Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

№

/ = a M J

^

'

^

^

^

(4)

Ясно, что такими моментами функция

ср(5)

определяется

однознач­

но. В алгоритмическом отношении для

ее

нахождения можно

поступить

следующим образом. Из системы функций

i r " * - ^ * 1

(к^, к.г

= о,4,2,...)

нетрудно

построить

полную систему

ортогональных

внутри

круга

f r r - x / ^ z

полиномов

Pn Cr) =

^ ( i j , ^ )

с помощью обыч­

ного

метода

ортогонализации. Тогда коэффициенты Фурье сп

от

функ­

ция

ср(5)

по этой

системе

многочленов могут

быть подсчитаны

по

формуле

Функция

cpfe)

находится после

этого

в виде обычного ряда

Фурье.

То,

что

функция ср($)

имеет на границе круга особенность, не

яв­

ляется препятствием, так как особенность эта интегрируемая.

Итак,

мы показали,

как с помощью вычисления некоторых

опера­

торов от

функции

/(эс,т)

можно построить

функцию Щх,у)

на каж­

дой фиксированной сфере. Из самого построения ясно, что для

того,

чтобы однозначно найти функцию

а(х,у)

всюду

(в указанном выше

классе),достаточно

функцию

/fx,t)

задать

внутри сколь

угодно

тонкого

цилиндра

имеет

конечную высоту:

o ^ t ^ t „

(7„>о). Тогда с помощью описан­

ного

выше процесса мы можем найти функцию

Ш х , у )

на любой

сфере

центр, который лежит внутри круга

/ х - x j

« &, ^=о;а радиус

i

заключен в пределах от

о до т0 .

Следовательно,

функция «.fx,y)

области *Й плоскостью, проходящей через ось симметрии

х.=эс?

Итак, по функции /fx,-г),

заданной в цилиндре конечной высоты

1^ мы можем найти функции

и(х,у)

внутри области <D.

Но ,зная

X

О

Х0-£ Хо х0 +е

функцию ulx, у)

Рис.П

внутри <£),

мы можем вычислить от нее

сферичес­

кие средние по любой сфере с

центром на плоскости у=о,

которая

ду радиусом сферы t и координатами ее центра

(-х,о) выполнялись

условия

1 + |х-х°/^тс +£,

если

/ х - х ° / ^ £ ,

(5)

t s s t 0 ;

если

|-х-о:°| ^ е .

Следовательно, мы можем найти функцию

$(х,%)

в области, описыва­

Итак,

мы установили, что

задание функции /ftc.t) внутри ци­

линдра ix-x-j^E,

ОбЪ£,гс

определяет функцию /йс,т)

внутри

кругового

усеченного конуса,

у которого верхнее основание

совпа-

0 Xo-Zo-£

XD -£ Хо

Рис.12

дает с верхним основанием цилиндра, а образующие наклонены

к

плоскости

7 = о

под углом 45°. Это означает, что функцию

/(ос,г)

нельзя задавать

произвольно. Более

того, функция /fx,i)

представи-

мая в виде

( I ) ,

обладает свойством

типа аналитичности:

она

одно­

ном цилиндре J x - x 7 * e ,

p&t«x>.

В то же время ясно, что функциям

и(х,у)

неаналитическим

отвечают

неаналитические

/(х.,%1. В связи

с изложенный вше, конструктивное описание структуры множества

функций

представимте в виде ( I ) , представляет

из себя

довольно

трудную задачу.

Мы покажем сейчас, что задача

решения уравнения

( I )

является

к матш изменениям функции

/(ос, г).

Рассмотрим для этого функцию

v f M - T , = ^

' i J a(x+t>

У+71) » Ч

(6)

которая с точностью до множителя

т

представляет

из себя сфери­

ческое среднее по сфере радиуса

т

с центром в точке (ос,у ).Бу­

дем считать, что функция а(х,у)

дважды непрерывно дифференцируе­

[73, I37J)

известно

(можно в этом убедиться и

непосредственно),что

функция

"г7(х, у, t)

в полупространстве ъ^о

удовлетворяет вол­

новому уравнению

Здесь A-zy - оператор Лапласа по примененным

х, у. Непосредст­

тх(х,у,г)

обращается в нуль

V(x, у, о)

= о.

(8)

Кроме того,

из формулы

( I )

следует,

что

И, наконец,

условие четности функции

и(х,у)

по переменной

у

для

функции

чг(х,у,г)

приводит к равенству

| ^ И Г о

=

° -

( 1 0 )

Задача отыскания функции

v(x,y,i)t

удовлетворяющей уравнению

( 7 ) ,

при условиях ( 8 ) - ( 1 0 ) , представляет из

себя смешанную

зада­

чу.

Эта задача, очевидно, эквивалентна для уравнения (7) задаче

Коши с данными по пространственной переменной

ц ,

если в область

ко

функцию

/(х,т)

продолжить четным образом

и задачу

рассмат­

ривать

во

всем пространстве

х,у, х.

Покажем, что

задача

(7)—(10)

эквивалентна уравнению

( I ) . Для этого

нам достаточно показать,что

из равенств

( 7 ) - ( 1 0 ) , в которых функция

гг(х,у,

%)

связана

с

функцией

ЩХ,у)

формулой

(6), следует

равенство

( I ) . Чтобы

это

доказать, .заметим, что

при известной функции

тПэ^^х)

функция

U-t^y)

может быть найдена по формуле

u(x,^

= Jun

4

tr(^y,D

=

|

j 1Г&е,'у,г) J ^

Q

,

( I I )

которая непосредственно

следует

из

равенства

( 6 ) . Пусть

теперь

v(x,y,i)

есть

решение

задачи

( 7 ) - ( 1 0 ) . Обозначим через

и(сс,у)

предельное

значение производной по

t

от функции

v(xr-y,x)

при

•z—»-0. Тогда функция

v(ac,y,i)

удовлетворяет

уравнению (7)

и

условиям

( 8 ) , ( I I ) ,

то

есть

представляет

из себя

решение

задачи

Коши с данными по х

. Как известно, решение такой

задачи дается

с помощью формулы Пуассона, которая совпадает

с формулой

( 6 ) . Ус­

ловие (10) приводит тогда к равенству

из которого, в силу единственности решения задачи интегральной

геометрии, следует, что четная часть функции

и^сх,у)

равна

ну­

лю, то

есть

ьц-х^у) = uix,-у).

А условие (9)

приводит

к урав­

нению ( I ) , которое нужно решать в классе четных функций. Тем са­

мым эквивалентность

задачи интегральной

геометрии

и задачи ( 7 ) -

(10)

установлена. Отсюда, в частности,

следует

единственность

решения задачи ( 7 ) - ( 1 0 ) . Покажем, что

эта задача

тем не менее

не­

что малым функциям /(х,т)

могут соответствовать

немалые возмуще­

ния решения. Рассмотрим решение задачи (7) - (10) при

а, .

l

sin.

ni

f(X,1J = ^ 5

Stn n X j - S t n n X a .

При достаточно больших

п

и s

функция /fx,i)

мала вместе с

v-(x,y,z) = ^sinnx-slnnx1-&lrt

n x 2 - сАпц.

(12)

При этом решение задачи при любом фиксированном у

стремится

к

бесконечности при

Тем не свойством обладает

и функция

и(х,у]у

дающая решение

задачи ( I ) :

а(х,у} = ^ i - s ^ n пз ^ sin nxz-скпу.

(13)

Л это и означает неустойчивость задачи,

и следовательно,

ее клас­

сическую

некорректность.

Тем не менее задача

( I ) является условно-корректной,

то есть

ство т четных по переменной у

функций

Шх,у),

компактное

в про­

странстве

С (например,

ограниченное

множество функций с ограни-

ченныки заданной

константой первыми производнши) и пусть

R - M H O -

"естЕо образов

-fix,х)

функций

ulx,y)em

при отображении

( I ) .

Тогда

при условии, что решение

шх,у)ет

—решение

задачи

( I ) су­

ществует

и единственно, оно будет также и устойчиво

в силу

следу­

ющей теоремы из функционального

анализа.

Т е о р е м а .

Если Л

- взаимно

однозначное

и непрерывное

отображение

компакта т

в нормированное

пространство Ф ,

причем

Лт^/ИаФ^

то обратное

отображение

Ж~'&=т

также непрерывно.

В данном

случае, если на множестве R ввести

метрику простран­

ства

С,

то отображением

на ft, осуществляемое

с помощью равен­

ства

( I ) , будет

непрерывным и взаимно

однозначным. Следовательно,

С)

правой части /гх,т) будут соответствовать малые

изменения

его

решения. Таким образом, задача решеяш уравнений

( I ) коррект­

же на величину

п приводит к тому, что по любому заданному е > 0

можно найти такую область о&у&у*

в пространстве

что в

этой области

| w ( x , y ) / ^ e .