Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

F(&Fy, Ъ^Ч) ^ -fiFf - *>v-f&,№' =о

(12)

При р = о , то есть ц=-ц , оба х- принимают значение, равное

. В

силу этого функции

Xjlfrfjj, ^-у)

(j'=4,2)

могут быть пред­

ставлены в виде правой части равенства (10) , причем выполнение

первого из условий

( I I ) очевидно. Чтобы убедиться в непрерывной

дифферевцируемости по р

функций

x.(p,$tri)

(.p=frfy),

а следова­

тельно, и функций

ч$ lp,достаточно

проверить,

что-производ­

ная от функции

F(p,x,i,i2)

по переменной

х при ос = Щ

{ptj7т?)

отлична от нуля.

Тогда уже из теоремы о неявных функциях

следует

непрерывность производной по р

от каждой из функций Ц(р,$,71). Но

производная от £7р,х,

как следует из равенства (12) , вы­

числяется по формуле

и поэтому отлична от нуля при

в силу наложенных на функцию

//£,£,77..' условна. При х-— $

(и следовательно, р - *о) раскрывая

-Hf1

Hl-LMn)i

= (-i)J

Напомним, что j

- i

отвечает часть

кривой L(i,'4),

лежащая ле ­

вее точки х=£

, а /=2 -

правее точки х=£ . Мы видим,

таким об­

разом, что частная производная от

Р(р,х,^т])

по х

отлична от

нуля и при х = | .

Производная от

%{р,^,Ю по р вычисляется по формуле

Зр

г

эр

Fx(p,x,t,jfl

и ее непрерывность вытекает из непрерывности функций

Fx (р, х, f, 72).

Второе из равенств ( I I ) и неравенство |^ (р4[р,\,Ч) >о

при

ной от

<Pjip,ifq)

по р следует из непрерывности по х

второй

производной

ЕСХФ&ЪУ)

(последнее требует проверки только при

х — О

и действительно

имеет место в силу существования в окрест­

ности

точки

х=$

непрерывной третьей производной

^ Е а № (эс, $ > Ф -

До сих пор мы говорили об отдельно взятой кривой

L($,TI) из

семейства. Ее дифференциальные и геометрические свойства

позво­

тельно переменной х , как двузначную функцию, обладающую

свойст­

вами гладкости по переменной р =Jvzy

и удовлетворяющую услови­

ям ( I I ) . Раньше мы говорили о том, что семейство кривых

1~Ц,Ч)

считать в дальнейшем, что функции сцш.-ц), §p<f>{p,i,y)

(/==f,a)

имеют непрерывные частные производные по i, ^

в облас­

Тогда легко проверяется, что уравнение

^j>lx,i,7fl uix,y)dx

so,

(13)

имеет наряду с чисто нулевым решением и решение

u s i . Действитель­

но:

„

• •

j j 3 ^ , 1 ? )

d-X -

^ cos зг Щ£ dx

•— fr[ ^ cos их d% =0.

Полученный факт неединственноеги легко

объясним. В самом деле от-

шх,у)

подобрать

функцию трех

переменных

JD(X,£7 7J)

такую .чтобы

было выполнено условие

(13) . Подобрать

ее можно было бы следую­

щим образом;

фиксируем произвольным образом параметры £, ?£ (то

есть

рассматриваем

фиксированную кривую

т?) ),

тогда на кри­

вой

L(§,т[)

функция

Шх,у)

является

функцией одной перемен­

ной и условие (13) представляет из себя

условие ортогональности

на некотором отрезке двух функций JD и

и.

Очевидно, что при за­

данной функции -и

ортогональную к ней функцию можно найти,

при­

чем бесчисленным множеством способов. Итак, вывод из

этого

следу­

ющий: нужно подчинить

функцию

jote.fc,??)

некоторым условиям, ко­

торые избавили бы от неоднозначности решения задачи

( 2 ) . Что же

мости

j3

по х , позволяет, как мы увидим .дальше,

утверждать, что

уравнение

(13) имеет в классе аналитических функций

а(х,у)

в об­

ласти

£>

число нулевое решение. Нам понадобятся

с

одной

сторо­

ны более

сильные свойства функции _p(x,$,Ti)

(в

связи с

тем,что

мы будем изучать и неаналитические

решения), а именно, мы будем

считать, что она имеет непрерывные частные производные первого

порядка по х,£,?г;

с другой стороны, условие знакопостоянства

функции

J>fx,f,7?)

достаточно заменить при выполнении этих тре­

бований на

условие

J>fx,hV)jx^*o.

(14)

В дальнейшем мы будем

считать, что

эти требования на весовую

ре функция

j>(x,l,i2)

удовлетворяет условию

( 1 4 ) , но не имеет не­

прерывных производных

(при -ц^о производные

^,^,_рп

и с а м а

функция j)

не имеют предела).

из кривых семейства параллельно

оси

у=о.

В аналитическом выра­

жении, это свойство проявляется в том, что в уравнение кривой

L(i,ri)

параметр

£

входит аддитивным образом,

то есть функции

ср. не

зависят от

£ .

Таким образом,

семейство кривых,инвариант­

ное к сдвигу вдоль прямой у = о,

может быть

записано в виде:

эс = $ +н^-^Ип=у,

П),

( i s )

(о

$ ц

и

Н ).

Мы будем, конечно, предполагать,

что в остальном семейство кривых

L(k,T2)

удовлетворяет требованиям пункта

2 . В частности,

%1М)*о,

1рЪ(Р,П)>°,

( 1 6 )

(p. [о, 7i)

= о,

—

ср.(р, 7jj |

=

hRlTfl

4= о.

Предположим, кроме

того, что весовая

функция

jo(x,i,ri)

обладает

меняется при переходе от кривой L($,ri)

к

произвольной кривой,

полученной из нее параллельным сдвигом вдоль

оси у=о . Это озна­

чает, что

J3=J)(X-$,7l).

(17.)

Т е о р е м а

I . Пусть семейство кривых

т?)

инвари­

антно к сдвигам вдоль оси ц-о

и представимо

в виде ( 1 5 ) ,

( 1 6 ) ,

причем функции

%1р,т^)

(j = d,z]

в области

о^рц^цкИТ

имеют

непрерывные производные

д*'е

к =0,^,2,

J

^

f ^

'

f.o.i,

K + U 2

>

( I 8 )

У ч .

a,

а весовая

функция

_p = jXx-^^t

имеет непрерывные частные

про­

изводные

и, кроме

того,

j3(o,??) Фо

,

О^п ^

Н.

(19)

Тогда любая кусочно-непрерывная функция

и(х,у),

имеющая по пере­

менной х

конечное

преобразование Фурье

(либо

периодическая по

х

с периодом, не зависящим от -у ) , однозначно определяется

в облас­

ти О

своими интегралами ( 2 ) .

Для доказательства

теоремы

запишем равенство ( 2 ) , используя

инвариантность к сдвигам вдоль оси ее весовой

функции и

семейст­

ва кривых

L (§tri)

в виде

J f(x,7i)-iL(x+^ij)CL-x

= V(^-ri).

(20)

UQ,V)

Пусть

теперь функция

atx,-y)

имеет при каждом фиксированном

ц

ляется,

например, финитность функции

uix,-y)

либо существование

интеграла

^

J lu(x,yjj

dx <

,

0

Применяя к

общим частям равенства (20)

преобразование

Фурье по

переменной

х

и обозначая через

UlA,y),

vtArfp

образы Фурье

функций

и 1х, у),

VI^72),

находим

LlO,7l)

-=°

с ю

, =

j j > l x , 4 ) . e i A x [ ±

\juix+$,yhei!x+t)Adtx+v}dx

=

=

f

J3(x,?i)e'ax

UUM)

dx.

ния Вольтерра первого рода, используя существующую связь

между

переменными

х

и

у

в точках кривой

Llo,^}.

Перейдем для

этого

от переменной интегрирования

х

к переменной у

с помощью формулы

( 1 5 ) , в которой

положим

£ = о

. Тогда

полученное

соотношение южно

записать в виде интегрального уравнения

\Ua,y)-7i(^,ri,l){ni-y)'hdy

~Ш,71),

(21)

в котором входящая в ядро функция

3{(i-q-y\ -у,Л)

находится по

формуле

3

W

)

-

i t

Ч )

-

е

Ш

' ^

} .

(,2)