Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Как видно из

этой

формулы,функция

Ж(р,т2,А)

непрерывна по пере­

менным р, г/

в области

о 4 р « Щ

Й Ш

вместе

с частными

производными первого порядка. При этом в

силу условий

( 1 6 ) , (19)

Л/0,71, А) = joto, 77И 2R (77)' Фо.

(23)

Благодаря

этим свойствам функции

Ж(р,Т1,А),

мы можем свести

уравнение

(21) к уравнению Вольтерра второго

рода, применяя прием

Абеля. Умножим для

этого

равенство

(21)

на

(s-7i)'i/2

и проинтег­

рируем его

по ij

в пределах от нуля до

s ,

Меняя в возникавшем

повторном интеграле порядок интегрирования, находим

S

5

П

J

lS-7l

o

J V 5-7? J

4

o

3

имеет конечные значения, отличные от нуля,

при s = y.

Чтобы убе­

диться

в этом, сделаем

в интеграле

замену

переменной

77 =

5 • cosze

+ -у- 54П*В.

Тогда

он преобразуется

к виду

%

T(s,y,A)

= 2JJ{(ls-y'casв,

scos*&+уйпгв7

A)de.

о

Отсюда, полагая y = s ,

находим

T(s,s,A)

= irJ{(o,s,A)

4о.

Используя формулу (25), легко

также убедиться в том, что функция

T ( s ,

у, А)

имеет непрерывную производную по переменной 5

всю­

ду

за

исключением диагонали

y = s

. На диагонали

T^(s, у, А)

име­

ет

интегрируемую особенность

вида

(5~уГ'л.

В связи с эгим.диф-

ференцируя равенство (24) по

5

и деля на

T?s,s,a),

получаем

для

отыскания

йСК,у)

при каждом фиксированном

Л

интегральное

уравнение второго рода

s

О

?

T ( S , S , A ) *

(26)

^(Я,-??) dbi

Э5 J

дом последовательных

приближений.

Итак, мы показали, что образ Фурье по переменной

ос функции

и[х,у)

находится

однозначно из соотношений ( 2 ) . Но известно,

что по образу Фурье однозначно находится сама функция

Шх,ц).

Та­

ким образом, георема доказана в том случае, когда функция

utx,y)

имеет

конечное по

х

преобразование Фурье. Для случая периодичес­

кой по

х функции

Шх,у)

мы можем повторить все рассуждения, с

вариантности. А именно, пусть в (n+i)

—мерном пространстве

ас,у,

х = f x i

, a c ! , . . . ,хп),

имеется область

<D={lx,y):

оау^Н}

и в ней

задано семейство кривых,

зависящее от

rn-i

параметра, ин­

вариантное ко всем движениям параллельного переноса вдоль

плоскос­

ти

у=о

. Мы будем аналогично предыдущему предполагать, что

каж­

дая из кривых семейства имеет вид непрерывной дуги, опирающейся

своими концами на плоскость у=о

-, и имеющей вершину (точку

наибо­

лее

удаленную от плоскости у = о

) в некоторой

точке

e < D ;

} =

( £

l t t „ ) . Не касаясь более геометрических

свойств

семей­

ства кривых (с ними можно подробно познакомиться по работе

[128],

на плоскости. А именно, пусть семейство кривых допускает

парамет­

ризацию с помощью параметров £, ц

и представило в виде

* + ^ ( Ь М / >

V),

hi,г,

(27)

где веттор-функции

(р^(р,г[},

j = i,2,

имеют

в

облчсти

о * р < Щнепрерывные

производные

причем

В атом случае

имеет

место следующее утверждение :

Т е о р е м а

2 . Если семейство нривых

L($,

т?) . удсг-.чет-

воряет поставленным

выше условиям и весовая функция

j>=J>(~-\,r}\

имеет непрерывные частные производные, причем

j>

(о,??)

Ф о

0£,7i^H,

то любая кусочно-непрерывная

функция

и(х,у),

'Л'.'з;а\зя

по переменной

сс=(а^7а^,...,хп)

конечное

преобразование

Фурье,

однозначно

определяется

в области О

своими

интегралам,-

j

uix,p-ldxl

=

vti,

-ф.

•.:::•)

Для доказательства

этой

теореме

:ijsa(>,

pas я

ранез.зтлисать '.•под­

ношение (29)

в виде

|

J3(x,i?)-Шх+{.

y)ld-x\

=#($,37)

(25 м

преобразование

Фурье функции

irf£,7?)

по переменной

£

и

рез ufA,^)

преобразование

Фурье функции

а<зс,-у),

найдем

V(K,TJ)

= J р1х,12)в^а,х1

иа.у)

ldx\.

(30)

/-to.j?)

Через

(Л,И,

(А,ос)

в последних двух

равенствах

обозначено

скалярное произведение

векторов Я=(АЛ}Яг,...,Ап),

£

:•.

А, эс

со­

ответственно. Перехода

в равенстве

(30)

я переменной

интегрирова­

ния ц , запишем его в

аиде равенств;"! ( 2 1 ) ,

и

которое

теи:;рь

tr/z-

но считать /I вектором. Функция

Ж(р,-ц,А)

и дходктсл

г

этой

случае

по сЬормулс

ции и=(и^,иг,...,ип).

Естественно в этом случае весовую функцию

считать также вектор-функцией

той же размерности

J>=(J>1,J>3.,--,_ph).

Для определения п

компонент

функции и нужно задать я соотно­

например, рассмотреть фиксированное семейство кривых

/-(£,??) и

считать, что известны вдоль него интегралы от искомой функции с

П различными весовыми функциями, а можно представить и другой

случай -

имеется

п различных

семейств кривых и вдоль каждого

из них заданы интегралы от скалярного произведения

( р , « ) . Общим

является

случай,

когда

имеется некоторое число семейств кривых

K = 1,2,...,I,

(ni^n)

и вдоль каждого из них даны

от функции шх,у)

интегралы

с некоторым числом весовых функций

J>ue,

' = i , 2 , . . . , t ,

( У Й П К Й П ) ,

так

что общее

число интег­

ральных соотношений равно п .

Итак,

задача

интегральной

геомет­

рии в этом случае заключается

в отыскании функции

и(х,у)

по ин­

тегралам:

%tlW=

j

Ifint^hnh

atx,y))dx,

( 3 D

Я = 1,2,..., 1;

Р=1,2, ...,ПК;

П ^ + П Г + . . . + П^ = п.

По отношению к этой

задаче

имеет место

теорема,

аналогичная

теореме I .

Т е о р е м а

3 . Пусть каждое из

семейств кривых

L K ( £ , 7?)

удовлетворяет условиям

теоремы I ; а функции

J J K C =

_рке(х~$,

чем система

векторов

f>Ki(0,Tl)

(n=i,2,

l=i,2,...,nj

ПРИ

любом rie Lo, И]

линейно независима. Тогда

любая кусочно-непре­

рывная векторная функция Шх,у),

имеющая по переменной х

конеч­

ное преобразование Фурье (либо периодическая

по ос с периодом,

не зависящим

от у),.

однозначно определяется

в области "3D своими

интегралами

( 3 1 ) .