка

(например,

tu=u

или

tu-

^ ,

п

-

нормаль к С )•

Пусть в качестве информации для

оп­

ределения

<2fx) задано решение

задачи

(37)-(39)

в некоторой

точ­

ке

fa,z*)e£)

граничной плоскости

х = а :

u(a,zU)

= №

&>о).

(40)

u(-x,z,l)=

jui/i,z,i)-

у(я,М dj>(l).

(41)

— CJ-O

Тогда для образа Фурье

U(A,z,l)

получим уравнение

9 £=М2и-Лй,

н.'=*,а

(42)

начальные данные

и граничное

условие

/ й / д - 0 .

(44)

Решая задачу

(42) - (44),

мы находим

й ( Л , г Д ) .

Таким образом,

функция ulH,z,l),

входящая

в представление

( 4 1 ) , нам известна.

Полагая в формуле

(41)

сс=а,

z=zi

и используя условие

y(a,K)=-i,

находим

^

fd)=

dp®

(±->о).

(45)

- О - О

В этом уравнении ядро a(A,z*-0

известно. Поэтому, если уравне­

ние (45) имеет

единственное

решение относительно

функции

jQ(A)

(jOf-°o)=o),

то находя ее

по

/(4), мы приходим далее к

задаче

построения по функции

коэффициента q,(x).

Принципиальным

нения (45) . В случае, когда оператор

имеет постоянные коэффи­

циенты и область ©„

совпадает со всем пространством z , уравнение

(45) соответствует

известным интегральным преобразованиям. Усло­

при

/2/-^сх=. Например, для п=1

и Mzu=uZT

решение задачи (42)-

(44)

имеет вид

/ z z

7

t

о,

loz-z°\,

Уравнение

(45) для

к=у

представляет собой в этом случае преоб­

разование

Лапласа,

а для

я = 2 - преобразование Бесселя, и одно­

Г л а в а

3

МНОГОМЕРШЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

что разыскивались одна ила несколько неизвестных функций

одной

переменной, входящих в дифференциальное уравнение, по той

или

иной информации о решении уравнения. Причем почти во всех

этих

I . Рассмотрим в трехмерном пространстве

ос - f c ^ . x ^ o y

диффе­

ренциальное уравнение

ин =

ли +у(х)и+ ьж8(х-хаА)

( I )

и задачу Коши для него во всем пространстве

с нулевыми начальны­

ми данными

Шх,*,Щ1ш0

= ЧЪхЩ.о-о.

(2)

л =

£ — +

+

э *

э х ^

ээс£

э х * '

а через S~(x-x.°,i)

- дельта-функция Дирака, сосредоточенная

в точ­

ке х°

в момент времени 4=о.

При известной функции рх),

которую

мы в дальнейшем будем предполагать

непрерывной, задача ( I ) ,

(2)

имеет

единственное решение. О том, как его найти, мы скажем

не­

сколько позже. Решение задачи ( I ) ,

(2) зависит

от точки

х" как

от параметра. Предположим теперь, что функция

ytx.) неизвестна,

• но извеотно решение задачи

( I ) , (2) в точках некоторой плоскооти

S во все моменты времени

I > о

u ( x , x ° - f ) | x e S = # x , x V > ;

<3)

требуется по функции f(o^x°i)

найти у(х). Относительно

парамет­

ра х°

мы предположим, что х°е S . Изучим структуру решения

зада­

чи ( I ) , ( 2 ) . Воспользуемся для этого формулой Кирхгофа, дающей

для неоднородного

волнового

уравнения

иы

=

л о-

+ <р(эс,1)

Через

/х-£/ здесь

обозначено расстояние между точками

х, $

(* = ( Ы * , Ь > >;

d$ =dit-diz-dia.

Применяя к уравнению

( I ) фор­

мулу

Кирхгофа,

сведем задачу

( I ) , (2) к эквивалентному ей интег­

ральному уравнению:

)x-£l«4

Используя свойства

& - функции, мы можем это уравнение привести

к виду: