Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Vlx, х ; 60) = Z I o / n V

(х,а:°).

(23)

Рекуррентные соотношения для

гг(х,х°)

получим, приравнивая

чле­

ны при одинаковых

степенях CJ . Б результате

найдем

AVa

= - iiJZ 5(х -о:"),

(24)

+^№1-^=0,

Л - 1,2, ...

Отсюда, используя формулу Пуассона, находим

vjx,x')

'

= -

^

„, ,

'

/х-х°/

(25)

В частности, при

п. = *

Представим теперь себе,

что

частота

и>

достаточно мала и нам из­

вестна функция

тхгх°ш)

при значениях и>

сколько угодно

близ­

ких к нулю на некотором множестве т

значений х, эс0. Тогда

на

том же множестве т

мы можем найти функцию

[ 3 ;

84 (главы 1У,У); 7 7 ] . При изложении последней задачи мы как

раз

и использовали методику

работы [ 7 7 ] .

Оказывается, что задачи

определения коэффициентов линейного

тура ядер

этих уравнений

несколько иная, чем у уравнения эллип­

тического

типа. Связано это с различием фундаментальных решений

этих уравнений.

Б дальнейшем части нашего курса

мы познакомимися с некоторы­

ми методами исследования

возникающих

здесь задач, и прежде все­

ратных

задач для гиперболических уравнений. На простейшей

задаче

о восстановлении функции через ее сферические средние нам будет

удобно

познакомиться с некоторыми особенностями этих задач

и

Итак, рассмотрим в трехмерном пространстве

x . , , x „ x 3

задачу

о восстановлении

функции

и1щ,э^,я3)

по известным для нее сред­

ним значениям по сферам произвольного

радиуса i

l o 4 t < < = o

) ,

центры которых пробегают

множество

точек некоторой

плоскости.

Для

удобства мы совместим эту плоскость с координатной

плоскос­

тью

х3=о

и введем для координаты х 3

специальное

обозначение

х 3 = у . Совокупность координат

х , , х а

будем в дальнейшем

обозна­

чать

через

х . Таким образом,

точка в этом трехмерном

простран­

стве

будет

обозначаться через

(х,у),

а функция

it6c,,Xj,x3 )

че­

рез

<1№,у). Пусть еще

=

) - переменная

точка

на сфере радиуса

i

, центр которой помещен в точку

(х,о). В этих

обозначениях задача

об отыскании функции и(х,ц)

по ее указанным

интегрального

уравнения

^

jj

utx+i, п)

duj=ftic,z)

( I )

при известной

функции

f(x,i) (х^о).

Через

du>

здесь обозначен

элемент телесного угла с центром в

точке

(х,о).

Естественно,что

без дополнительных предположений о классе функций, в котором

ищется решение-уравнения

( I ) , единственности решения этого урав-

ной

ц

функция

ttte,t/|

удовлетворяет

однородному

уравнению

( I )

(то

есть

уравнению

( I )

при

/(х,г) = о

) .

В связи

с

этим

ш

будем

считать,

что

щх,у)

является четной функцией

по у . Монно

было бы показать, что любая функция из

этого

класса,

обладающая

дополнительно свойством непрерывности, однозначно определяется

функцией

//х,z).

Мы докажем это предполагая,

что выполнено

не­

сколько бодее кесткое условие, а именно, что функция

Шос,ц)

не­

прерывно дифференцируема по переменным

х 1 ? э с г .

Воспользуемся для

этого

методом

Р.Куранта

[73] (глава У1, я 17)

и рассмотрим

резуль­

тат применения оператора

я

№

=

\ -ffwh,

1=1,2

'

о

к уравнению ( I ) . Последовательно проводя ряд

выкладок,

связанных

с вычислением этого оператора от левой

части

равенства

( I ) ,

и

используя

формулу

Гаусса-Остроградского,.находим

R

= ^ 1 ? <

ffl и(х+*.п№*ц=±.

§\uhix+t,Ji)dtdii

=

Здесь в промежуточных выкладках через

oiS

обозначен

элемент

площади поверхности сферы

1Иг+Чг=Я)

численно равный

Л d u ,

а через cosfn,^)

—

косинус утла между

нормалью

п

к сфере и

осью

$i , при этом использовано очевидное

равенство

C O S ( n , k ) = A .

Рассмотрим теперь

оператор

Результат

его

применения к

уравнению ( I )

приводит,

как

это

видно

из предыдущего

выражения, к

равенству

Итак, действие оператора Ц

на / равносильно вычислению

сферического среднего от функции

-и?(х,у) = u(x,y)xLj

то есть

первого момента функции и(х,у)

относительно i координаты. По­

этому, если рассмотреть результат

применения оператора

/.. к LJ,

то мы получим, очевидно

с центром в точке

(х,о)

радиуса % . Зная функцию /(х,т),

мы зна­

ем интеграл по этой сфере от функции

и(х,у).

Вычислив операто­

ры

LL (i=1,2)

от известной функции

/№,т),

мы находим момен­

ты первого порядка от функции

Щх,у)

на этой

сфере. Затем в

результате повторного применения операторов

LL

(i=i,2)

к уже

полученным выражениям, находим все моменты второго порядка на

этой

сфере по переменным

xitxz.

Но этот процесс, очевидно, мож­

бого порядка по xS7xz.

Например,. чтобы найти среднее по сфере от

функции

и(х,у) х * ' х£г,

достаточно

вычислить от функции

•fix,г)

суперпозицию операторов L±'LZ.

При этом

t

= -Ь \\ Шх+МИъ

d u ,

(3)

l$l'+7f=%*-

^ , « , = 0 , I, 2, .. .

В го же время функция Шх+^ц)

на взятой нами сфере является,

очевидно, функцией двух переменных, так как на этой сфере

ri = ± i

Учитывая ее четность относительно 1% , соотноше­

ние (3)

можно записать в виде:

ft*.-|s-x|*

Здесь через ^ = (51}5Z)

обозначена переменная -x+\. Последняя