Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.06.2024

Просмотров: 180

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

§ 3. Интегральная геометрия

 

 

 

I ,

Постановка

задач интегральной геометрии для

семейства

кри­

вых и поверхностей. В общем виде

задача

интегральной геометрии мо­

жет быть сформулирована следующим образом. Пусть

*£)- область

п -

мерного

пространства

сс = Сх1 ,хг ,...) x j ,

а

1 ш

-

семейство

кри­

вых,

зависящее от

п

параметров

( } = (£,,£г ,

 

 

причем каждая

из кривых семейства целиком принадлежит

области

£>

и соединяет

пару

точек

границы О .

Требуется найти внутри

области <D функцию

Щх),

если

относительно ее известны интегралы по

семейству кривых

/.(f)

 

с заданной

весовой функцией

х).•

 

 

 

 

jj)(x,V-u(x)ds

=

ггЦ).

ц )

Lit)

 

 

 

Здесь ds - элемент длины дуги

кривой

L($)

. В точно таком же ви­

де формулируется и задача интегральной геометрии для семейства по­

верхностей

S(?)

произвольной

размерности s ^ n - i ,

заполняющего

область £>.

Нужно

только в формуле ( I ) заменить

на

5(f), а

ds считать

элементом площади

поверхности.

 

 

Естественно, что сформулированная в таком общем виде задача

интегральной

геометрии не будет

иметь однозначного

решения

без

достаточно сильных ограничений на семейство кривых, или поверхнос­

тей, и на весовую функцию уэ(х,$).

Ограничения эти существенно

зависят от структуры области <D. Не вдаваясь

в общую ситуацию, мы

рассмотрим в дальнейшем два частных

случая,

когда область <£> име­

ет вид либо полупространства, либо

единичного круга. На самом д е ­

ле из этих частных случаев следуют довольно важные выводы об одно­ значности задачи и для областей более сложной структуры. Чтобы не усложнять изложения, мы рассматриваем задачу интегральной геомет­ рии для семейства кривых на плоскости, а для семейства поверхнос­ тей - в трехмерном пространстве, и затем лишь укажем, что нового

привносит в рассуждения увеличение размерности пространства.

В

связи с этим детализируем для семейства

кривых постановку задачи,

которую мы будем в ближайшее время рассматривать.

 

 

Пусть х,ц

- двумерное пространство,

<£)={(х,^): о^у^Н,

Н>о).

Будем предполагать, что каждая из кривых

L($,T2]

двупараметричес-

кого семейства

представляет из

себя непрерывную дугу, принадлежа­

щую области

"5D , концы которой

лежат на

прямой у = о

и которая

пересекается

прямыми параллельными оси

ц

не более,

чем в одной

138

точке, а прямыми, парал­ лельными оси х - не бо­ лее, чем в двух точках (рис.13). Из этих предпо­ ложений следует, что каж­ дая из кривых семейства имеет в некоторой точке свою вершину (точку макси­ мума функции у (х), если
X уравнение кривой L(f, ??) представить в виде у=у(х>).

5

 

Рис.13

 

 

Мы будем

считать, что

семейство кривых может быть пара

метризовано

с помощью координат

вершин кривых, то есть каж­

дой кривой

L($,7i)

из семейства

можно поставить в однозначное со­

ответствие координаты ее вершины. Пусть теперь семейство кривых та­

ково,

что для каждой точки (f,?^)6'0

существует

ровно одна кри­

вая,

принадлежащая семейству и имеющая точку ( ^ T J ) своей

вершиной

Сформулируем в этом случае задачу интегральной

геометрии

для

семейства кривых. Требуется найти функцию и(х,у)

в области

*£> по

известным от нее интегралам вдоль семейства кривых

L($t7i)

с

за­

данной весовой функцией:

 

 

 

 

В данном случае нам нет необходимости отмечать зависимость весовой

функции

JD от координаты у , так как

вдоль кривой /д??) коорди­

ната

у = y(xz,$,T2), в то же время за

счет изменения весовой функ­

ции вместо интегрирования по( длине дуги можно вести интегрирование по переменной х .

В аналогичном же виде можно сформулировать и задачу для семей­

ства поверхностей в трехмерном пространстве х,у

 

(х=1х„хг)). Пусть

и в этом случае <С> = {(х,у);

о^у^Н,

о<Н<°<=]-,

а трехпараметри-

ческое семейство поверхностей, принадлежащее области £ ) , имеет

 

структуру, аналогичную структуре семейства кривых

/ . ( £ , Т о

есть

каждая из поверхностей S

имеет вид

"шалочки"

с

вершиной в точке

(f.^JeT),

£ = (К,Ы. и основанием,принадлежащим

плоскости^о ,а

все

семейство поверхностей может быть параметризовано с помощью коор­

динат

их вершин, причем любой точке Х^-ц)

отвечает ровно

одна

поверхность

S ^ , ^ ; ,

входящая в семейство. Тогда задача ин-

 

 

 

139

 

тегральной геометрии для семейства поверхностей может быть опять

же сформулирована как

задача

отыскания функции Шх,у)

через

ин­

тегралы от нее по заданному

семейству

поверхностей S(£, rtf с

за­

данной весовой функцией

 

 

 

 

(Т

JiLx,^ij)-uix,y)dx

= ъ^-ф,

 

(3)

Перейдем теперь к детальному

изучению сформулированных

задач.

 

2 . Дифференциальные свойства семейства кривых. При изучении за­ дачи интегральной геометрии, связанной с уравнением (2), нас будет

интересовать вопрос о том, когда уравнение (2)

имеет единственное

решение, то есть при каких условиях на функцию

J>(X,^TI)

И семей­

ство кривых

Ц§,71> функция

и.1х,у) однозначно определяется сво­

ими интегралами. Естественно,

что для однозначности решения

этой

задачи нужно потребовать от семейства кривых, чтобы оно "гладко"

заполняло область "50 , то есть

малым изменениям параметров

(£,

соответствовали бы кривые

мало отличающиеся друг от друга.

Естественно

считать, что каждая из отдельно взятых кривых

Щ,71)

также обладает некоторыми свойствами гладкости. Чтобы точнее сфор­ мулировать те требования на гладкость семейства, которые нам потре­

буется,

заметим, что в силу сделанных нами ранее предположений,

уравнение каждой кривой

семейства может быть представлено в виде

 

 

 

 

 

У - А х , * , ^ ,

 

 

 

 

 

(4)

причем в точке x = f

функция

f(xf^iri)

 

достигает

своего макси­

мального значения, равного ^ , то есть

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь

отдельную кривую U^ty

 

при фиксированных £,

ту. Будем считать.,

что

функция

/fx,f,?^

 

имеет

непрерывную вто­

рую производную по

х

, а в окрестности точки

х= £

(то есть

ок­

рестности вершины кривой

Li^ty)

непрерывную третью производ­

ную. В силу ранее приведенных условий на семейство

кривых, в

точ­

ке

х=£

производная от функции

{(x,\,7i)

 

по

х

обращается в нуль:

 

 

 

 

 

f*{x,t,n)lXBi-o.

 

 

 

 

(6)

Мы будем

считать, что

в других точках

/^(x.fc, i?)

 

з нуль не

об­

ращается, поэтому

/ Ж { Х , ^ Т 2 ) > 0

для

х < £

и

 

 

 

для

х > $

. Предположил дополнительно, что каждая из кривых семей­

ства имеет в своей вершине радиус кривизны

Я

 

отличный

от

140

бесконечности, то есть кривая имеет в своей вершине касание с

прямой у = ?2 первого

порядка. В терминах

функции

это

означает,

что

вторая

производная от этой

функции по переменной х

в точке

сс=£

отлична

от нуля. Действительно, формула для вычис­

ления радиуса

кривизны

имеет вид:

 

 

Огсвда

условие

 

Д ( ^ ; ^ ) ^ о о равносильно условию

 

 

 

 

 

1*Ы,П)1хч±о.

(8)

Из формулы (7)

видно, что

в силу непрерывности второй

производной

функции

/te,f,7?J

радиус

кривизны

в вершине к ривой

отли­

чен также и от

нуля. Таким образом, для каждой кривой

L($,7l):

 

 

 

 

o<Ri$,ri)

< <^<>.

 

Простейшим представителем класса кривых, удовлетворяющих всем по­ ставленным выше требованиям, является семейство парабол

 

При изучении задачи (2) нам будет удобно представить уравнение

каждой кривой (4) в виде,

разрешенном относительно переменной х .

В силу наложенных на кривые

L($,-q)

условий это можно

сделать,

но при этом мы получим двузначную функцию

 

 

так

как каждому

значению

о $ ^ < 7

отвечают два

различных значе­

ния х

, одно х< $

и другое

x > f . При ц=т} оба

значения

совпада­

ют и равны £ . Будем для

определенности считать, что j=i

отвечает

значениям х * £ ,

a

j = 2 -

значениям

эсз*£

. Покажем, что каждая из

функции зс.(у,^,1?)

может быть представлена в виде

 

причем функции

(р^рЛ,7!^

о,

дважды непрерывно дифференцируемы

по

р

в области

о $ р « Щ

 

и обладают

свойствами

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

•

СП)

141

Смотрите также файлы