Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Шх,х°1) = TL

unloc,oc°l),

(6)

где

члены ряда un(x,x°i)

находятся до формулам:

SU-lx-xV)

1ос-ас°|

'

( 7

)

/х-И«*

« . =

1 , 2 , 3 , . . .

'Покажем теперь, что все

UjX,X°l)=zO,

П=0,1?2,...

(8)

при

i < /ос-эС/.

Воспользуемся для этого методом математической

индукции. Для л = о

это равенство очевидно. Предположим теперь,

что оно верно

для

всех

ил(х,х°4)

при

n = i,zf...,

n-i.

Покажем, что для

я = п

оно тогда

также выполняется. В силу индуктивного предположения

подинтегральная функция

и.п_±($,х.°

1-\х-$\),

стоящая в формуле

( 7 ) ,

обращается в нуль при $ ,

удовлетворяющих

неравенству

i-lx-tl

< If

-х-1.

С другой

стороны,

если

i<lx-x°l,

го это неравенство

выполняется

при любых

$ , так как

/зс-х*/ $

+Ц-х\

я ,

следовательно,

i-!x-tl-l}-x°l

^l~!x-x°l<o.

Поэтому при 1<1х-х'1 функция

Un.-id, x°l-lx-H)so

при всех £

я

и.а{х,х°1)

также обращается в яуль. Из формулы

(6) получаем,

что

а(х,х°1)=о

при

1<1х-х°).

С физической точки зрения этот результат

совершенно очевиден .Дей­

ствительно, возмущения в пространстве

ас

передаются с конечной

до точки а

больше I

, то возмущение, произведенное

в точке х °

еще не успевает дойти до точки

х . Если условно изобразить четы­

рехмерное пространство

£, т}

как это показано на рис.10, то мно­

жество точек,

удовлетворяющих

неравенству r ^ / j - x - ]

представляет

представляет из себя проекцию на гиперплоскость

г = о

внутреннос­

ти пересечения

этих двух конусов и имеет в пространстве £

вид

эллипсоида

вращения с фокусами в точках

се, сс*:

1b(x,xU)={$:

1ос-Ы+Ix'-fcU-t}.

(9)

Таким образом,

Ъ<Х,Ъ°А)

tl =

i,2,3,...

Перейдем теперь к анализу, как

ujx,x°i)

зависят от <?(&'Из

приведенной формулы для

и„

видно, что оно от

совсем не

зависит. Из формулы (7' ) при n = i следует, что

и,(х,х°4)

зави­

сит от

линейным образом

U ^ l ^ J -

f f r ^ ) : ^ - t e ' - » M « - ^ ц

(Ю)

,

1

'

JJ J

|зс-£Н£-Х°|

*>

все же остальные

ил '" при

п>2

зависят нелинейным образом,

при­

чем зависимость эта от у

при' y=consl

имеет вид"

Каждая из

u^.(vctx°i)

* имеет"физический

смысл слагаемого в формуле (6), от-

121

'

-''

вечапцего

п -кратному рассеянию на неоднородностях среды

(неод­

нородности

связаны с функцией

) . Можно показать, что ряд

( 6 ) , составленный из

, сходится равномерно в любой конечной

области переменных

ос,I

(см./89],

а также

[ 1 2 8 ] ) , причем

?аЛ |с

оценивается через

(Щ^Т

и размеры этой

области. Перейдем те ­

перь к анализу обратной

задачи. Вспомним для этого, как мы посту­

ра , ставящего в соответствие непрерывной функции

ф fx)

решавие

и(х,х°,1), дается формулой

(10) . Следовательно, первый этап, с

которого мы должны начать,

это обратить интегральный оператор на

многообразии данных обратной задачи, то есть при

х, принадлежа­

щих плоскости 5 . На самом деле изучением только этого

этапа

мы

здесь и ограничимся по причинам, относительно которых будет

ска­

зано позднее. В то же время я хочу обратить здесь внимание,

что

ной задачи. Если, например, функция

уф

маха по норме в

С,

то с точностью до малых порядка

|gfz

имеет

место представление

u(x,x;i)

= «jac,oe^)

+

ил(х,х°^)г

поэтому,

зная

и(х,хЦ)

для

осеS,

мы находим на том же мно­

гообразии и функцию

ttjftCjX'-f).

В связи с этим задача обращения

оператора

(10)

при

асе 5

равносильна решению линеаризированной

обратной

задачи.

Посмотрим теперь, что из себя представляет задача обращения

уравнения .(10)

. Для этого преобразуем вначале правую часть

этого