Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.06.2024
Просмотров: 182
Скачиваний: 0
Здесь |
через |
dcj обозначен элемент телесного |
угла |
с центром |
в |
||||||||||||||
точке |
ос°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть теперь в формуле (15) точка |
ос |
пробегает |
множество то |
|||||||||||||||
чек |
заданной |
плоскости |
S , а |
х ° - фиксированная точка |
той же |
||||||||||||||
плоскости. Тогда задача |
обращения уравнения (15) представляет из |
||||||||||||||||||
себя следующую задачу: для всевозможных эллипсоидов вращения, у |
|||||||||||||||||||
которых один фокус неподвижен, а второй пробегает |
последователь |
||||||||||||||||||
но множество |
точек |
хе S , причем параметр |
4 |
|
(характеризующий |
||||||||||||||
при фиксированных х,х" |
эксцентриситет эллипсоида) |
принимает все |
|||||||||||||||||
возможные |
значения |
|
^>/сс-х°/; |
известны от функции |
<j(£) |
|
инте |
||||||||||||
гралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj (Ц$)$-х°]Чы |
= |
2 9 Г # - / х - я Т ] - м * № , « ; Я , |
(15') |
||||||||||||
|
|
|
S(x,x°l) |
|
|
|
|
|
xeS, |
x°eS; |
|
|
|
||||||
требуется |
найти по ним функцию |
^(f) |
. Задачи подобного |
рода .ко |
|||||||||||||||
гда |
требуется найти функцию по известным от нее интегралам |
|
вдоль |
||||||||||||||||
некоторого семейства |
кривых или поверхностей, |
|
принято называть |
||||||||||||||||
задачами |
интегральной геометрии |
[ 4 1 ] . В частности, |
полученная вы |
||||||||||||||||
ше задача была исследована в работе [123] |
(см. также [84 , 1 2 8 ] ) . |
||||||||||||||||||
Установлено, что в классе непрерывных функций |
|
|
|
четных |
отно |
||||||||||||||
сительно плоскости |
S , |
уравнение (15*) может |
иметь не более од |
||||||||||||||||
ного решения. Это означает, что четная, относительно плоскости S, |
|||||||||||||||||||
функция однозначно определяется своими интегралами по семейству |
|||||||||||||||||||
эллипсоидов. Конечно, и нельзя было ожидать, чтобы произвольная |
|||||||||||||||||||
функция <£/£) |
|
могла быть однозначно найдена по функции |
и±(х,х°1)- |
||||||||||||||||
Если вспомнить постановку одномерной обратной |
|
задачи для струны, |
|||||||||||||||||
то там для однозначности определения |
|
м ы |
задавали пару |
|
функ |
||||||||||||||
ций: |
|
u C x 0 , ^ = |
ft(4), |
|
|
и0.(х0,4) |
|
= fz(i). |
|
Можно показать |
и здесь, |
||||||||
что задание, |
наряду |
с функцией |
ui(x1x°4), |
дополнительно |
функции |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
^ |
u |
j ^ i |
) |
= |
ср(х,х;4), |
|
|
|
|
|
|||
где |
п |
- |
направление |
нормали к плоскости |
S, |
позволяет |
однознач |
||||||||||||
но найти уже любую функцию |
|
из класса |
С. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Изменим теперь немного постановку обратной |
задачи. А именно, |
|||||||||||||||||
будем |
считать, |
что точка х°, являющаяся параметром |
задачи, |
пробе |
|||||||||||||||
гает |
последовательно |
множество |
точек плоскости |
S |
|
и функция |
|||||||||||||
iLifyx'i) |
|
известна для точек |
х=х° |
при всех |
|
|
. Из формулы |
||||||||||||
(13) |
следует, |
|
что поверхность |
5(х?х°4) |
представляют |
из |
|
себя |
124
сферы, уравнение которых имеет вид |
|
|
||||
Поэтому |
задача |
отыскания |
по функции ud{x.°,x°,l) |
(x°eS, |
t^o) |
|
функции |
у(х) |
заключается, как видно из формулы |
(15), в отыскании |
|||
функции |
q(x) |
через известные от нее сферические |
средние |
|
||
|
|
/J |
9(ydu |
= Zu^x-x'^), |
|
(16) |
когда центры |
сфер пробегают множество точек плоскости S , а |
ради |
усы их произвольны. Эта задача, которая также относится к классу задач интегральной геометрии, рассмотрена в книге Р.Куранта ([73], глава У1, § 1 7 ) . Немного позднее мы вернемся к этой задаче, чтобы проиллюстрировать на ее примере (используя результаты Р.Куранта) классическую некорректность задач интегральной геометрии. Вместе с тем это будет в некоторой степени характеризовать некорректность поставленной выше обратной задачи.
Итак, мы рассмотрели один из вариантов постановки обратной задачи для уравнения (Г) и оказалось, что задача обращения линей
ной |
части оператора, |
ставящего коэффициенту |
^ (х) |
в |
соответствие |
решение задачи ( I ) , |
(2) в точках плоскости |
S (или, |
что то же са |
||
мое, |
решение обратной задачи в линеаризированной |
постановке)? при |
водится к исследованию задачи интегральной геометрии. Можно было
бы подумать, что это специфика именно линейной части задачи, |
то |
есть результат линеаризации. Однако это не так. Впоследствии |
мы |
увидим, что исследование обратной задачи ( 1 ) - ( 3 ) в целом (а |
не |
только линейной части) также приводится к некоторой задаче инте
гральной геометрии, несколько |
более общей, |
чем задача (15') |
или |
|||||
(16) . |
Сейчас |
же мы в подтверждение |
вышесказанного приведем |
для |
||||
уравнения ( I ) |
пример постановки обратной задачи, |
когда |
она |
в чис |
||||
том виде приводится к задаче интегральной геометрии. |
|
|
||||||
Пусть относительно решения задачи ( I ) , |
(2) известно |
следующее: |
||||||
для точек х7х° |
пробегающих |
последовательно множество точек не |
||||||
которой замкнутой поверхности |
S , во всех точках |
ос, х°е |
S |
реше |
||||
ние |
u(x,x°i) |
известно для |
моментов времени i |
, заключенных в |
||||
интервале |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}i-lx~x'll |
< £, |
|
|
|
||
где |
£ - любое, сколь угодно |
малое |
положительное |
число'. Требуется |
125
по заданной |
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u(x,x°l) |
= |
|
cp(x,x°i), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
•XeS, |
X°€ |
S , |
|
U-IX-x'll |
|
|
|
||||
найти коэффициент |
n(x) |
внутри области, |
ограниченной поверхностью |
|||||||||||
Переходя к исследованию этой задачи, мы воспользуемся представ |
||||||||||||||
лением для |
решения |
uix,x°i) |
|
в виде ряда |
( 6 ) . Б этом ряду |
|||||||||
ua(x,x"i) |
известно и не |
зависит |
от |
0(х). |
Выражение |
для |
||||||||
а±(х,х°1) |
мы преобразовали к виду (15) . С помощью совершенно |
|||||||||||||
аналогичных |
преобразований выражения для |
|
ип |
(п^г) |
могут |
быть |
||||||||
представлены в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
" « ' г . ^ = 4 5 |
|
^ 4 f e i * |
J j / b x ° ] 3 |
? ( f ) « „ ^ , x ; 4 - / x - f i ) d 4 ( I 7 ) |
||||||||||
|
|
/х-х°| |
|
5(х,х;т) |
|
|
|
|
i^jOC-X"!. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Л |
= 2,3,... |
, |
|
||||
Рассмотри;.! теперь |
предел |
всех |
un(x,x°i) |
|
|
(n^i) |
при |
^—»/х-х°/. |
||||||
При этом поверхность |
эллипсоида |
вращения |
|
|
S(x,x ° - 0 |
стягивается |
||||||||
в отрезок прямой |
L(x7x°), |
|
соединяющей |
точки |
х , х°. Мы покажем |
|||||||||
сейчас, что |
ad(x,x°i) |
|
стремится |
при этом к интегралу |
по пря |
|||||||||
мой |
Цх,х°) |
и является |
величиной |
ограниченной при любых конечных |
||||||||||
х,х" |
. Но тогда |
из |
формулы |
(17) следует, |
что |
все |
|
|
||||||
|
|
|
|
ajx,x°i) |
|
|
— * • |
|
о |
|
Г п > 2 ) . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i—rlvc-X'l |
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, ограниченность |
ajx,x°l)- |
|
|
при i=£fe-x°l |
очевид |
|||||||||
на в любой конечной области пространства |
х, I . Поэтому, если |
|||||||||||||
Ujix,x°l) |
ограничена |
также и при |
I—~/х-х°/, |
то |
она ограничена |
|||||||||
и внутри любой конечной |
области |
<D(x,x°i). |
|
|
Пусть |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
]и,(х,х°4)1 |
4 |
Ж. |
|
|
|
|||
Тогда |
при |
Г > /х-х°/ |
имеет место |
оценка: |
|
|
|
|
||||||
|
l |
|
JJ Ihx'fp) |
|
uji, |
х° I - |
/ас-Я) du> |
|
|
|||||
|
r a - / o c - x 7 z |
|
|
|
||||||||||
|
S(a;x°0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограниченность последнего выражения |
может вызывать сомнения толь |
||||||
ко |
при |
i—-|х-ос°|, |
но это выражение |
точь в точь такой же |
структу |
||
ры, |
что |
и выражение |
(15) |
для щ(х,х°у, |
и поэтому при |
i-^-lx-xi |
|
также будет ограничено. |
Но тогда в формуле |
(17) интеграл |
по t от |
126
ограниченной функции будет |
стремиться к нулю при i—^jx-x°l, так |
|||||||
как |
промежуток |
интегрирования |
стремится при этом к нулю. Более |
|||||
аккуратные оценки показывают, что величина |
и^1х,х°^) |
(п>2) стре |
||||||
мится к нулю при i-^lx-xi |
|
как бесконечно |
малая |
[lz-lx-x°lz]n'~x |
||||
|
Получим теперь формулу для предельного |
выражения функции |
||||||
и.А(х,х°,1) |
при 1-^\х-х°\. |
Для этого в формуле (15) перейдем от |
||||||
переменной интегрирования |
в |
к переменной |
t = |£-x°], связанной |
|||||
с в |
формулой |
(14) при т = 1 . Так как |
|
|
||||
a |
du |
= sine |
de dip, |
то выражение для |
и^(х,х°1) |
преобразу |
ется к виду
5(x,x°l)
i + lx-x'l
i-lx-x°)
2
Переходя от этой формулы к пределу при 1~>-\-х-х°\, получаем
utix,x; 1х-х°П = -jik^j ' i ^ ' d s ' ( i 8 )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x,x°) |
|
|
|
|
|
где ds - элемент длины, |
L(x,x°) |
- отрезок |
прямой, соединяшций |
точ |
||||||||||
ки х, х°. |
Из непрерывности |
q(x) |
следует |
ограниченность предель |
||||||||||
ной функции |
ujx,x° |
lx-x°l) |
при любых конечных |
х , х° |
в том чис |
|||||||||
ле и при |
X |
-у Х° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Резюмируя все сказанное |
выше, мы видим, что функция |
u(x,x?i) |
|||||||||||
представима в виде |
суммы ряда ( 5 ) , в котором первый член tu |
пред |
||||||||||||
ставляет из себя обобщенную функцию, а следующие дают |
регулярную |
|||||||||||||
часть решения, причем при 1-^}х-х°1 |
все члены в ряду |
(6) |
за ис |
|||||||||||
ключением |
и„ |
и ud |
стремятся к нулю. Поэтому, |
используя данные |
||||||||||
(17) |
относительно |
прямой |
задачи |
( I ) , |
( 2 ) , мы получаем, |
что |
регу |
|||||||
лярная часть функции |
q>[x,x°l) |
при |
l~~lx-xi, |
где х , х ° е 5 , |
свя |
|||||||||
зана |
с коэффициентом |
у(х) |
уравнения |
( I ) |
соотношением |
|
|
|
||||||
|
|
liixl |
1 W |
d s |
= |
|
х., |
|
№(*,*U)-ujx,x°A)l. |
|
|
|||
|
|
|
Цх,х') |
|
|
, х |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
Предел, |
стоящий з этом равенстве справа,может быть вычислен и |
|
представляет, |
следовательно, известную функцию, которую мы обо |
|
значим |
через |
/te, х°). Рассматриваемая обратная задача сводится, |
таким образом, к следующей задаче интегральной геометрии: для го-
чек х, гг.° |
принадлежащих |
замкнутой поверхности |
S, |
известны |
ин |
|||
тегралы от |
функции |
<£/х) |
по прямым |
Z.(x,x°), |
соединяющим |
эти |
||
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 7 i |
- 3 ? |
f j |
qmds |
=/(х,х°), |
|
|
(19) |
|
|
L(x,x") |
|
x e S , |
x°€ |
S ; |
|
|
требуется по этим интегралам найти |
qlsc) внутри |
5 . Единствен |
||||||
ность решения такой обратной задачи следует из |
результатов, |
со |
||||||
держащихся |
в книге [ 4 1 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
рассматривая |
для |
гиперболического |
уравнения ( I ) две |
||||
различные постановки |
обратной |
задачи, |
мы свели |
их к двум задачам |
||||
интегральной геометрии. В дальнейшем мы увидим, |
что это не |
слу |
чайным факт. Оказывается, задачи, связанные с исследованием един ственности определения коэффициентов линейного гиперболического уравнения,приводятся, вообще говоря, к задачам интегральной гео метрии. Рассмотрим сейчас обратную задачу для простейшего уравне ния эллиптического типа. Воспользуемся для этого волновым уравне нием, и пусть в точке х ° трехмерного пространства помещен источ ник периодических колебаний с круговой частотой со, то есть про цесс описывается уравнением
сцх)ии = ли |
+ Ья-Ъех-х") е ' и |
(20) |
Iqm^ |
qc>o). |
|
В этом случае в пространстве с течением времени устанавливается
периодический режим колебаний |
с частотой |
со |
, то |
есть |
|
|
ulx,oz°i) |
= V(o:,x°,(j>)eLui. |
|
|
(21) |
Функция V/X,X°OJ), |
играющая роль амплитуды |
этих колебаний, удов |
|||
летворяет при этом уравнению эллиптического типа: |
|
||||
|
А V + со*у(х)т7 = - 4тг- |
£fcc-x°) |
(22) |
и условию излучения на бесконечности. Обратная задача для урав нения (22) здесь может быть поставлена как задача отыскания ко эффициента q(ac) по заданной на некотором многообразии функции vfx,x°6d). Более точно постановку мы сформулируем немного по зднее.
128