Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

Для доказательства

этой

теоремы достаточно

провести

выкладки,

аналогичные

проделанным в п.4. Мы можем легко

придти к матрично­

му уравнению,

аналогичному

уравнению

(21), для

образа Фурье

uLK,ip

вектор-функции

и(х,у):

\7{(ffflJ,tl,A)-ua,f(ri-y)~i4!dy

=

V(A,y),

(32)

о

в котором матрица

Ж(р,г[,2.)

состоит

из вектор-строк

^Ях {(р,^,Я)

(n

= i,2,...,i;

2 , . .

вычисляющихся по формулам:

а

Бек тор TS(A,T})

имеет

компонентами

v^fA,^)

( к-=л,2,... ,t;

2 , . . . , пк ).

Так как

при р=о

вектор-строки матрицы

"K{p,q,l)

пропорциональны

векторам

f>Ke(0,ri)

и не зависят от Д.-

то из линейной независимости системы векторов

j 9 K f с л е д у е т ,

что матрица

Х(о,7^,Я)

имеет

определитель,

отличный

от нуля.

Поэтому матрица

"Jiio.r),}.)

имеет

обратную

J? (о,т]7И).

Применяя

к уравнению

(32)

оператор

L •

придем к уравнению

о

7([o,s,/i.)u(A,s)

-hjfiis,y,A)

щАц)

dy

=

Lv,

(33)

о

в котором матрица

Rcs,y,/i)

определяется

формулой

Умножая обе

части равенства

(33)

на

Ж (o,s,R),

получим матрич­

ное уравнение

Вольтерра второго рода:

s

ua,s)

+ jj'i(o,s,A)R(s,y,A)u(Jl,y)dy

=

JC'tys,*)

Lv.

/тсюда

л следует

справедливость

теоремы 3 .

7 .

Зздапа интегральной

геометрии для семейства кржвыхгинвара»-

антного

:t вращению вокруг

фиксированной

точки. Рассмотрим на пло-

.кости

х,у

круг

единичного радиуса

с центром в начале коорди-

гат

и область

5Э = {(а:,у).- Н^^х^+у1

^l,

o<H<i}.

Пуоть %

ср -

полярные

координаты точки

(х,у):

x=xcos<p,

ц-1$Игср.

: области

£ )

рассмотрим двупараметрическое

семейотво

кривых

Цj), а),

каждая

из которых представляет

из себя гладкую дугу,

опирающуюся своими концами на окружность

t=d. Предположим, что

каждая из кривых

L{J>,OL)

пересекается

окружностям

%=const не

более,

чем в двух

точках,

а лучами cp=consi

— не более, чем в

одной точке. Тогда каждая кривая

Цр,оО

имеет точку,наиболее

(р,а)

и ставятся

в соответствие кривой

Lip,л). Преда слагает­

ся,

что это соответствие

однозначно и для каждой точки

( д а ) е Ф

существует кривая

L(p,a),

входящая в семейство. Боли кривая

'.(р,а.)

достаточно гладка и имеет

в вершине первый порядок каоа-

л

с окружностью

%=_р , то легко,

аналогично п . 2, шш&звть,что

/равнение может быть представлено в виде

ср^а.+Ы¥(р^ГГгр,р,а),

j =irz,

(34)

пр>

еь.

7НКЦИИ cp-{p,j),a.)

удовлетворяют

условиям, анаюгячнлм

% 1Р,/>,л)>о,

~

% [&?;<*•)>о,

(35)

семз.'стг.а кривых в круге

можно поставить задачу,

аналогичную

(2) - найти ййиздкг. Ш1,ср)

в области О , если известны от нее

"тегралы по семейств;

кривых

L(p,a):

гЧр,а.)

= ^ир,

р, of.) • шх, (р) dtp,

(36)

i-fp,a>

(р,а)еО.

• x,ecs.

-H(ptp,oL)

заданная

весовая функция. Поставленная зада­

ча л е т о

'•оследуется,

если семейство

кривых и весовая функция ин-

верна теорема Г124] :

Т е о р е м а

4 . Пусть семейство

кривых

L(p,a.)

(уха)ё<£>,

представимо в виде

( 3 4 ) ,

( 3 5 ) , причем функции

cpj не

зависят

от

оС, непрерывны в области

Q~[(p,j>):

о =s. р ^ - J i - j a ' ^ \i- f f

}

вместе с производными

а весовая функция

-о = *)(ср-а.,р)

имеет

непрерывные

частные

производные первого

порядка и •Ь(о,р)*£о

для _ре£Н,1]. Тогда

любая кусочно

непрерывная

функция

и(т.,у>)

однозначно определяет­

ся интегралами

(36) .

Доказательство теоремы проводится по методике, аналогичной

п.4, подсчетом коэффициентов Фурье функции

un,(f).

Для

этого

уравнение (36) представляется в виде

v(p,a) =

^-ii(p,p)-u(%,a.+cp)

dq>,

(36')

системе функций

е " 1 * п. - о, ±i,±z,... .

Пусть

%(р), ипт

-

коэффициенты Фурье функций v(p,<x\ ul^a.).

Тогда

из равенства

(36') следует

% ( Я = ^((р,р)9'1пееипП)

df,

(37)

Цр,о)

ti = o,±i,±z

ральных уравнений Вольгерра

первого

рода:

i

%(fi>

=

| \ < Я = ? ,

ft)-u*(V---===r,

(38)

f

tl=0,±l±2,...,

в которых

Х<М

={

Й

^HJ».qj(р,р),р)-

£

ум•

e i n

На основании

свойств

функций

<р.(р,р),

*)(<р,р)

легко

проверя­

ется, что Ж^({%^р, р)

отличны от нуля на диагонали

i=p,

а'

их производные первого порядка непрерывны в области

U^p^t^i

всю­

ду за исключением диагонали,

вблизи

которой они имеют особенность

типа

ir-j}}'™

Эти свойства, как мы уже убедились ранее, гаран­

тируют

единственность решения каждого из уравнений (38) .

Таким

образом, коэффициенты Фурье функции и.(г,<р) однозначно

находят­

ся по функции

V(J>,OL). Но любая кусочно-непрерывная функция од­

шается доказательством

теоремы.

Заметим, что если бы мы захотели воспользоваться рядом Фурье

для построения функции

Ш^ср) то мы должны были бы наложить на

каждой окружности

4=consl

имела

бы конечное

число

точек

экс­

тремума.

8. Задача интегральной геометрии для семейства поверхностей.

Рассмотрим трехмерное пространство

х,у,

ос=(х.,, х я )

и область

£ > =

/ ( X , t y ) :

0 4.у^Н,

0 < И < •=•<=>}.

ПУСТЬ В ЭТОЙ Об-

ласти задано

семейство

поверхностей

>5(<* г?),

каждая

из которых

имеет вид "шапочки" с вершиной в точке

(£, тт^еФ,

^ = (^,У Г

и

ос­

нованием, принадлежащим плоскости у = о .

Пусть точка

($,тт_), играю­

щая роль параметра

поверхности

5(£,?г),

пробегает множество

то­

чек

области С ) . Будем считать,

что

семейство

поверхностей

S(S,77_)

верхностей удобно ввести цилиндрическую систему координат

i, <р, у,

связанную с поверхностью

S($, ц)

-. полярная ось этой системы про­

ходит через точку

ff, -ф

и параллельна оси у ,

начало ее

выбра­

но в плоскости у = о , а

х ^ х г

связаны с

%у>

формулами

x^^

+ rcascp,

х г = ^ + *г siny.

(39)

Рассмотрим нормальные сечения поверхности

S(£, т?), соответствую­

ла характерна для семейства кривых

на плоскости, т . е . ее уравне­

ние может быть

представлено

в виде

причем функция

.

/fp, у,^,

удовлетворяет условиям

Ар, (p. t, ч)>о,

f j j to

(p, t, TQ

>

o,

(41)

Если выражение для

i

из (40) подставить в формулы

( 3 9 ) , то

мы

получим параметрическое уравнение каждой поверхности

S(£,v?)

в

декартовой системе

координат.

Рассмотрим теперь задачу интегральной геометрии (3) для

слу­

чая, когда семейство

поверхностей

S(f,7?)

инвариантно к любым

движениям параллельного

переноса

вдоль плоскости

Ц=о.

В анали­

тическом представлении это свойство выражается в том,

что функция

/ , стоящая

в правой

части равенства ( 4 0 ) ,

не

зависит

от

! .

В

этом случае

имеет место следующее утверждение.

Т е о р е м а

5. Пусть

семейство поверхностей

5(f,

з?) может

быть представлено

в виде ( 3 9 ) - ( 4 0 ) , причем функция

/

не

зависит

от

£ , то есть

f-f(p,

ср, rtf

имеет непрерывные производные

а

весовая функция

р = р[х-Ц,у)

непрерывно дифференцируема по

своим аргументам и удовлетворяет

условию: р(о,72)Фо

при -^е[о,И].

Тогда любая кусочно-непрерывная функция

и(х,у),

имеющая по

переменной эс

конечное преобразование Фурье

(либо

периодическая

по х с периодом, не зависящим от

у ) , однозначно

определяется

в

области £) интегралами ( 3 ) .

Для доказательства

запишем равенство (3) в виде

tf(i,7?)=

j j

. j)(x,4)u(x+i,72)

dx

( 3 ' )

и применим к нему преобразование Фурье по переменной

£ . Тогда

по­

лучим уравнение для образов Фурье:

v()\,i2)=

Jj

p^ri)-eiihx)uLb,y)dx.

(42)

этого

перейдем к полярным координатам х, ср, а

затем от перемен­

ной 1

к переменной у , связанной с

х формулой

(40) . При этом

dx = х %v

dy d(p